2020-2021学年广西南宁市六校联考高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．已知集合A＝{x|x+2＞0}，B＝{﹣2，﹣1，0，1}，则A∩B＝（）A．[﹣2，1]B．（﹣2，1]C．{﹣2，﹣1，0，1}D．{﹣1，0，1}2．若复数z＝i（1+i），则|z|＝（）A．1B．C．D．23．某网站为了解“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2019年1月至2019年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了下面的折线图．根据折线图，下列结论正确的是（）A．月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数B．月跑步平均里程逐月增加C．月跑步平均里程高峰期大致在8、9月D．1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳4．若抛物线y2＝8x上一点P（m，n）到其焦点的距离为8m，则m＝（）A．B．C．D．5．“中国天眼”历时22年建成，是具有我国自主知识产权，世界最大单口径（球冠底面直径500米）、最灵敏的球面射电望远镜，其形状可近似地看成一个球冠（球面被平面所截得的一部分叫做球冠，如图所示，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高．球面的半径是R，球冠的高是h，那么球冠的表面积公式为：S＝2πRh）．已知天眼的反射面总面积（球冠面积）约为25万平方米，则天眼的球冠高度约为（）
A．60米B．100米C．130米D．160米6．已知向量，满足||＝2，（+）•＝2，|﹣|＝2，向量﹣与的夹角为（）A．B．C．D．7．的展开式中，含x3项的系数为（）A．45B．﹣45C．15D．﹣158．若α∈（0，π），且3sinα+2cosα＝2，则等于（）A．B．C．D．9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．10．有6个座位连成一排，安排三人就座，三个空位两两不相邻的不同坐法有（）种A．12B．24C．36D．4811．已知a＝e，b＝3log3e，c＝，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜bB．a＜c＜bC．b＜c＜aD．a＜b＜c12．已知函数f（x）为定义域为R的偶函数，且满足f（1+x）＝f（1﹣x），当x∈[﹣1，0]时f（x）＝﹣x，则函数F（x）＝f（x）+在区间[﹣9，10]上零点的个数为（）
A．10B．12C．18D．20二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设变量x，y满足，则z＝3x+y的最小值为．14．在某市2021年1月份的高三质量检测考试中，所有学生的数学成绩服从正态分布N（98，102），现任取一名学生，则他的数学成绩在区间（108，118）内的概率为．（附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9544．）15．函数y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的部分图像如图所示，则f（1）+f（2）+⋯+f（2017）＝．16．点F为双曲线C：（a＞0，b＞0）的左焦点，直线y＝kx分别与双曲线C的左、右两支交于A、B两点：且满足FA⊥AB，O为坐标原点，∠ABF＝∠AFO，则双曲线C的离心率e＝．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2bsin（C+）．（1）求B；（2）若△ABC的面积为，D为AB边的中点，求CD的最小值．
18．为了增强消防意识，某部门从男职工中随机抽取了50人，从女职工中随机抽取了40人参加消防知识测试，按优秀程度制作了如下2×2列联表：优秀非优秀总计男职工35女职工总计50（1）完成2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为消防知识是否优秀与性别有关；（2）为参加市里举办的消防知识竞赛，该部门举行了预选赛，已知在消防知识测试中优秀的职工通过预选赛的概率为，现从消防知识测试中优秀的职工中选3人参加预选赛，设随机变量X表示这3人中通过预选赛的人数，求X的分布列与数学期望．附：P（K2≥k）0.1000.0500.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.82819．如图所示，平面ABCD⊥平面BCEF，且四边形ABCD为矩形，四边形BCEF为直角梯形，BF∥CE，BC⊥CE，DC＝CE＝4，BC＝BF＝2．（Ⅰ）求证：AF∥平面CDE；（Ⅱ）求直线BE与平面ADE所成角的余弦值；（Ⅲ）求点B到平面ADE的距离．
