直线与平面平面与平面垂直的性质

直线与平面平面与平面垂直的性质 思考:1.已知直线和平面,如果,那么的位置关系如何?2.设,且那么直线AB与平面的位置关系如何?3.设平面垂直平面,点P在平面内,过点P作平面的垂线,直线与平面具有什么位置关系? 线面、面面垂直的性质定理1．线面垂直性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行(线面垂直→线线平行)．2．面面垂直性质定理①：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．用符号语言表示为：若α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l，则a⊥β(面面垂直→线面垂直)．3．面面垂直性质定理②：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内． 直线与平面垂直的性质定理的简单应用例1：如图1，在四面体P－ABC中，若PA⊥BC，PB⊥AC，求证：PC⊥AB.图1 思维突破：要证线线垂直，可先证线面垂直，进而由线面垂直的定义得出线线垂直．证明：过P作PH⊥平面ABC，垂足为H，连接AH、BH和CH.∵PA⊥BC,PH⊥BC，PA∩PH＝P，∴BC⊥平面PAH.又AH⊂平面PAH，∴BC⊥AH.同理AC⊥BH，即H为△ABC的垂心，∴AB⊥CH.∵PH⊥AB，CH∩PH＝H，∴AB⊥平面PCH.∵PC⊂平面PCH，∴PC⊥AB.点评：从本例可以进一步体会线面位置关系的相互转化在解(证)题中的作用． 1－1.已知a、b是两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，a⊥α，b⊥β，则下列命题中不正确的是()BA．若a与b相交，则α与β相交B．若α与β相交，则a与b相交C．若a∥b，则α∥βD．若α⊥β，则a⊥b解析：α与β相交，a与b可能是异面直线．1－2.α、β是两个不同的平面，m、n是α、β之外的两条不同的直线，给出以下四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题___________.①③④→②解析：答案不唯一，如：②③④→①也正确． 图2证明：作AH⊥SB于H.∵平面SAB⊥平面SBC，∴AH⊥平面SBC.∴AH⊥BC.又SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC.又∵AH∩SA＝A，∴BC⊥平面SAB.∴BC⊥AB.面面垂直→线面垂直．平面与平面垂直的性质定理的简单应用例2：如图2，在三棱锥S－ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC.求证：AB⊥BC. 2－1.如图3，四棱锥V－ABCD的底面为矩形，侧面VAB⊥底面ABCD，且VB⊥平面VAD.求证：平面VBC⊥平面VAC.图3证明：∵四边形ABCD为矩形，∴BC⊥AB.又∵面VBA⊥面ABCD，面VBA∩面ABCD＝AB，∴BC⊥面VAB.∴BC⊥VA.∵VB⊥面VAD，∴VB⊥VA.∵VB∩BC＝B，∴VA⊥面VBC.又∵VA⊂面VAC，∴面VBC⊥面VAC. 面面垂直的综合应用例3：如图4，已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，AE⊥SB于E点，过E作EF⊥SC于F点．(1)求证：AF⊥SC；(2)若平面AEF交SD于G，求证：AG⊥SD.图4证明：(1)∵SA⊥平面AC，BC⊂平面AC，∴SA⊥BC.∵四边形ABCD是矩形，∴AB⊥BC.∴BC⊥平面SAB.又AE⊂平面SBC，∴BC⊥AE. 又SB⊥AE，∴AE⊥平面SBC.∴AE⊥SC.又EF⊥SC，∴SC⊥平面AEF，∴AF⊥SC.(2)∵SA⊥平面AC，DC⊂平面AC，∴SA⊥DC.又AD⊥DC，∴DC⊥平面SAD.又AG⊂平面SAD，∴DC⊥AG.又由(1)有SC⊥平面AEF，AG⊂平面AEF，∴SC⊥AG，且SC∩DC＝C，∴AG⊥平面SDC.∴AG⊥SD. 3－1.已知PA⊥矩形ABCD所在平面，平面PDC与平面ABCD成45°角，M、N分别为AB、PC的中点．求证：平面MND⊥平面PDC.图5证明：如图5，设E为PD中点，连接AE、EN，∵M、N分别为AB、PC中点，∴EN∥DC∥AB，∴四边形AMNE为平行四边形，∴MN∥AE. ∴DC⊥AE，DC⊥PD，∴∠PDA是二面角P－DC－A的平面角．∵PDA＝45°，又PA⊥AD，∴∠APD＝45°，△PAD是等腰直角三角形．∵E为PD的中点，∴AE⊥PD.又∵DC⊥AE，∴AE⊥平面PDC.又MN∥AE，∴MN⊥平面PDC.∴平面MND⊥平面PDC.∵PA⊥矩形ABCD所在的平面，∴PA⊥DC，PA⊥AD.又∵DC⊥AD，∴DC⊥平面PAD，而AE⊂平面PAD. 例4：证明：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面．证法一：如图5，在γ内取一点P，作PA垂直α与γ的交线于A，再作PB垂直β与γ的交线于B，则PA⊥α，PB⊥β.∵l＝α∩β，∴l⊥PA，l⊥PB.∵α与β相交，∴PA与PB相交．又PA⊂γ，PB⊂γ，∴l⊥γ.图5 图6证法二：如图6，在α内作直线m垂直于α与γ的交线，在β内作直线n垂直于β与γ的交线，∵α⊥γ，β⊥γ，∴m⊥γ，n⊥γ.∴m∥n.又n⊂β，∴m∥β，∴m∥l，∴l⊥γ. 证法三：如图7，在l上取一点P，过点P作γ的垂线l′，但α∩β＝l，∴l与l′重合，∴l⊥γ.图7 点评：证法一、证法二都是利用“两平面垂直时，在一个平面内垂直于两平面的交线的直线垂直于另一个平面”这一性质，添加了在一个平面内垂直于交线的直线这样的辅助线．这是证法一、证法二的关键．证法三是利用“如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内”这一性质，添加了l′这条辅助线，这是证法三的关键．通过此例，体会两平面垂直时，添加辅助线的方法． 1．下面四个命题，其中真命题的个数为()B①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直；②过空间一点有且只有一条直线和已知平面垂直；③一条直线和一个平面不垂直，这条直线和平面内的所有直线都不垂直；④垂直于同一平面的两条直线平行．A．1个B．2个C．3个D．4个2．两个平面互相垂直，一条直线和其中一个平面平行，则这条直线和另一个平面的位置关系是______________________．解析：②、④是真命题．相交、平行、在平面内练习: 小结:1．线面垂直性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行(线面垂直→线线平行)．2．面面垂直性质定理①：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．用符号语言表示为：若α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l，则a⊥β(面面垂直→线面垂直)．3．面面垂直性质定理②：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内．作业:P：1—9，选做10，11