2.3.1直线与平面垂直的判定一、教材地位和作用：《直线与平面垂直的判定第一课时》是人教版高中数学新教材必修2第2章第3节。在此之前，学生已学习了直线和平面平行的判定及性质,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。是要重点研究的一种线面关系，它是学生进一步研究多面体和旋转体的基础。因此，它起着承上启下的作用。同时，也是培养学生的空间想象力和逻辑思维能力的重要素材，为培养学生的创新意识和创新能力提供了一个良好的契机。二、教学目标：根据上述教材结构，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，制定如下教学目标：1.知识与技能：（1）借助对图片、实例的观察，抽象概括出直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义。（2）通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直判定的定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题，进一步培养学生的空间观念。2.过程与方法：培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论。3.情感与态度：（1）让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。（2）培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知。三、教学重点难点1.教学重点：操作确认并概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。2.教学难点：操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及初步运用四、教学过程（一）类比引入我们知道，同一平面内，直线与直线之间有平行和垂直两种关系，通过前面的学习可以知道，直线与平面之间也存在平行的关系，自然地，我们就可以想，直线与平面之间是否也存在垂直关系呢？我们又怎么判断一条直线与一个平面平行呢？（二）观察概括1.在生活中，很多东西可以让我们感受到直线与平面垂直的现象，请同学们观察图片（展示生活图片）。这时就要思考一个问题：既然我们要判断一条直线与一个平面是否垂直，那么怎样理解直线与平面垂直呢，也就是说，直线与平面垂直的定义是什么？
1.带着这个问题，一起来观察一个例子。一根竹竿AB垂直立在平面a上，B是竹竿与a的交点。阳光斜射过来时，竹竿AB会在平面a上产生一个影子。影子所在的直线与AB所在直线有什么样的关系呢？（答：垂直）很好。随着时间的改变，太阳会改变，竹竿AB的影子也会跟着改变（PPT演示）。而影子在变化的时候，影子所在直线与AB所在的直线的关系有没有改变呢？（答：没有）对，不管影子怎么改变，他们的关系始终是垂直的。那么影子所在的直线有什么特点呢？（引导回答：过B点）这样我们就发现了一件事情，就是：a内过点B的直线，AB所在直线（PPT演示）。那a内不过点B的直线与AB所在直线是不是垂直呢？（PPT演示，可叫学生回答）。通过观察图中会发现，我们可以过B点作BiCi的平行线BC,而BC与AB所在直线垂直，由平行线的传递性可以知道，B1C1与AB所在直线垂直，这样我们又发现了一件事情，就是：a内不过点B的直线，AB所在直线（PPT演示）。加以概括，就会得到：a内任意一条直线，AB所在直线，这时AB与a是垂直的。提出直线与平面垂直的定义：如果直线l与平面a内的任意一条直线都垂直，则称直线l与平面a垂直，记作l，a。这时，l与a的交点称为垂足，l称为a的垂线，a称为l的垂面。2.有了定义，我们就可以用它来判断直线与平面垂直，但可以发现那是很困难的。根据定义，我们需要把平面内的每一条直线一一取出验证，而一个平面里有多少条直线呢？（答：无数条）我们要把无数条直线一一拿出来验证，有时候比较麻烦的，有没有别的判断方法呢？下面就来进行新的探索。（三）探索思考1.思考：如果直线l与平面a内的一条直线垂直，直线l与平面a是否互相垂直？（学生观察，请学生发言）我们可以轻松地举出一个反例出来（PPT演示），这种情况是错误的。1..思考：如果直线l与平面a内的两条直线垂直，直线l与平面a是否互相垂直？（引导：平面a内的两条直线有哪些可能的情况？答：平行和相交）分情况讨论：假如平面a内的两条直线平行，直线l与平面a是否互相垂直？（可学生发言）由平行线的传递性，我们很快就会发现，这时的情况和我们刚才讨论的情况（就是探索1）是一样的，所以错。假如平面a内的两条直线相交，情况会是怎么样呢？3.探索：如果直线l与平面a内的两条相交直线垂直，直线l与平面a是否互相垂直？同学们一起来做一个小实验：准备三张三角形的纸片，第一步：取出第一张纸片，沿着底边上的高对折，然后立在水平的桌面上（可以发现，纸片可以直立在桌面上）；第二步：取出第二张纸片，折线与底边上的高平行，操作同上（可以发现，纸片仍可以直立在桌面上）；第三步：取出第三张纸片，折线不能与底边上的高平行，操作同上（可以发现，不管怎么折，纸片都不能直立在桌面上）提问：我们从这个小实验中可以发现什么东西呢？4.引导：我们发现，只有折线是底边上的高或者与底边上的高平行的时候，
纸片才能直立在水平桌面上（PPT演示），这时折线与桌面是垂直（可学生答）的。折线有什么特点呢？（学生观察：与底边垂直，与翻折后底边的两部分垂直）很好，折线与底边是垂直的，翻折后垂直关系不变，底边的两部分与折线垂直。这两部分所在直线有什么特点呢？我们把它们的共同特点提取出来（PPT演示），就可以知道，它们是平面内的两条相交直线，这样，同学们有没有什么新的发现呢？（学生答：如果直线l与平面民内的两条相交直线垂直，直线l与平面民互相垂直的）对了（PPT）,说的很好，他发现如果直线l与平面a内的两条相交直线垂直，直线l与平面a互相垂直，其他人发现了吗？（稍停顿）这个发现是不是正确的呢？我们还不能下结论，因为这个只是一个数学猜想，如果要说它是正确的话，就要通过数学证明才行。这个证明过程就先不讲，同学们可以查阅资料。其实，这个就是我们的直线与平面垂直的判定定理。3.补充：通过判定定理我们可以发现，要判断一条直线与一个平面是否垂直，只需要验证平面内的两条直线就够了，而这两条直线一定要是相交的。接下来，一起通过一道例题来用一下判定定理。（四）例题讲解例2.如图，已知a//b,a_L%求证：bla解法一：设m为a内的任一条直线。因为a_L“，根据直线与平面垂直的定义知aim又因为b//a,所以b_Lm因为m为a内的任一条直线，所以b1«。解法二：设m,n为a内的两条相交直线。因为a_La,根据直线与平面垂直的定义知a_Lm,aln又因为b//a,所以b-Lm,b-Ln根据直线与平面垂直的判定定理知b-La在我们判断直线与平面垂直的时候，要根据不同的情况，选择不同的方法来判断，其实在更多的时候，判定定理要比定义更加简单方便，这个在练习中会逐渐体会到。（五）课堂小结这节课我们通过观察概括出了直线与平面垂直的定义，同时通过探索发现了直线与平面垂直的判定定理。由直线与平面垂直的定义，可以把线面垂直转化
为线线垂直；由直线与平面垂直的判定定理，可以把把线线垂直转化为线面垂直，这里体现出了“线面垂直”与“线线垂直”相互转化的数学思想。在理解直线与平面垂直的判定定理的时候，要注意“线不在多，相交则行”的道理。（六）课后作业1.课本第67页练习中的第2题.2.如图，PA±¥面ABC,BCXAC,写出图中所有的直角三角形；（七）板书设计（暂略）
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