2.2.4 平面与平面平行的性质学习目标 1.掌握平面与平面平行的性质,并会应用性质解决问题;2.知道直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的平行关系可以相互转化.知识点 平面与平面平行的性质观察长方体ABCDA1B1C1D1的两个面:平面ABCD及平面A1B1C1D1.思考1 平面A1B1C1D1中的所有直线都平行于平面ABCD吗?答案 是的.思考2 若m⊂平面ABCD,n⊂平面A1B1C1D1,则m∥n吗?答案 不一定,也可能异面.思考3 过BC的平面交面A1B1C1D1于B1C1,B1C1与BC是什么关系?答案 平行.文字语言如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行符号语言α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒a∥b图形语言类型一 平面与平面平行的性质定理的应用例1 平面α∥β,A、C∈α,B、D∈β,直线AB与CD交于S,且AS=8,BS=9,CD=34,求CS.解 有两种情况:S位于α、β之间,和S位于α、β的同侧.(1)当S位于α、β之间时,如图,连接AC,BD,AB∩CD=S.
设AB,CD共面γ,γ∩α=AC,γ∩β=BD.因为α∥β,所以AC与BD无公共点,所以AC∥BD,所以△ACS∽△BSD,所以=.设CS=x,则=,所以x=16.当S位于α,β之间时,如上解答.(2)当S位于α,β同侧时,如图,AB∩CD=S,设AB,CD共面γ,因为γ∩α=AC,γ∩β=BD,且α∥β,所以AC∥BD.所以△SAC∽△SBD,所以=,即=,所以SC=272.综上所述,SC=16或272.反思与感悟 应用平面与平面平行性质定理的基本步骤跟踪训练1 如图所示,平面α∥平面β,△ABC,△A′B′C′分别在α,β内,线段AA′,BB′,CC′共点于O,O在平面α和平面β之间,若AB=2,AC=2,∠BAC=60°,OA∶OA′=3∶2,则△A′B′C′的面积为________.
答案 解析 AA′,BB′相交于O,所以AA′,BB′确定的平面与平面α,平面β的交线AB,A′B′,有AB∥A′B′,且==,同理可得==,==,所以△ABC,△A′B′C′面积的比为9∶4,又△ABC的面积为,所以△A′B′C′的面积为.类型二 平行关系的相互转化例2 已知,平面α∥平面β,点A∈α,C∈α,点B∈β,D∈β,点E、F分别在线段AB、CD上,且AE∶EB=CF∶FD.求证:EF∥β,EF∥α.证明 ①当AB,CD在同一平面内时,如图,由α∥β,α∩平面ABDC=AC,β∩平面ABDC=BD,∴AC∥BD,∵AE∶EB=CF∶FD,∴EF∥BD,又EF⊄β,BD⊂β,∴EF∥β.②当AB与CD异面时,如图,设平面ACD∩β=l,在l上取一点H,使DH=AC.∵α∥β,α∩平面ACDH=AC,∴AC∥DH,∴四边形ACDH是平行四边形.在AH上取一点G,使AG∶GH=CF∶FD,又∵AE∶EB=CF∶FD,
∴GF∥HD,EG∥BH,又EG∩GF=G,BH∩HD=H,∴平面EFG∥平面β.∵EF⊂平面EFG,∴EF∥β.综上①②知,EF∥β.∵α∥β,EF∥β且EF⊄α,∴EF∥α.反思与感悟 线线平行、线面平行、面面平行是一个有机的整体,平行关系的判定定理、性质定理是转化平行关系的关键,其内在联系如下图所示:解题时,往往通过构造辅助平面将面面平行、线面平行转化为线线平行.跟踪训练2 如图,在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD为等腰梯形,AB∥CD,AB=2CD,E,E1分别是棱AD,AA1上的点.设F是棱AB的中点,证明:直线EE1∥平面FCC1.证明 因为F为AB的中点,所以AB=2AF,又因为AB=2CD,所以CD=AF,因为AB∥CD,所以CD∥AF,所以四边形AFCD为平行四边形,所以FC∥AD,又FC⊄平面ADD1A1,AD⊂平面ADD1A1,所以FC∥平面ADD1A1,因为CC1∥DD1,CC1⊄平面ADD1A1,DD1⊂平面ADD1A1,所以CC1∥平面ADD1A1,又FC∩CC1=C,所以平面ADD1A1∥平面FCC1.又EE1⊂平面ADD1A1,所以EE1∥平面FCC1.