20．设数列{an}的前n项和为Sn，_____．从①数列{an}是公比为2的等比数列，a2，a3，a4﹣4成等差数列；②Sn＝2an﹣2；③Sn＝2n+1﹣2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．21．已知f（x）＝4lnx﹣x2+a，g（x）＝（x2﹣4x+4）ex﹣．（1）求函数g（x）的单调区间；（2）若f（x）＜g（x）恒成立，求实数a的取值范围．22．如图所示，已知圆C：（x+1）2+y2＝8，定点A（1，0），M为圆C上一动点，点P在线段AM上，点N在线段CM上，且满足，点N的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）若过定点F（0，2）的直线交曲线E于不同的两点G、H（点G在点F、H之间），
且满足的取值范围．
参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．已知集合A＝{x|x+2＞0}，B＝{﹣2，﹣1，0，1}，则A∩B＝（）A．[﹣2，1]B．（﹣2，1]C．{﹣2，﹣1，0，1}D．{﹣1，0，1}解：∵集合A＝{x|x+2＞0}＝{x|x＞﹣2}，B＝{﹣2，﹣1，0，1}，∴A∩B＝{﹣1，0，1}．故选：D．2．若复数z＝i（1+i），则|z|＝（）A．1B．C．D．2解：∵z＝i（1+i）＝﹣1+i，则|z|＝，故选：C．3．某网站为了解“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2019年1月至2019年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了下面的折线图．根据折线图，下列结论正确的是（）A．月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数B．月跑步平均里程逐月增加C．月跑步平均里程高峰期大致在8、9月D．1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳解：由2019年1月至2017年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制的折线图，知：在A中，月跑步平均里程的中位数为5月份对应的里程数，故A错误；在B中，月跑步平均里程2月、7月、8月和11月减少，故B错误；在C中，月跑步平均里程高峰期大致在9、10月，故C错误；
在D中，1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳，故D正确．故选：D．4．若抛物线y2＝8x上一点P（m，n）到其焦点的距离为8m，则m＝（）A．B．C．D．解：∵抛物线y2＝8x，∴p＝4，又∵抛物线y2＝8x上一点P（m，n）到其焦点的距离为8m，∴由抛物线的定义可得，|PF|＝m+＝m+2＝8m，即m＝．故选：B．5．“中国天眼”历时22年建成，是具有我国自主知识产权，世界最大单口径（球冠底面直径500米）、最灵敏的球面射电望远镜，其形状可近似地看成一个球冠（球面被平面所截得的一部分叫做球冠，如图所示，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高．球面的半径是R，球冠的高是h，那么球冠的表面积公式为：S＝2πRh）．已知天眼的反射面总面积（球冠面积）约为25万平方米，则天眼的球冠高度约为（）A．60米B．100米C．130米D．160米解：如图，O′B＝250，球面半径为R，球冠的高是h，则球冠面积S＝2πRh．在Rt△OO′B中，有（R﹣h）2+2502＝R2，整理得2Rh＝h2+2502，则2πRh＝πh2+π•2502，∴πh2+π•2502＝250000，得＝≈17118，
∴h≈130米，故选：C．6．已知向量，满足||＝2，（+）•＝2，|﹣|＝2，向量﹣与的夹角为（）A．B．C．D．解：向量，满足||＝2，（+）•＝2，可得，所以＝﹣2，|﹣|＝2，＝2，＝2，所以＝2，向量﹣与的夹角为θ，cosθ＝＝＝＝﹣，θ∈[0，π]，所以θ＝．故选：D．7．的展开式中，含x3项的系数为（）A．45B．﹣45C．15D．﹣15解：二项式（x﹣1）6的展开式的通项公式为T＝C，所以（x+）（x﹣1）6的展开式中含x3的项为：x+＝15x3+30x3＝45x3，所以含x3项的系数为45，故选：A．8．若α∈（0，π），且3sinα+2cosα＝2，则等于（）
A．B．C．D．解：∵α∈（0，π），且3sinα+2cosα＝6sincos+2（2﹣1）＝2，∴6sincos+4＝4，即3sincos+2＝2，∴＝＝2，解得tan＝，或tan＝0（舍去），故选：D．9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．解：根据几何体的三视图转换为直观图为：作出该几何体的直观图如下所示，观察可知，该几何体的最长棱长为（SB，SC），，，，所以．
