高中数学人教版必修第一册期中复习专题3.6 解答（30道）冲刺篇（1-3章）（解析版）

专题3.6解答（30道）冲刺篇（期中篇）（1-3章）1．已知集合（1）判断8，9，10是否属于集合；（2）已知集合，证明：“”的充分非必要条件是“”；（3）写出所有满足集合的偶数.【答案】（1），，；（2）详见解析；（3）所有满足集合的偶数为，．【解析】（1），，，，假设，，则，且，，，或，显然均无整数解，，，，；（2）集合，则恒有，，即一切奇数都属于，又，“”的充分非必要条件是“”；（3）集合，成立， ①当，同奇或同偶时，，均为偶数，为4的倍数；②当，一奇，一偶时，，均为奇数，为奇数，综上所有满足集合的偶数为，．2．已知，.（1）若，求；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）当时，，或，因此，；（2）由（1）可得，若是的充分不必要条件，则Ü，所以，，解得.①当时，，则Ü成立；②当时，，则Ü成立.综上所述，实数的取值范围是. 3．设集合．（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）或；（2）或.【解析】（1）集合，若，则是方程的实数根，可得：，解得或；（2）∵，∴，当时，方程无实数根，即解得：或；当时，方程有实数根，若只有一个实数根，，解得：．若只有两个实数根，x=1、x=2，,无解. 综上可得实数的取值范围是{a|a≤-3或a＞}4．比较下列各组中两个代数式的大小：（1）与；（2）当，且时，与.【答案】（1）；（2）.【解析】（1），因此，；（2）.①当时，即，时，，；②当时，即，时，，.综上所述，当，且时，.5．已知，.（1）求证：；（2）若，求ab的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）1.【解析】 证明：（1）∵，∴.（2）∵，，∴，即，∴，∴.当且仅当时取等号，此时ab取最小值1.6．已知，，为正实数，且，证明：（1）；（2）.【解析】（1）因为，，为正实数，所以，，，（当且仅当时，等号同时成立），所以.（2）因为，所以又，即.（当且仅当时，等号同时成立）. 所以，即.7．已知函数.（1）求不等式的解集；（2）正数满足，证明：.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】（1）当时，，解得，所以；当时，，；当时，，解得，所以.综上，不等式的解集为.（2）证明：因为为正数，则等价于对任意的恒成立.又因为，且，所以只需证，因为，当且仅当时等号成立.所以成立. 8．已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若为集合中的最大元素，且，求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）当，即时，，解得；当，即时，，解得，所以不等式的解集（2）由（1）知，所以，所以.当且仅当，时,等号成立.所以的最小值的最小值为.9．已知，函数.（1）若，且函数的定义域和值域均为，求实数的值； （2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）∵的图象开口向上，对称轴为，∴在上单调递减，∴，即，解得.（2）不等式对恒成立，即对恒成立，故且在恒成立，令，，所以，所以.令，所以， 所以.综上：.10．（1）已知，，且，比较与的大小；（2）若关于的不等式的解集中整数恰好有个，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1），且，，则，因此，；（2）由可得，由于不等式的解集中恰好有三个整数，则，可得.原不等式的解为，即，，则，， 所以，不等式的解集中一定含有整数、、，则，可得，解得.因此，实数的取值范围是.11．已知函数的图象关于直线对称且．（1）求的值；（2）求函数在区间上的最小值和最大值．【答案】（1）；（2）最大值，最小值.【解析】（1）由于函数的图象关于直线对称且，则，解得；（2），，所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以，函数在区间上的最大值为，最小值为．12．已知，若关于x的不等式的解集是．(1)求a的值； (2)若关于x的不等式在上恒成立，求实数b的取值范围.【答案】(1)；(2)【解析】(1)和是的两根，将代入方程解得；(2)由(1)可知不等式在上恒成立，即在上恒成立，当时，恒成立，此时；当时，不等式可转化为在上恒成立，因为，当且仅当，即时，等号成立，所以，所以,综上，实数b的取值范围为.13．已知函数（1）若，求的值；（2）解不等式.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）当时，由，得，不符合题意；当时，由，得或(舍去)，故 （2）等价于——①或——②解①得，解②得，综合①②知的解集为.14．已知，求。【答案】，【解析】令，则，将代入中，可得，所以，。15．（1）已知函数是一次函数，若，求的解析式；（2）已知是二次函数，且满足，，求的解析式．【答案】（1）或；（2）．【解析】（1）设，则， 又，所以，，解得或，因此，或；（2），则，，即，即，所以，解得.因此，.16．已知函数.（1）当时，求函数的单调递增区间；（2）对任意，当函数的图像恒在函数图像的下方时，求实数的取值范围.【答案】（1）和；（2）.【解析】（1）当时，，可知函数的单调递增区间为；（2）由题知在恒成立，即， 即，即只要且在上恒成立即可，在时，只有的最大值小于且的最小值大于即可，当时，单调递增，则，当时，单调递增，则，.17．已知函数f(x)为二次函数,且f(x-1)+f(x)=2x2+4.(1)求f(x)的解析式;(2)当x∈[t,t+2],t∈R时,求函数f(x)的最小值(用t表示).【答案】（1）；（2）【解析】(1)设f(x)=ax2+bx+c,b(x-1)+c+a+bx+c=2a+(2b-2a)x+a-b+2c=2+4,, 解得,∴f(x)=x2+x+2.(2)∵f(x)=x2+x+2的对称轴为x=-;当tt+2，即时, =f(-)=当t时,f(x)=x2+x+2在x∈[t,t+2]上单调递增， =f(t)=t2+t+2,当t