2019届高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.2.4平面与平面平行的性质课件新人教A版x

2.2.4平面与平面平行的性质 平面与平面平行的性质定理1.如果两个平面平行,那么一个平面内的直线与另一个平面有什么样的位置关系?提示:如果两个平面平行,那么一个平面内的直线与另一个平面平行.2.如果两个平面平行,那么一个平面内的直线与另一个平面内的直线有什么样的位置关系?提示:平行或异面.3.在长方体ABCD-A'B'C'D'中,平面AC内哪些直线与B'D'平行呢?如何找到它们?提示:平面AC内的直线只要与直线B'D'共面就可以了. 4.当第三个平面和两个平行平面都相交时,两条交线有什么样的关系?如何证明它们的关系?提示:两条交线平行.下面我们来证明这个结论.已知,如图,平面α,β,γ满足α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b.求证:a∥b.证明:∵α∩γ=a,β∩γ=b,∴a⊂α,b⊂β.∵α∥β,∴a,b没有公共点.又a,b同在平面γ内,∴a∥b. 5.填表:平面与平面平行的性质定理 6.做一做:若α∥β,a⊂α,b⊂β,下列几种说法正确的是()①a∥b;②a与β内无数条直线平行;③a与β内的任何一条直线都不垂直;④a∥β.A.①②B.②④C.②③D.①③④答案:B 7.做一做:判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.(1)直线b⊂平面α,直线a∥直线b⇒直线a∥平面α.()(2)直线a∥平面α,直线b⊂平面α⇒直线a∥直线b.()(3)直线a∥平面β,直线b∥平面β,a⊂平面α,b⊂平面α⇒平面α∥平面β.()(4)平面α∥平面β,平面α∩平面γ=直线a,平面β∩平面γ=直线b⇒直线a∥直线b.()答案:(1)×(2)×(3)×(4)√ 探究一探究二思想方法证明两直线平行例1如图,已知平面α∥平面β,点P是平面α,β外的一点(不在α与β之间),直线PB,PD分别与α,β相交于点A,B和C,D.(1)求证:AC∥BD;(2)已知PA=4,AB=5,PC=3,求PD的长.思路分析:(1)由面面平行的性质定理直接推证;(2)先由三角形相似得对应线段成比例,再求值. 探究一探究二思想方法(1)证明:∵PB∩PD=P,∴直线PB和PD确定一个平面γ,则α∩γ=AC,β∩γ=BD.又α∥β,∴AC∥BD.(2)解:由(1)得AC∥BD, 探究一探究二思想方法反思感悟空间中的平行关系及线线平行的证明方法(1)常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行,这三种平行关系不是孤立的,而是相互联系、相互转化的,它们的转化关系如下: 探究一探究二思想方法(2)证明线线平行的方法.①定义法:在同一个平面内没有公共点的两条直线平行.②平行公理:平行于同一条直线的两条直线平行. 探究一探究二思想方法延伸探究在本例中,若点P在α与β之间,在第(2)问条件下求CD的长.解:如图,∵PB∩PC=P,∴PB,PC确定平面γ,γ∩α=AC,γ∩β=BD.又α∥β,∴AC∥BD,∴△PAC∽△PBD, 探究一探究二思想方法证明线面平行例2如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,若点D是棱CC1的中点,在棱AB上是否存在一点E,使DE∥平面AB1C1?并证明你的结论.思路分析:先找出过DE与平面AB1C1平行的平面,可直接找出过D,E与△AB1C1的三边平行的直线,进而确定平面,然后确定其与棱AB的交点,即可找出E点位置,然后利用定理进行证明即可. 探究一探究二思想方法解:当E为棱AB的中点时,DE∥平面AB1C1.证明如下:如图所示,取BB1的中点F,连接EF,FD,DE,AC1.因为D,E,F分别为CC1,AB,BB1的中点,所以EF∥AB1.因为AB1⊂平面AB1C1,EF⊄平面AB1C1,所以EF∥平面AB1C1.同理可证FD∥平面AB1C1.因为EF∩FD=F,所以平面EFD∥平面AB1C1.因为DE⊂平面EFD,所以DE∥平面AB1C1.