2019年高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.2.4平面与平面平行的性质课件新人教A版x

2.2.4平面与平面平行的性质 课标要求:1.理解平面与平面平行的性质定理及含义.2.能运用面面平行的性质定理,证明一些空间平行关系的简单命题. 自主学习知识探究1.平面与平面平行的性质定理平行文字语言图形语言符号语言如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线.α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒.a∥b 探究:(教师备用)如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线和另一个平面有什么样的位置关系?答案:平行.2.两个平面平行的其他性质(1)两个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面;(2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等;(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行;(4)两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例;(5)如果两个平面分别平行第三个平面,那么这两个平面互相平行. 自我检测1.设有不同的直线a,b和不同的平面α,β,γ,给出下列三个命题,其中正确的命题有()①若a∥α,b∥α,则a∥b②若a∥α,a∥β,则α∥β③若α∥β,a⊂α,则a∥β(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个2.已知平面α∥平面β,若两条直线m,n分别在平面α,β内,则m,n的关系不可能是()(A)平行(B)相交(C)异面(D)平行或异面BB 3.过平面外一点作一平面的平行线有条.答案:无数4.如图所示,P是三角形ABC所在平面外一点,平面α∥平面ABC,α分别交线段PA,PB,PC于A′,B′,C′.若PA′∶AA′=2∶5,则△A′B′C′与△ABC的面积比为.答案:4∶49 5.已知a,b表示两条不同直线,α,β,γ表示三个不重合的平面,给出下列命题:①若α∩γ=a,β∩γ=b,且a∥b,则α∥β;②若a,b相交且都在α,β外,a∥α,b∥α,a∥β,b∥β,则α∥β;③若a⊂α,a∥β,α∩β=b,则a∥b.其中正确命题的序号是.解析:①若α∩γ=a,β∩γ=b,且a∥b,α,β有可能相交,所以不正确.②正确,因为在空间确定一个点O,过O作a,b的平行线a′,b′.过a′,b′的平面为γ,所以a∥a′,b∥b′,因为a∥α,a∥β,b∥α,b∥β,所以γ∥α,γ∥β,所以α∥β.③正确,若a⊂α,a∥β,α∩β=b,根据线面平行的性质定理,可得a∥b.答案:②③ 题型一平面与平面平行的性质定理的应用【例1】(12分)如图,在三棱锥P-ABC中,D,E,F分别是PA,PB,PC的中点,M是AB上一点,连接MC,N是PM与DE的交点,连接NF.求证:NF∥CM.课堂探究 规范解答:因为D,E,F分别为PA,PB,PC的中点,所以DE∥AB,又DE⊄平面ABC,AB⊂平面ABC,所以DE∥平面ABC,………………………………4分同理EF∥平面ABC,又DE∩EF=E,所以平面DEF∥平面ABC,…………8分又平面PMC∩平面ABC=MC,平面PMC∩平面DEF=NF,由面面平行的性质定理得,NF∥MC.……………………………………………………………12分 变式探究:将本例中的三棱锥改为长方体,如图是长方体被一平面所截得到的几何体,四边形EFGH为截面,则四边形EFGH的形状为.解析:因为平面ABFE∥平面CDHG,平面EFGH与两平面分别交于EF,GH.由面面平行的性质定理得EF∥GH,同理可得EH∥FG,所以四边形EFGH为平行四边形.答案:平行四边形 方法技巧面面平行的性质定理是由面面平行得到线线平行.证明线线平行的关键是把要证明的直线看作是平面的交线,所以构造三个平面:即两个平行平面,一个经过两直线的平面,有时需要添加辅助面. 即时训练1-1:已知如图所示,三棱柱ABC-A1B1C1中,点D,D1分别为AC,A1C1上的点.若平面BC1D∥平面AB1D1,求的值. 1-2:如图,平面四边形ABCD的四个顶点A,B,C,D均在平行四边形A′B′C′D′所确定的一个平面α外,且AA′,BB′,CC′,DD′互相平行.求证:四边形ABCD是平行四边形. 证明:在▱A′B′C′D′中,A′B′∥C′D′,因为A′B′⊄平面C′D′DC,C′D′⊂平面C′D′DC,所以A′B′∥平面C′D′DC.同理A′A∥平面C′D′DC.又A′A∩A′B′=A′,所以平面A′B′BA∥平面C′D′DC.因为平面ABCD∩平面A′B′BA=AB,平面ABCD∩平面C′D′DC=CD,所以AB∥CD.同理AD∥BC.所以四边形ABCD是平行四边形. 题型二平行关系的综合应用【例2-1】已知平面α∥平面β,点A,C∈α,点B,D∈β,直线AB,CD交于点S,且SA=8,SB=9,CD=34.(1)若点S在平面α,β之间,则SC=;答案:(1)16 (2)若点S不在平面,α,β之间,则SC=.答案:(2)272 【2-2】(12分)如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,P,Q分别是BC,C1D1,AD1,BD的中点.(1)求证:PQ∥平面DCC1D1; 规范解答:(1)法一如图,连接AC,CD1.因为P,Q分别是AD1,AC的中点,所以PQ∥CD1.………………………………1分又PQ⊄平面DCC1D1,…………………………2分CD1⊂平面DCC1D1,…………………………3分所以PQ∥平面DCC1D1.……………………4分法二取AD的中点G,连接PG,GQ,则有PG∥DD1,GQ∥DC,且PG∩GQ=G,………1分所以平面PGQ∥平面DCC1D1.………………2分又PQ⊂平面PGQ,所以PQ∥平面DCC1D1.………………………4分 (2)求PQ的长;(3)求证:EF∥平面BB1D1D. 法二取B1C1的中点E1,连接EE1,FE1,则有FE1∥B1D1,EE1∥BB1,且FE1∩EE1=E1,所以平面EE1F∥平面BB1D1D.…………10分又EF⊂平面EE1F,所以EF∥平面BB1D1D.…………………12分 方法技巧直线与平面平行,平面与平面平行的判定定理、性质定理,揭示了线线平行、线面平行、面面平行之间的转化关系,具体转化过程如图所示. 即时训练2-1:如图所示,平面α∥平面β,△ABC,△A1B1C1分别在平面α,β内,线段AA1,BB1,CC1相交于点O,点O在α,β之间,若AB=2,AC=1,OA∶OA1=3∶2,且BA⊥AC,则△A1B1C1的面积为. 2-2:如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ与平面PAO平行? 解:如图,设平面D1BQ∩平面ADD1A1=D1M,点M在AA1上,平面D1BQ∩平面BCC1B1=BQ,平面ADD1A1∥平面BCC1B1,由面面平行的性质定理可得BQ∥D1M.假设平面D1BQ∥平面PAO,由平面D1BQ∩平面ADD1A1=D1M,平面PAO∩平面ADD1A1=AP,可得AP∥D1M,所以BQ∥D1M∥AP.因为P为DD1的中点,所以M为AA1的中点,Q为CC1的中点,故当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO.