直线与平面、平面与平面垂直的性质

直线与平面、平面与平面垂直的性质[学习目标] 1.理解直线和平面垂直、平面与平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理.2.会用线面垂直、面面垂直的性质定理证明相关问题.3.理解“平行”与“垂直”之间的相互转化.知识点一 直线与平面垂直的性质定理文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行符号语言⇒a∥b图形语言作用①线面垂直⇒线线平行②作平行线思考 (1)垂直于同一平面的两条垂线一定共面吗？(2)过一点有几条直线与已知平面垂直？答 (1)共面.由线面垂直的性质定理可知这两条直线是平行的，故能确定一个平面.(2)有且仅有一条.假设过一点有两条直线与已知平面垂直，由直线与平面垂直的性质定理可得这两条直线平行，即无公共点，这与过同一点相矛盾，故只有一条直线.知识点二 平面与平面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直符号语言⇒a⊥β 图形语言作用①面面垂直⇒线面垂直②作面的垂线思考 (1)如果α⊥β，则α内的直线必垂直于β内的无数条直线吗？(2)如果α⊥β，过β内的任意一点作α与β交线的垂线，则这条直线必垂直于α吗？答 (1)正确.若设α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，b⊥l，则a⊥b，故β内与b平行的无数条直线均垂直于α内的任意直线.(2)错误.垂直于交线的直线必须在平面β内才与平面α垂直，否则不垂直.题型一 直线与平面垂直的性质及应用例1 如图，正方体A1B1C1D1-ABCD中，EF与异面直线AC、A1D都垂直相交.求证：EF∥BD1.证明 如图所示，连接AB1、B1D1、B1C、BD，∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴DD1⊥AC.又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，∴AC⊥平面BDD1B1，又BD1⊂平面BDD1B1，∴AC⊥BD1.同理可证BD1⊥B1C，又AC∩B1C＝C， ∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.又∵EF⊥AC，AC∩B1C＝C，∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.跟踪训练1 已知α∩β＝AB，PQ⊥α于点Q，PO⊥β于点O，OR⊥α于点R.求证：QR⊥AB.证明 如图，因为α∩β＝AB，PO⊥β于点O，所以PO⊥AB.因为PQ⊥α于点Q，所以PQ⊥AB.因为PO∩PQ＝P，所以AB⊥平面PQO.因为OR⊥α于点R，所以PQ∥OR.因为PQ与OR确定平面PQRO，QR⊂平面PQRO，AB⊥平面PQRO，所以AB⊥QR.题型二 平面与平面垂直的性质及应用例2 如图，在三棱锥V－ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝，O，M分别为AB，VA的中点.(1)求证：VB∥平面MOC；(2)求证：平面MOC⊥平面VAB；(3)求三棱锥V－ABC的体积. (1)证明 ∵O，M分别为AB，VA的中点，∴OM∥VB.∵VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC，∴VB∥平面MOC.(2)证明 ∵AC＝BC，O为AB的中点，∴OC⊥AB.又∵平面VAB⊥平面ABC，且平面VAB∩平面ABC＝AB，OC⊂平面ABC，∴OC⊥平面VAB.∵OC⊂平面MOC，∴平面MOC⊥平面VAB.(3)解 在等腰直角△ACB中，AC＝BC＝，∴AB＝2，OC＝1，∴S△VAB＝AB2＝.∵OC⊥平面VAB，∴VC－VAB＝OC·S△VAB＝×1×＝，∴VV－ABC＝VC－VAB＝.跟踪训练2 如图，在三棱锥S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，过点A作AF⊥SB，垂足为F.求证：BC⊥SA.证明 因为平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC＝SB，AF⊂平面SAB，AF⊥SB，所以AF⊥平面SBC. 又因为BC⊂平面SBC，所以AF⊥BC.因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，所以BC⊥平面SAB.又因为SA⊂平面SAB，所以BC⊥SA.题型三 线线、线面、面面垂直的综合应用例3 如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝2，AD＝，AA1＝3，E为CD上一点，DE＝1，EC＝3.(1)证明：BE⊥平面BB1C1C；(2)求点B1到平面EA1C1的距离.(1)证明 过B作CD的垂线交CD于F，则BF＝AD＝，EF＝AB－DE＝1，FC＝2.在Rt△BFE中，BE＝.在Rt△CFB中，BC＝.在△BEC中，因为BE2＋BC2＝9＝EC2，故BE⊥BC.由BB1⊥平面ABCD得BE⊥BB1，又BB1∩BC＝B，所以BE⊥平面BB1C1C.(2)解 三棱锥E－A1B1C1的体积V＝AA1·＝.在Rt△A1D1C1中，A1C1＝＝3.同理，EC1＝＝3，A1E＝＝2. 故＝3.设点B1到平面A1C1E的距离为d，则三棱锥B1－A1C1E的体积V＝·d·＝d，从而d＝，d＝.即点B1到平面EA1C1的距离为.跟踪训练3 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为a的菱形，∠DAB＝60°，侧面PAD为等边三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)求证：AD⊥PB；(2)若E为BC边上的中点，能否在PC棱上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论.(1)证明 设G为AD的中点，连接PG，BG，如图.因为△PAD为等边三角形，所以PG⊥AD.在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD的中点，所以BG⊥AD.又因为BG∩PG＝G，所以AD⊥平面PGB.因为PB⊂平面PGB，所以AD⊥PB.(2)解 当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD.如图，设F为PC的中点，则在△PBC中，EF∥PB.在菱形ABCD中，GB∥DE，而EF⊂平面DEF，DE⊂平面DEF，EF∩DE＝E， 所以平面DEF∥平面PGB.由(1)，得PG⊥平面ABCD，而PG⊂平面PGB，所以平面PGB⊥平面ABCD.所以平面DEF⊥平面ABCD.条件开放型例4 如图，在直四棱柱A1B1C1D1－ABCD中，当底面四边形ABCD满足什么条件时，有A1C⊥B1D1？(注：写出一个你认为正确的条件即可，不必考虑所有可能的情形)分析 →→解 因为BD∥B1D1，所以要使A1C⊥B1D1，需A1C⊥BD.又因为A1A⊥平面ABCD，A1A⊥BD，A1A∩A1C＝A1，所以BD⊥平面A1AC.因为AC⊂平面A1AC，所以AC⊥BD.由以上分析，知要使A1C⊥B1D1，需使AC⊥BD或任何能推导出AC⊥BD的条件，如四边形ABCD是正方形、菱形等.1.在空间中，下列命题正确的是(  ) A.垂直于同一条直线的两直线平行B.平行于同一条直线的两个平面平行C.垂直于同一平面的两个平面平行D.垂直于同一平面的两条直线平行2.关于直线m，n与平面α，β，有下列四个命题：①若m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥n；②若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n；③若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥n；④若m∥α，n⊥β，且α⊥β，则m∥n.其中真命题的序号是(  )A.①②B.③④C.①④D.②③3.若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则(  )A.α∥γB.α⊥γC.α与γ相交但不垂直D.以上都有可能4.已知a、b为直线，α、β为平面.在下列四个命题中，正确的命题是________.①若a⊥α，b⊥α，则a∥b；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a⊥α，a⊥β，则α∥β；④若α∥b，β∥b，则α∥β.5.如图，在三棱锥P－ABC内，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝________. 一、选择题1.在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作EF⊥A1B1于F，则EF与平面A1B1C1D1的关系是(  )A.平行B.EF⊂平面A1B1C1D1C.相交但不垂直D.相交且垂直2.如图所示，三棱锥P－ABC中，平面ABC⊥平面PAB，PA＝PB，AD＝DB，则(  )A.PD⊂平面ABCB.PD⊥平面ABCC.PD与平面ABC相交但不垂直D.PD∥平面ABC3.如图所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在底面ABC上的投影H必在(  )A.直线AB上B.直线BC上C.直线AC上D.△ABC内部4.如图，正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2、G2G3的中点，现在沿SE、SF、EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3重合，重合后的点记为G.给出下列关系：①SG⊥平面EFG；②SE⊥平面EFG；③GF⊥SE；④EF⊥平面SEG.其中成立的有(  ) A.①与②B.①与③C.②与③D.③与④5.PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任意一点，则下列关系不正确的是(  )A.PA⊥BCB.BC⊥平面PACC.AC⊥PBD.PC⊥BC6.三棱锥P－ABC的三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，O是顶点P在底面ABC上的射影，则(  )A.S△ABC＝S△PBC＋S△OBCB.S＝S△OBC·S△ABCC.2S△PBC＝S△OBC＋S△ABCD.2S△OBC＝S△PBC＋S△ABC7.如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD，将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′－BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是(  )A.A′C⊥BDB.∠BA′C＝90°C.CA′与平面A′BD所成的角为30°D.四面体A′－BCD的体积为 二、填空题8.设两个平面α，β，直线l，下列三个条件：①l⊥α；②l∥β；③α⊥β.若以其中两个作为前提条件，另一个作为结论，则可构成三个命题，这三个命题中，正确命题的个数为_______.9.如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BC1的中点，则直线DE与平面ABCD所成角的正切值为________.10.已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB＝6，BC＝2，则棱锥O－ABCD的体积为________.11.如图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点.若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，则线段MN的长等于________.三、解答题12.如图所示，四棱锥P－ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB＝BC＝AD，E，F分别为线段AD，PC的中点.(1)求证：AP∥平面BEF；(2)求证：BE⊥平面PAC. 13.在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形.(1)若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC1A1；(2)设D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论.当堂检测答案1.答案 D 解析 A项中垂直于同一条直线的两直线可能平行、异面或相交；B项中平行于同一条直线的两个平面可能平行或相交；C项中垂直于同一平面的两个平面可能平行或相交；D项正确.2.答案 D解析 ①m，n可能异面、相交或平行，④m，n可能平行、异面或相交，所以①④错误.3.答案 D解析 两个平面都垂直于同一个平面，则这两个平面可能平行，也可能相交，故A，B，C都有可能，故选D.4.答案 ①③解析 由“垂直于同一平面的两直线平行”知①真；由“平行于同一平面的两直线平行或异面或相交”知②假；由“垂直于同一直线的两平面平行”知③真；易知④假.5.答案 解析 ∵侧面PAC⊥底面ABC，交线为AC，∠PAC＝90°(即PA⊥AC)，∴PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，∴PB＝＝＝.课时精练答案一、选择题1.答案 D解析 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，平面A1ABB1⊥平面A1B1C1D1且平面A1ABB1∩平面A1B1C1D1＝A1B1，又EF⊂面A1ABB1，EF⊥A1B1，∴EF⊥平面A1B1C1D1，答案D正确.2.答案 B解析 ∵PA＝PB，AD＝DB，∴PD⊥AB.又∵平面ABC⊥平面PAB， 平面ABC∩平面PAB＝AB，∴PD⊥平面ABC.3.答案 A解析 连接AC1，∠BAC＝90°，即AC⊥AB，又AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，所以AC⊥平面ABC1.又AC⊂平面ABC，于是平面ABC1⊥平面ABC，且AB为交线，因此，点C1在平面ABC上的投影必在直线AB上，故选A.4.答案 B解析 由SG⊥GE，SG⊥GF，得SG⊥平面EFG，排除C、D；若SE⊥平面EFG，则SG∥SE，这与SG∩SE＝S矛盾，排除A，故选B.5.答案 C解析 ∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，A选项正确；∵BC⊥AC，∴BC⊥面PAC，∴BC⊥PC，∴B，D选项均正确.故选C.6.答案 B解析 如图，由题设，知O是垂心，且有AP⊥PD，所以PD2＝OD·AD，即S＝S△OBC·S△ABC.7.答案 B解析 取BD的中点O，连接A′O，CO.∵A′B＝A′D，∴A′O⊥BD.∵CD⊥BD，∴OC不垂直于BD.假设A′C⊥BD，∵A′O∩A′C＝A′，∴BD⊥平面A′OC，∴OC⊥BD，出现矛盾，即A′C不垂直于BD，A选项错误；∵CD⊥BD，平面A′BD⊥平面BCD，且平面A′BD∩平面BCD＝BD，∴CD⊥平面A′BD，∴CD⊥A′B.∵A′B＝A′D＝1，BD＝，∴A′B⊥A′D，∴A′B⊥平面A′CD，∴A′B⊥A′C，B选项正确；∠CA′D为直线CA′与平面A′BD所成的角，∠CA′D＝45°，C选项错误； VA′－BCD＝S△A′BD·CD＝，D选项错误.二、填空题8.答案 1解析 ①②作为前提条件，③作为结论构成的命题正确，过l作一平面与β交于l′，则l∥l′，所以l′⊥α，故α⊥β；①③作为前提条件，②作为结论构成的命题错，这时可能有l⊂β；②③作为前提条件，①作为结论构成的命题错，这时l与α的各种位置关系都可能存在.9.答案 解析 取BC的中点F，连接EF，DF，易知∠EDF为直线DE与平面ABCD所成的角，tan∠EDF＝＝.10.答案 8解析 如图.因为矩形ABCD的四个顶点都在球面上，所以过A，B，C，D四点的截面圆的圆心为矩形ABCD的中心O′.连接OO′，在△AOC中，因为OA＝OC，且O′为AC的中点，所以OO′⊥AC.同理，OO′⊥BD.又因为AC∩BD＝O′，所以OO′⊥平面ABCD，即OO′为棱锥O－ABCD的高.AO′＝＝＝＝2，OO′＝＝＝2，所以VO－ABCD＝×6×2×2＝8.11.答案 解析 取CD的中点G，连接MG，NG. 因为ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，所以MG⊥CD，MG＝2，NG＝.因为平面ABCD⊥平面DCEF，所以MG⊥平面DCEF，可得MG⊥NG，所以MN＝＝.三、解答题12.证明 (1)如图所示，设AC∩BE＝O，连接OF，EC.由于E为AD的中点，AB＝BC＝AD，AD∥BC，所以AE∥BC，AE＝AB＝BC，因此，四边形ABCE为菱形，所以O为AC的中点.又F为PC的中点，因此，在△PAC中，可得AP∥OF.又OF⊂平面BEF，AP⊄平面BEF，所以AP∥平面BEF.(2)由题意，知ED∥BC，ED＝BC，所以四边形BCDE为平行四边形，所以BE∥CD.又AP⊥平面PCD，所以AP⊥CD，所以AP⊥BE.因为四边形ABCE为菱形，所以BE⊥AC.又AP∩AC＝A，AP、AC⊂平面PAC，所以BE⊥平面PAC. 13.(1)证明 因为四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形，所以AA1⊥AB，AA1⊥AC.因为AB，AC为平面ABC内两条相交的直线，所以AA1⊥平面ABC.因为直线BC⊂平面ABC，所以AA1⊥BC.又由已知，AC⊥BC，AA1、AC为平面ACC1A1内两条相交的直线，所以BC⊥平面ACC1A1.(2)解 取线段AB的中点M，连接A1M，MC，A1C，AC1，设O为A1C，AC1的交点.由已知，O为AC1的中点.连接MD，OE，则MD，OE分别为△ABC，△ACC1的中位线，所以MD綊AC，OE綊AC，因此MD綊OE.连接OM，从而四边形MDEO为平行四边形，则DE∥MO.因为直线DE⊄平面A1MC，MO⊂平面A1MC，所以直线DE∥平面A1MC.即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)，使直线DE∥平面A1MC.