平面与平面平行的性质课件
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平面与平面平行的性质课件

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时间:2022-08-15

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资料简介
2.2.3平面与平面平行的性质 平面与平面平行的性质相交平行线线平行γ∩α=aγ∩β=b 练习:下列命题中,真命题的个数有()C①如果两个平面平行,那么分别在两个平面内存在直线a,b,使a∥b;②如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行;③如果两个平面平行,那么第一个平面内的直线与第二个平面内的直线平行.A.0个B.1个C.2个D.3个解析:①②真,③假. 【问题探究】1.如果两个平面平行,则一个平面内的任何一条直线与另外一个平面平行吗?答案:平行.2.经过平面外一点,可以作几个平面和已知平面平行?答案:一个. 题型1面面平行的判定定理的应用【例1】如图2-2-11,已知四边形ABCD是直角梯形,∠ABC=90°,AD∥BC,AD=2,AB=BC=1,PA⊥平面ABCD.若E,F分别是PA,AD的中点,求证:平面BEF∥平面PCD.图2-2-11 证明:连接BF,EF.如图D24.图D24因为AD=2,BC=1,AD∥BC,所以BC∥FD,且BC=FD.所以四边形BCDF是平行四边形,所以BF∥CD. 因为BF平面PCD,所以BF∥平面PCD.因为E,F分别是PA,AD的中点,所以EF∥PD.因为EF平面PCD,所以EF∥平面PCD.因为EF∩BF=F,所以平面BEF∥平面PCD.要证明面面平行,先证一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行. 【变式与拓展】1.a,b,c为三条不重合的直线,α,β,γ为三个不重合的平面,直线均不在平面内,下面给出三个命题:其中正确的命题的序号是________.①③ 题型2面面平行的判定定理与性质定理的综合应用图2-2-12 题型2面面平行的判定定理与性质定理的综合应用图2-2-12 思维突破:解答本题应先对AB,CD是否共面进行讨论,当AB,CD不共面时需构造线段进行转化.证明:当直线AB和CD在同一平面内时,由α∥β可知:AC∥BD,ABDC是梯形或平行四边形.又BD⊂β,所以EF∥平面β. 当直线AB和CD异面时,作AH∥CD交β于点H,则四边形AHDC是平行四边形,作FG∥DH交AH于点G,连接EG,所以EG∥BH.又BH⊂β,所以EG∥β.又FG∥DH,DH⊂β,所以FG∥β.所以平面EFG∥β,而EF⊂平面EFG,所以EF∥平面β. 将空间问题转化为平面问题,是解决立体几何问题的重要策略,关键在于选择或添加适当的平面或直线,并抓住一些平面图形的几何性质,如比例线段等.此题通过巧作辅助线,得到所作平面与底面平行,由性质α∥β,l⊂α⇒l∥β易得线面平行,进而转化为面面平行,突出了平行问题中的转化思想. 【变式与拓展】2.如图2-2-13,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G是侧面对角线上的中点.求证:平面EFG∥平面ABC.图2-2-13 【变式与拓展】3.如图2-2-13,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G是侧面对角线上的点,且BE=CF=AG.求证:平面EFG∥平面ABC.图2-2-13 证明:如图D25,作EP⊥BB1于点P,连接PF.在正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面ABB1A1中,易知A1B1⊥BB1,图D25又EP⊥BB1,∴EP∥A1B1∥AB. 题型3线面、面面平行的综合应用【例3】已知:有公共边AB的两个正方形ABCD和ABEF不在同一平面内,P,Q分别是对角线AE,BD上中点,求证:PQ∥平面CBE. 题型3线面、面面平行的综合应用【变式】已知:有公共边AB的两个正方形ABCD和ABEF不在同一平面内,P,Q分别是对角线AE,BD上的点,且AP=DQ,求证:PQ∥平面CBE. 又PQ平面BCE,EG⊂平面BCE,∴PQ∥平面BCE.图2-2-14 证法二:如图2-2-14(2),分别过点P,Q作PK∥AB,QH∥AB,则PK∥QH.∵CD=AB,AE=BD,PE=BQ,∴PK=QH.∴PQHK是平行四边形.∴PQ∥KH.又PQ平面BCE,KH⊂平面BCE,∴PQ∥平面BCE. 证法三:如图2-2-14(3),过点P作PO∥EB,连接OQ,则OQ∥AD∥BC,平面POQ∥平面BEC.又PQ平面BCE,故PQ∥平面BEC.证明线面平行,关键是在平面内找到一条直线与已知直线平行,证法一是作三角形得到的;证法二是通过作平行四边形得到在平面内的一条直线KH;证法三利用了面面平行的性质定理. 【变式与拓展】3.如图2-2-15,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F是棱C1D1,A1D1的中点,求证:AF∥平面BDE.图2-2-15 证法一:如图D26,连接EF,AC,AC∩BD=G,显然四边形EFAG为平行四边形,图D26又AF平面BDE,EG⊂平面BDE,∴AF∥平面BDE.证法二:取A1B1中点G,连接AG,FG,证明平面AFG∥平面BDE即可. 【例4】下列命题正确的是()A.夹在两平行平面间的相等线段必平行B.夹在两平行平面间的平行线段相等C.第三平面与两平面分别相交,若两条交线平行,则这两平面平行D.平行于同一直线的两平面平行易错分析:应注意面面平行性质定理的应用条件.答案:B [方法·规律·小结]1.面面平行的判定定理既是面面平行的性质定理,也是线面平行的判定定理,因此证明线面平行,也可借助于面面平行.2.利用两个平行平面的性质解题时,要注意常把面面平行的问题转化成线面平行或线线平行的问题.(1)两个平面平行,可得其中一平面内的任一直线平行于另一个平面.此性质定理可简记为:面面平行,则线面平行.(2)两个平面平行,可得两个平面与第三个平面相交,它们的交线平行,而不是两个平面内的任意两条直线平行,此性质定理可简记为:面面平行,则线线平行.

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