故选：C．10．有6个座位连成一排，安排三人就座，三个空位两两不相邻的不同坐法有（）种A．12B．24C．36D．48解：根据题意，安排三人就座，三个空位两两不相邻，相当于3个人之间插入3个空位置，故有A33C43＝6×4＝24种，故选：B．11．已知a＝e，b＝3log3e，c＝，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜bB．a＜c＜bC．b＜c＜aD．a＜b＜c解：设，x≥e，则f'（x）＝恒成立，∴函数f（x）在[e，+∞）上单调递增，∵a＝f（e），b＝f（3），c＝，又∵e＜3＜5，∴a＜b＜c．故选：D．12．已知函数f（x）为定义域为R的偶函数，且满足f（1+x）＝f（1﹣x），当x∈[﹣1，0]时f（x）＝﹣x，则函数F（x）＝f（x）+在区间[﹣9，10]上零点的个数为（）A．10B．12C．18D．20解：条件等价于函数f（x）与g（x）＝﹣图象在[﹣9，10]上交点的个数，因为f（1+x）＝f（1﹣x），所以函数f（x）图象关于x＝1对称，又因为f（x）为偶函数且当x∈[﹣1，0]时f（x）＝﹣x，所以当x∈[0，1]时f（x）＝x，g（x）＝﹣＝＝+，作出函数f（x）与g（x）的图象如图：
由图可知，共10个交点，故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设变量x，y满足，则z＝3x+y的最小值为5．解：作出变量x，y满足对应的平面区域如图，由z＝3x+y，得y＝﹣3x+z，平移直线y＝﹣3x+z，由图象可知当直线y＝﹣3x+z，经过点A时，直线y＝﹣3x+z的截距最小，此时z最小．由，解得A（1，2），此时z的最小值为z＝3×1+2＝5，故答案为：5．14．在某市2021年1月份的高三质量检测考试中，所有学生的数学成绩服从正态分布N（98，
102），现任取一名学生，则他的数学成绩在区间（108，118）内的概率为0.1359．（附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9544．）解：∵所有学生的数学成绩服从正态分布N（98，102），∴P（88＜X＜108）＝0.6826，P（78＜X＜118）＝0.9544，∴根据正态分布的对称性可知，．故答案为：0.1359．15．函数y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的部分图像如图所示，则f（1）+f（2）+⋯+f（2017）＝．解：根据函数的图象，利用函数的最值可得：A＝2，函数的周期为：T＝2×4＝8，则：，当x＝2时：，解得：φ＝2kπ（k∈Z），令k＝0可得：φ＝0，函数的解析式为：，据此可得：对任意的正整数k：f（k）+f（k+1）+⋯+f（k+7）＝0，则：．故答案为：．16．点F为双曲线C：（a＞0，b＞0）的左焦点，直线y＝kx分别与双曲线C的左、右两支交于A、B两点：且满足FA⊥AB，O为坐标原点，∠ABF＝∠AFO，则双
曲线C的离心率e＝．解：如图，设双曲线的另一个焦点为F1，连接AF1，BF1．根据双曲线的对称性可得，AFBF1为平行四边形．由FA⊥AB，在Rt△AFO与Rt△AFB中，∵∠ABF＝∠AFO，∴，得．在Rt△AFO中，有FO2＝c2＝AF2+AO2＝3AO2，得，．由双曲线的定义有：，在Rt△AFB中，BF2＝AF2+AB2，即，化简整理得：，两边同时除以a2化为，解得：．∴双曲线的离心率为，故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2bsin（C+）．（1）求B；（2）若△ABC的面积为，D为AB边的中点，求CD的最小值．解：（1）△ABC中，a＝2bsin（C+），由正弦定理得sinA＝2sinBsin（C+），
即sin（B+C）＝2sinB（sinCcos+cosCsin），即sinBcosC+cosBsinC＝sinBsinC+sinBcosC，又sinC＞0，化简得cosB＝sinB，即tanB＝；又B∈（0，π），所以B＝．（2）因为△ABC的面积为S△ABC＝acsinB＝ac＝，解得ac＝4；在△BCD中，由余弦定理可得，CD2＝a2+﹣2a•cosB＝a2+﹣2≥2a•﹣2＝2，当且仅当a＝，c＝2时，等号成立，所以CD≥，即CD的最小值为．18．为了增强消防意识，某部门从男职工中随机抽取了50人，从女职工中随机抽取了40人参加消防知识测试，按优秀程度制作了如下2×2列联表：优秀非优秀总计男职工35女职工总计50（1）完成2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为消防知识是否优秀与性别有关；（2）为参加市里举办的消防知识竞赛，该部门举行了预选赛，已知在消防知识测试中优秀的职工通过预选赛的概率为，现从消防知识测试中优秀的职工中选3人参加预选赛，设随机变量X表示这3人中通过预选赛的人数，求X的分布列与数学期望．附：P（K2≥k）0.1000.0500.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.828解：（1）2×2列联表如图：优秀非优秀总计男职工351550