1.已知平面α∥平面β,直线a⊂α,直线b⊂β,下面四种情形:①a∥b;②a⊥b;③a与b异面;④a与b相交.其中可能出现的情形有( )A.1种B.2种C.3种D.4种答案 C解析 因为平面α∥平面β,直线a⊂α,直线b⊂β,所以直线a与直线b无公共点.当直线a与直线b共面时,a∥b;当直线a与直线b异面时,a与b所成的角大小可以是90°.综上知,①②③都有可能出现,共有3种情形.2.如图是长方体被一平面所截得到的几何体,四边形EFGH为截面,则四边形EFGH的形状为________.答案 平行四边形解析 由面面平行的性质定理可得.3.过正方体ABCD—A1B1C1D1的三顶点A1、C1、B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l,则l与A1C1的位置关系是________.答案 平行解析 因平面ABCD∥平面A1B1C1D1,平面ABCD∩平面A1C1B=l,平面A1B1C1D1∩平面A1C1B=A1C1,所以l∥A1C1(面面平行的性质定理).4.如图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,侧面对角线AB1、BC1上分别有两点E、F,且B1E=C1F.求证:EF∥平面ABCD.证明 过E作EG∥AB交BB1于点G,连接GF,则=.∵B1E=C1F,B1A=C1B,
∴=.∴FG∥B1C1∥BC,又∵EG∩FG=G,AB∩BC=B,∴平面EFG∥平面ABCD,又∵EF⊂平面EFG,EF⊄平面ABCD,∴EF∥平面ABCD.1.常用的面面平行的其他几个性质(1)两个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.(2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等.(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.(4)两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例.(5)如果两个平面分别平行于第三个平面,那么这两个平面互相平行.2.空间中各种平行关系相互转化关系的示意图一、选择题1.已知平面α∥平面β,过平面α内的一条直线a的平面γ,与平面β相交,交线为直线b,则a、b的位置关系是( )A.平行B.相交C.异面D.不确定答案 A解析 两平行平面α,β被第三个平面γ所截,则交线a、b平行.2.有四个命题:①若a⊂α,b⊂β,a∥b,则α∥β;②c为直线,α,β为平面,若c∥α,c∥β,则α∥β;③若a⊂α,b⊂β,α∥β,则a∩b=∅;④若a⊂α,α∥β,则a∥β.其中正确的个数为( )A.0B.1C.2D.3
答案 C解析 ①②中的α,β可能平行,也可能相交,③④正确.故选C.3.如图所示,P是三角形ABC所在平面外一点,平面α∥平面ABC,α分别交线段PA、PB、PC于A′、B′、C′,若PA′∶AA′=2∶3,则S△A′B′C′∶S△ABC等于( )A.2∶25B.4∶25C.2∶5D.4∶5答案 B解析 ∵面α∥面ABC,面PAB与它们的交线分别为A′B′,AB,∴AB∥A′B′,同理B′C′∥BC,易得△ABC∽△A′B′C′,S△A′B′C′∶S△ABC=()2=()2=.4.α,β,γ为三个不重合的平面,a,b,c为三条不同的直线,则下列命题中不正确的是( )①⇒a∥b;②⇒a∥b;③⇒α∥β;④⇒α∥β;⑤⇒α∥a;⑥⇒a∥α.A.④⑥B.②③⑥C.②③⑤⑥D.②③答案 C解析 由公理4及平行平面的传递性知①④正确.举反例知②③⑤⑥不正确.②中a,b可以相交,还可以异面;③中α,β可以相交;⑤中a可以在α内;⑥中a可以在α内.5.设α∥β,A∈α,B∈β,C是AB的中点,当A、B分别在平面α、β内运动时,得到无数个AB的中点C,那么所有的动点C( )A.不共面B.当且仅当A、B分别在两条直线上移动时才共面C.当且仅当A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D.不论A、B如何移动,都共面答案 D解析 如图所示,A′、B′分别是A、B两点在α、β上运动后的两点,此时AB
中点C变成A′B′中点C′,连接A′B,取A′B中点E.连接CE、C′E、AA′、BB′、CC′.则CE∥AA′,∴CE∥α.又C′E∥BB′,∴C′E∥β.又∵α∥β,∴C′E∥α.∵C′E∩CE=E.∴平面CC′E∥平面α.∴CC′∥α.所以不论A、B如何移动,所有的动点C都在过C点且与α、β平行的平面上.6.下列命题中,错误的是( )A.平面内一个三角形各边所在的直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行B.平行于同一个平面的两个平面平行C.若两个平面平行,则位于这两个平面内的直线也互相平行D.若两个平面平行,则其中一个平面内的直线平行于另一个平面答案 C解析 由面面平行的判定定理和性质知A、B、D正确.对于C,位于两个平行平面内的直线也可能异面.二、填空题7.给出四种说法:①若平面α∥平面β,平面β∥平面γ,则平面α∥平面γ.②若平面α∥平面β,直线a与α相交,则a与β相交.③若平面α∥平面β,P∈α,PQ∥β,则PQ⊂α.④若直线a∥平面β,直线b∥平面α,且α∥β,则a∥b.其中正确说法的序号是________.答案 ①②③解析 ①正确,因平面α与γ没有公共点.②正确.若直线a与平面β平行或a⊂β,则由平面α∥平面β知a⊂α或a与α无公共点,这与直线a与α相交矛盾,所以a与β相交.③正确.如图,过直线PQ作平面γ,γ∩α=a,γ∩β=b,由α∥β得a∥b.因为PQ∥β,PQ⊂γ,所以PQ∥b.因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,所以直线a与直线PQ重合.因为a⊂α,所以PQ⊂α.