反思感悟反思感悟线面平行的证明方法证明直线与平面平行,除了定义法,判定定理法以外,还可以用两平面平行的性质,也就是说为了证明直线与平面平行,也可以先证明两平面平行,再由两平面平行的性质得到线面平行. 探究一探究二思想方法变式训练已知底面是平行四边形的四棱锥P-ABCD,点E在PD上,且PE∶ED=2∶1,在棱PC上是否存在一点F,使BF∥平面AEC?证明你的结论,并说出点F的位置. 探究一探究二思想方法解如图,连接BD交AC于O点,连接OE,过B点作OE的平行线交PD于点G,过点G作GF∥CE,交PC于点F,连接BF.∵BG∥OE,BG⊄平面AEC,OE⊂平面AEC,∴BG∥平面AEC.同理,GF∥平面AEC,又BG∩GF=G,∴平面BGF∥平面AEC,∴BF∥平面AEC.∵BG∥OE,O是BD中点,∴E是GD中点.又∵PE∶ED=2∶1,∴G是PE中点.而GF∥CE,∴F为PC中点.综上,当点F是PC中点时,BF∥平面AEC. 探究一探究二思想方法转化与化归思想在线面、面面平行性质定理中的应用典例如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BB1,点N在BD上,点M在B1C上,且CM=DN.求证:MN∥平面AA1B1B.【审题视角】用判定定理证明较困难,可通过证明过MN的平面与平面AA1B1B平行,得到MN∥平面AA1B1B. 探究一探究二思想方法证明:如图,作MP∥BB1交BC于点P,连接NP,∵AB=BB1,∴BD=B1C.又DN=CM,∴BN=B1M,∵NP⊄平面AA1B1B,AB⊂平面AA1B1B,∴NP∥平面AA1B1B.∵MP∥BB1,MP⊄平面AA1B1B,BB1⊂平面AA1B1B,∴MP∥平面AA1B1B.又MP⊂平面MNP,NP⊂平面MNP,MP∩NP=P,∴平面MNP∥平面AA1B1B.∵MN⊂平面MNP,∴MN∥平面AA1B1B. 探究一探究二思想方法方法点睛1.线线、线面、面面间的平行关系的判定和性质,常常是通过线线关系、线面关系、面面关系的相互转化来表达的,因此在证明有关问题时,应抓住“转化”这种思想方法来达到论证的目的.2.空间中线线、线面、面面平行关系的转化如下: 探究一探究二思想方法变式训练如图所示,平面α∥平面β,△ABC,△A'B'C'分别在α,β内,线段AA',BB',CC'共点于O,O在α,β之间,若AB=2,AC=1,∠BAC=90°,OA∶OA'=3∶2.则△A'B'C'的面积为. 探究一探究二思想方法解析:相交直线AA',BB'所在平面和两平行平面α,β分别相交于AB,A'B',由面面平行的性质定理可得AB∥A'B'.同理相交直线BB',CC'确定的平面和平行平面α,β分别相交于BC,B'C',从而BC∥B'C'.同理易证AC∥A'C'.∴∠BAC与∠B'A'C'的两边对应平行且方向相反,∴∠BAC=∠B'A'C'.同理∠ABC=∠A'B'C',∠BCA=∠B'C'A'.∴△ABC与△A'B'C'的三内角分别相等,∴△ABC∽△A'B'C',∵AB∥A'B',AA'∩BB'=O,∴在平面ABA'B'中,△AOB∽△A'OB'. 探究一探究二思想方法 1231.已知长方体ABCD-A'B'C'D',平面α∩平面AC=EF,平面α∩平面A'C'=E'F',则EF与E'F'的位置关系是()A.平行B.相交C.异面D.不确定解析:因为平面AC∥平面A'C',所以EF∥E'F'.答案:A 1232.已知平面α∥β∥γ,两条共面直线l,m分别与平面α,β,γ相交于点A,B,C和D,E,F,已知AB=6,,则AC=.解析:∵α∥β∥γ,根据面面平行的性质定理可知AD∥BE∥CF,∴BC=9.∴AC=AB+BC=15.答案:15 1233.过正方体ABCD-A1B1C1D1的三个顶点A1,C1,B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l,则l与A1C1的位置关系是.解析:因为过A1,C1,B三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为A1C1,与底面ABCD的交线为l,由于正方体的两底面互相平行,则由面面平行的性质定理知l∥A1C1.答案:l∥A1C1