高中数学人教A版必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.2.4 平面与平面平行的性质 备课资料

备课资料备用习题1.如图15，P是△ABC所在平面外的一点，A′、B′、C′分别是△PBC、△PCA、△PAB的重心.图15（1）求证：平面ABC∥平面A′B′C′；（2）求△A′B′C′与△ABC的面积之比.证明：（1）连接PA′、PB′、PC′并延长交BC、AC、AB于D、E、F，连接DE、EF、DF.∵A′、C′分别是△PBC、△PAB的重心,∴PA′=，PC′=.∴A′C′∥DF.∵A′C′平面ABC，DF平面ABC,∴A′C′∥平面ABC.同理,A′B′∥平面ABC.又A′C′∩A′B′=A′，A′C′、A′B′平面A′B′C′,∴平面ABC∥平面A′B′C′.（2）由（1）知A′C′，又DF，∴A′C′AC.同理,A′B′，B′C′.∴△A′B′C′∽△ABC.∴S△A′B′C′∶S△ABC=1∶9.2.已知：如图16，α∥β，AB∥CD，A∈α，C∈α，B∈β，D∈β.图16求证：AB=CD.证明：∵AB∥CD，∴过AB、CD的平面γ与平面α和β分别交于AC和BD.∵α∥β，∴BD∥AC.∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD.3.如图17，已知平面α∥平面β，A、C∈α，B、D∈β，E、F分别为AB、CD的中点.求证：EF∥α，EF∥β. 图17证明：当AB、CD共面时，平面ABCD∩α=AC，平面ABCD∩β=BD.∵α∥β，∴AC∥BD.∵E、F分别为AB、CD的中点，∴EF∥AC.∵ACα，EFα，∴EF∥α.同理,EF∥β.当AB、CD异面时，∵ECD，∴可在平面ECD内过点E作C′D′∥CD，与α，β分别交于C′，D′.平面AC′BD′∩α=AC′，平面AC′BD′∩β=BD′，∵α∥β，∴AC′∥BD′.∵E是AB中点，∴E也是C′D′的中点.平面CC′D′D∩α=CC′，平面CC′D′D∩β=DD′，∵α∥β，∴CC′∥DD′.∵E、F分别为C′D′、CD的中点，∴EF∥CC′，EF∥DD′.∵CC′α，EFα,∴EF∥α.同理,EF∥β.