高中数学人教版必修第一册期末章节复习：第5单元《三角函数》(强化篇）（解析版）

第5单元三角函数（强化篇）基础知识讲解一．运用诱导公式化简求值【基础知识】利用诱导公式化简求值的思路1．“负化正”，运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数．2．“大化小”，利用公式一将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数，利用公式二将大于180°的角的三角函数化为0°到180°的三角函数．3．“小化锐”，利用公式六将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数．4．“锐求值”，得到0°到90°的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得．二．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RRk∈Z值域[﹣1，1][﹣1，1]R 单调性递增区间：（2kπ﹣，2kπ+）（k∈Z）；递减区间：（2kπ+，2kπ+）（k∈Z）递增区间：（2kπ﹣π，2kπ）（k∈Z）；递减区间：（2kπ，2kπ+π）（k∈Z）递增区间：（kπ﹣，kπ+）（k∈Z）最　值x＝2kπ+（k∈Z）时，ymax＝1；x＝2kπ﹣（k∈Z）时，ymin＝﹣1x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1；x＝2kπ+π（k∈Z）时，ymin＝﹣1无最值奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心：（kπ，0）（k∈Z）对称轴：x＝kπ+，k∈Z对称中心：（kπ+，0）（k∈Z）对称轴：x＝kπ，k∈Z对称中心：（，0）（k∈Z）无对称轴周期2π2ππ三．同角三角函数间的基本关系【基础知识】1．同角三角函数的基本关系（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1． （2）商数关系：＝tanα．2．诱导公式公式一：sin（α+2kπ）＝sinα，cos（α+2kπ）＝cos_α，其中k∈Z．公式二：sin（π+α）＝﹣sin_α，cos（π+α）＝﹣cos_α，tan（π+α）＝tanα．公式三：sin（﹣α）＝﹣sin_α，cos（﹣α）＝cos_α．公式四：sin（π﹣α）＝sinα，cos（π﹣α）＝﹣cos_α．公式五：sin（﹣α）＝cosα，cos（﹣α）＝sinα．公式六：sin（+α）＝cosα，cos（+α）＝﹣sinα3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）tan（α+β）＝．（6）tan（α﹣β）＝．4．二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）sin2α＝2sin_αcos_α；（2）cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；（3）tan2α＝． 【技巧方法】诱导公式记忆口诀：对于角“±α”（k∈Z）的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．四．两角和与差的三角函数【基础知识】（1）cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）tan（α+β）＝．（6）tan（α﹣β）＝．五．二倍角的三角函数【基础知识】二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα•cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α＝．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可． 六．半角的三角函数【基础知识】半角的三角函数关系主要是指正切函数与正余弦函数之间的关系（正余弦的半角关系其实就是二倍角关系），其公式为：①tan＝＝＝；②tan＝＝＝．七．三角函数的积化和差公式【基础知识】三角函数的积化和差公式：（1）sinαsinβ＝[cos（α﹣β）﹣cos（α+β）]cosαcosβ＝[cos（α﹣β）+cos（α+β）]（2）sinαcosβ＝[sin（α+β）+sin（α﹣β）]cosαsinβ＝[sin（α+β）﹣sin（α﹣β）]（3）tanαtanβ＝tanαcotβ＝．八．三角函数的和差化积公式【基础知识】三角函数的和差化积公式： （1）sinα+sinβ＝2sincossinα﹣sinβ＝2cossin（2）cosα+cosβ＝2coscoscosα﹣cosβ＝﹣2sinsin（3）cosα+sinα＝sin（+α）＝cos（）cosα﹣sinα＝cos（+α）＝sin（﹣α）习题演练一．选择题（共12小题）1．已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ=（）A．–2B．–1C．1D．2【答案】D【解析】，，令，则，整理得，解得，即.故选：D.2．已知点在第三象限，则角在第几象限（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限 【答案】B【解析】因为点在第三象限，所以所以角在第二象限故选：B3．设，，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，由，即，，所以.故选：C4．已知，，、，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A 【解析】解：、，，，，...故选：A.5．关于函数有下述四个结论：①f(x)是偶函数②f(x)在区间（,）单调递增③f(x)在有4个零点④f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是A．