④错误.若直线a∥平面β,直线b∥平面α,且α∥β,则a与b平行、相交和异面都有可能.8.如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,过BB1的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB与M,交BC与N,则=________.答案 解析 ∵平面MNE∥平面ACB1,由面面平行的性质定理可得:EN∥B1C,EM∥B1A,又∵E为BB1中点,∴M,N分别为BA,BC的中点,∴MN=AC.即=.9.如图,已知α∥β,GH,GD,EH分别交α,β于A,B,C,D,E,F,且GA=9,AB=12,BH=16,则=________.答案 解析 因为α∩平面GAC=AC,β∩平面GBD=BD,且α∥β,所以AC∥BD,同理可证AE∥BF.又因为∠EAC与∠FBD的两边同向,所以∠EAC=∠FBD.又因为GA=9,AB=12,AC∥BD,所以===.10.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱DD1上的点.当平面AB1C∥平面A1EC1时,点E的位置是________.答案 与D重合解析 如图,连接B1D1,BD,设B1D1∩A1C1=M,BD∩AC=O,连接ME、B1O,
∵平面AB1C∥平面A1EC1,平面AB1C∩平面BDD1B1=B1O,平面A1EC1∩平面BDD1B1=ME,∴则B1O∥ME.又四边形B1MDO为平行四边形,则B1O∥MD.故E与D重合.11.对于不重合的两个平面α与β,给定下列条件:①存在平面γ,使α、β都平行于γ;②α内有不共线的三点到β的距离相等;③存在异面直线l,m,使得l∥α,l∥β,m∥α,m∥β.其中可以判断两个平面α与β平行的条件有________个.答案 2解析 若α与β相交,如图所示,可在α内找到A、B、C三个点到平面β的距离相等,所以排除②.容易证明①③都是正确的.三、解答题12.如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,M是A1C1的中点,平面AB1M∥平面BC1N,AC∩平面BC1N=N.求证:N为AC的中点.证明 ∵平面AB1M∥平面BC1N,平面ACC1A1∩平面AB1M=AM,平面BC1N∩平面ACC1A1=C1N,∴C1N∥AM,又AC∥A1C1,∴四边形ANC1M为平行四边形,∴AN=C1M=A1C1=AC,∴N为AC的中点.13.如图所示,在三棱柱ABCA1B1C1中,D是棱CC1的中点,问在棱AB上是否存在一点E,使DE∥平面AB1C1?若存在,请确定点E的位置;若不存在,请说明理由.
解 方法一 存在点E,且E为AB的中点时,DE∥平面AB1C1,下面给出证明:如图,取BB1的中点F,连接DF,则DF∥B1C1,因为AB的中点为E,连接EF,则EF∥AB1,B1C1∩AB1=B1,EF∩DF=F,所以平面DEF∥平面AB1C1.而DE⊂平面DEF,所以DE∥平面AB1C1.方法二 假设在棱AB上存在点E,使得DE∥平面AB1C1.如图,取BB1的中点F,连接DF,EF,则DF∥B1C1,又DF⊄平面AB1C1,所以DF∥平面AB1C1,又DE∥平面AB1C1,DE∩DF=D,所以平面DEF∥平面AB1C1,因为EF⊂平面DEF,所以EF∥平面AB1C1.又因为EF⊂平面ABB1,平面ABB1∩平面AB1C1=AB1,所以EF∥AB1,因为点F是BB1的中点,所以点E是AB的中点.即当点E是AB的中点时,DE∥平面AB1C1.14.已知:如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,点D,D1分别为AC,A1C1上的点.若平面BC1D∥平面AB1D1,求的值.
解 如图,连接A1B交AB1于点O,连接OD1.由棱柱的性质,知四边形A1ABB1为平行四边形,所以点O为A1B的中点.因为平面BC1D∥平面AB1D1,且平面A1BC1∩平面AB1D1=D1O,平面A1BC1∩平面BC1D=BC1,所以BC1∥D1O,所以D1为线段A1C1的中点,所以D1C1=A1C1.因为平面BC1D∥平面AB1D1,且平面AA1C1C∩平面BDC1=DC1,平面AA1C1C∩平面AB1D1=AD1,所以AD1∥DC1.又因为AD∥D1C1,所以四边形ADC1D1是平行四边形,所以AD=C1D1=A1C1=AC,所以=1.