女职工152540总计504090≈9.506＜10.828．∴没有99.9%的把握认为消防知识是否优秀与性别有关；（2）X的可能取值是0，1，2，3．P（X＝0）＝，P（X＝1）＝，P（X＝2）＝，P（X＝3）＝．X的分布列为：X0123PE（X）＝．19．如图所示，平面ABCD⊥平面BCEF，且四边形ABCD为矩形，四边形BCEF为直角梯形，BF∥CE，BC⊥CE，DC＝CE＝4，BC＝BF＝2．（Ⅰ）求证：AF∥平面CDE；（Ⅱ）求直线BE与平面ADE所成角的余弦值；（Ⅲ）求点B到平面ADE的距离．【解答】（Ⅰ）证明：以C为坐标原点，以CB、CE、CD所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图，
根据题意可得C（0，0，0），A（2，0，4），B（2，0，0），D（0，0，4），E（0，4，0），F（2，2，0），∴＝（0，0，4），易得＝（1，0，0）是平面CDE的一个法向量，∵•＝（0，0，4）•（1，0，0）＝0，∴AF∥平面CDE；（Ⅱ）解：设平面ADE的一个法向量为＝（x1，y1，z1），∵＝（﹣2，0，0），＝（0，4，﹣4），则，∴，取z1＝1，得＝（0，1，1），，设直线BE与平面ADE所成角为θ，则，所以，所以BE与平面ADE所成角的余弦值为；（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知平面ADE的一个法向量为＝（0，1，1），∴，∴点B到平面ADE的距离为．20．设数列{an}的前n项和为Sn，_____．从①数列{an}是公比为2的等比数列，a2，a3，a4﹣4成等差数列；②Sn＝2an﹣2；③Sn
＝2n+1﹣2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．解：选①时，数列{an}是公比为2的等比数列，a2，a3，a4﹣4成等差数列；所以2a3＝a2+a4﹣4，则8a1＝2a1+8a1﹣4，解得a1＝2，所以．选②时，Sn＝2an﹣2；所以当n＝1时，a1＝2，当n≥2时，Sn﹣1＝2an﹣1﹣2，所以an＝Sn﹣Sn﹣1＝2an﹣1，整理得：（常数），所以；选③时，Sn＝2n+1﹣2，所以．（2）bn＝＝，所以①，②，所以①﹣②得：，＝，所以．
21．已知f（x）＝4lnx﹣x2+a，g（x）＝（x2﹣4x+4）ex﹣．（1）求函数g（x）的单调区间；（2）若f（x）＜g（x）恒成立，求实数a的取值范围．解：（1）因为y＝g（x）的定义域为R，又g′（x）＝（2x﹣4）ex+（x2﹣4x+4）ex＝2（x﹣2）ex+（x﹣2）2ex＝x（x﹣2）ex，由g′（x）＝0得x＝2或x＝0，x（﹣∞，0）0（0，2）2（2，+∞）g（x）+0﹣0+g′（x）增极大减极小增所以g（x）的单调递增区间为（﹣∞，0）和（2，+∞），递减区间为（0，2），（2）因为y＝f（x）定义域为（0，+∞），令F（x）＝g（x）﹣f（x）＝（x2﹣4x+4）ex﹣﹣4lnx+x2﹣a（x＞0），F′（x）＝x（x﹣2）ex﹣+x＝（x﹣2）（xex+），所以当x∈（0，2）时，F′（x）＜0；当x∈（2，+∞）时，F′（x）＞0，所以F（x）min＝F（2）＝﹣+2﹣4ln2﹣a，则﹣+2﹣4ln2﹣a＞0，所以a＜2﹣4ln2﹣，故实数a的取值范围为（﹣∞，2﹣4ln2﹣）．22．如图所示，已知圆C：（x+1）2+y2＝8，定点A（1，0），M为圆C上一动点，点P在线段AM上，点N在线段CM上，且满足，点N的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）若过定点F（0，2）的直线交曲线E于不同的两点G、H（点G在点F、H之间），且满足的取值范围．
解：（1）设点N的坐标为（x，y），∵，∴点P为AM的中点，∵＝0，∴NP⊥AM，∴NP是线段AM的垂直平分线，∴NM＝NA，又点N在CM上，设圆的半径是r，则r＝2，∴NC＝r﹣NM，∴NC+NM＝r＝2＞AC，∴点N的轨迹是以A、C为焦点的椭圆，∴2a＝2，c＝1，可求得b＝1，∴椭圆，即曲线E的方程：．（2）当斜率不存在时，直线与曲线E有2个交点此时参数的值为，不妨设FH斜率为k，且将原点移至F，则直线FH方程为y＝kx，椭圆方程变为+（y﹣2）2＝1，将直线方程代入椭圆得+（kx﹣2）2＝1，整理得（1+2k2）x2﹣8kx+6＝0，直线与曲线E有二不同的交点，故△＝（﹣8k）2﹣4•6（1+2k2）＝16k2﹣24＞0，即k2＞，因为左右对称，可以研究单侧，当k＞0时，λ＝＝即λ＝＝由k2＞，即，即，令t＝∈（0，1），则λ＝，t∈（0，1），
由于λ＝＝，故函数在t∈（0，1）上是减函数，故综上，参数的取值范围是
微信/支付宝扫码支付