①②④B．②④C．①④D．①③ 【答案】C【解析】为偶函数，故①正确．当时，，它在区间单调递减，故②错误．当时，，它有两个零点：；当时，，它有一个零点：，故在有个零点：，故③错误．当时，；当时，，又为偶函数，的最大值为，故④正确．综上所述，①④正确，故选C．画出函数的图象，6．若，且，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意，，则， 由于，则.故选A.7．已知，且，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，得，即，解得或（舍去），又.故选：A.8．已知函数的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8，则的单调递减区间是（）A．，B．，C．，D．，【答案】D 【解析】由题设可知该函数的最小正周期，结合函数的图象可知单调递减区间是，即，等价于，应选答案D．9．设函数的定义域为，,当时,,则函数在区间上的所有零点的和为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵f（x）=f（2﹣x），∴f（x）关于x=1对称，∵f（﹣x）=f（x），∴f（x）根与x=0对称，∵f（x）=f（2﹣x）=f（x﹣2），∴f（x）=f（x+2），∴f（x）是以2为周期的函数，∴f（x）在[﹣，]上共有3条对称轴，分别为x=0，x=1，x=2，又y=|cos（πx）关于x=0，x=1，x=2对称，∴x=0，x=1，x=2为g（x）的对称轴．作出y=|cos（πx）|和y=x3在[0，1]上的函数图象如图所示： 由图象可知g（x）在（0，）和（，1）上各有1个零点．又g（1）=0，∴g（x）在[﹣，]上共有7个零点，设这7个零点从小到大依次为x1，x2，x3，…x6，x7．则x1，x2关于x=0对称，x3，x5关于x=1对称，x4=1，x6，x7关于x=2对称．∴x1+x2=0，x3+x5=2，x6+x7=4，∴x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7=7．故选A．10．将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则函数的一个极大值点为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】 ，故.令，得，取，可得为极大值点.故选：B.11．函数()的部分图象如图所示，若，且，则（）A．1B．C．D．【答案】D【解析】由图象可知，，即，所以，即，又因为，则，解得，又由，所以，所以，又因为，所以图中的最高点坐标为.结合图象和已知条件可知， 所以，故选D.12．已知，是方程的两根，若，则（）A．B．或C．或D．【答案】D【解析】由题意得＋＝，＝4，所以＜0，＜0，又，故，所以.又.所以.故选：D一．填空题（共6小题）13．已知函数的图象关于直线对称，则的值是________． 【答案】.【解析】由题意可得，所以，因为，所以14．已知，则的值是_____.【答案】.【解析】由，得，解得，或.，当时，上式 当时，上式=综上，15．若，则__________.【答案】【解析】由可以得到，所以，设，则则，所以.故答案为.16．已知，则_______.【答案】【解析】 ，解得：，故答案为：.17．______.【答案】2【解析】由于，所以，即，所以故答案为：18．已知函数（），且（），则______.【答案】【解析】 解法一：∵函数（），.，（），不妨假设，则，，，，，.再根据，，或，则（舍去）或，故答案为：. 解法二：∵函数（），.（），则由正弦函数的图象的对称性可得：，即，故答案为：.三．解析题（共6小题）19．设函数，.（1）求的最小正周期和对称中心；（2）若函数的图像向左平移个单位得到函数的图像，求函数在区间上的值域.【答案】（1）的最小正周期为，对称中心为；（2）.【解析】（1） 令，解得，所以的最小正周期为，对称中心为；（2）函数的图像向左平移个单位得到函数，令，解得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，因为，所以函数在区间上的值域为.20．已知（1）求函数的单调递减区间； （2）若关于的函数在区间上有唯一零点，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）或．【解析】解：（1）令，，解得，，∴的单调递减区间（2）由（1）知，函数在有零点等价于在有唯一根，∴可得设， 则根据函数在上的图象，∵与有唯一交点，∴实数应满足或∴或．故实数的取值范围或．21．已知函数，它的一个对称中心到最近的对称轴之间的距离为，且函数图象的一个对称中心为.（1）求的解析式；（2）确定在上的单调递增区间.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设函数的周期为，由题设得，又∵为图像的一个对称中心，∴， 又∵，∴，故；（2）由，，∴在上递增，当时，在递增，由，∴在上的单调递增区间为．22．已知：sinα+cosα＝，α∈（π，2π）．（1）求sinα﹣cosα的值；（2）求tanα，tan的值．【答案】（1）（2），【解析】（1）将两边平方得：，，，，，即，， ，（2）联立，解得，，23．已知．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】解：（Ⅰ），解得； （Ⅱ）=．24．已知函数，其图象与轴相邻的两个交点的距离为.（1）求函数的解析式；（2）若将的图象向左平移个长度单位得到函数的图象恰好经过点，求当取得最小值时，在上的单调区间.【答案】（1）（2）单调增区间为，；单调减区间为.【解析】解：（1） 由已知函数的周期，，∴.（2）将的图象向左平移个长度单位得到的图象∴，∵函数的图象经过点∴，即∴，∴，∵，∴当，取最小值，此时最小值为此时，.令，则当或，即当或时，函数单调递增当，即时，函数单调递减.∴在上的单调增区间为，；单调减区间为 .