《直线与平面垂直的判定》教学设计海口市琼山中学冯美思一、教学内容分析本节课选自高中数学北师大2003新课标版必修2第1章1.6.2垂直关系的判定”第课时：直线与平面垂直的判定”主要学习直线与平面垂直的定义、判定定理及其初步运用。其中，线面垂直的定义是线面垂直最基本的判定方法和性质，它是探究线面垂直判定定理的基础；线面垂直的判定定理充分体现了线线垂直与线面垂直之间的转化，它既是后面学习面面垂直的基础，又是连接线线垂直和面面垂直的纽带！本节课中，学生将按照“直观感知一操作确认一归纳总结”的认知过程展开学习，对大量图片、实例的观察感知，概括出线面垂直的定义；对实例、模型的分析猜想、折纸实验，发现线面垂直的判定定理。学生将在问题的驱动下，进行更主动的思维活动，经历从现实生活中抽象出几何图形和几何问题的过程，体会转化、归纳、类比、猜想等数学思想方法在解决问题中的作用，发展学生的合情推理能力和空间想象力，培养学生质疑思辨、创新的精神。二、学生情况分析所教学生是海口市琼山中学理科普通班的学生，他们在数学的学习中，有一定的兴趣。在初中学生已经掌握了平面内证明线线垂直的方法，在高中学习了直线、平面平行的判定定
理，对空间概念建立有一定的基础。但是，学生的抽象概括能力、空间想象力还有待提高。三、教学目标设计【设计意图】结合《课程标准》以及学生考虑到学生的接受能力、和课堂容量等情况，提出本节课的目标如下：1、通过直观感知、操作确认，归纳出线面垂直的判定定理；2、能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题。这些目标的提出以知识为载体，在训练中提升学生的能力，为学生的进一步发展做好基础。【教学目标】1、通过对视频、图片、实例的观察，抽象概括出直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义，掌握直线和平面所成角的概念，并能解决简单的线面角问题。2、通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直判定的定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题，培养学生直观想象、逻辑推理的核心素养。3、让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。【教学重点】归纳直线与平面垂直判定的定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题。【教学难点】运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题。四、课堂结构设计【设计意图】本课是概念、定理的新授课，设计以学生活动为主体，培养学生能力为中心，为提高课堂教学质量特制定本课的课堂结构：
布鲁纳认为：“在教学过程中，学生是一个积极的探究者，教师的作用是要形成一种学生能够独立探究的情境，帮助学生形成丰富的想象，防止过早语言化，注重直觉思维。”基于此,本课是概念、定理的新授课，设计了以学生活动为主体，培养学生能力为中心，提高课堂教学质量为目标的课堂结构。五、教学方法设计根据本节课教学内容的需要，结合学生的实际，我设计了如下教学方法。1、采用情景教学，利用启发式、和探究式的教学方法。2、运用《几何画板》辅助教学，突出动态的演示，突破教学难点。3、通过观察、辨析讨论、动手操作等环节逐步形成合理的认识，进而形成解题能力。六、教学媒体设计【设计意图】利用多媒体课件能增加课堂教学容量。课件进行动态演示，模拟折纸试验，便于学生对实验现象进行观察和分析。为促进学生理解概念，加深对实验的认识，让学生参与到数学实验中去。1.多媒体辅助教学：利用投影展示多幅图片或短片，使学生直观感知线面垂直的定义。为帮助学生正确进行操作确认并归纳出线面垂直的判定定理，在学生动手操作后利用多媒体课件进行动态演示，模拟折纸试验，便于学生对实验现象进行观察和分析，同时利用多媒体课件增加课堂教学容量。
1.学生自备学具：课前要求每个学生准备一张三角形纸片、塑料吸管若干和三角板。七、教学过程设计【设计意图】知识的构建是本节课的基础。如何使学生从“线面垂直的直观感知”中抽象出“直线与平面内所有直线垂直”是本环节的关键，使学生经历从实际背景中抽象出几何概念的全过程，从而形成完整和正确的概念，通过辨析讨论加深学生对概念的理解。这种立足于感性认识的归纳过程，即由特殊到一般，由具体到抽象，既有助于学生对概念本质的理解，又使学生的抽象思维得到发展，培养学生的几何直观能力。知识的探索是本节课的核心。让学生真正体会到知识产生的过程，有利于发展学生的合情推理能力和空间想象能力。教训有时比经验更深刻，使学生在自己的实践中感受数学探索的乐趣，获得成功的体验，增强学习数学的兴趣。在讨论交流中激发学生的积极性和创造性，为今后自主学习打下基础。知识的运用是本节课的高潮。考虑到学生处于初学阶段，以练习做铺垫，让学生先尝试去做并板演，师生共同评析，帮助学生明确运用定理时的具体步骤，培养学生严谨的逻辑推理。使学生对线面垂直认识由感性上升到理性；同时，展示了平行与垂直之间的联系，给出判断线面垂直的一种间接方法，为今后多角度研究问题提供思路。课前播放展示教师拍摄的视频短片和图片。课前自主完成练习：(1)平面与直线的位置有哪些关系？(2)如果直线l与平面内的直线都垂直，我们就说直线l与平面垂直。(3)一条直线与一个平面内的直线都垂直，则该直线与该平面垂直(4)平面的一条斜线和它在平面上的射线所成的角。1.直线与平面垂直定义的建构本环节是教学的第一个重点，是后面探究活动的基础，分三步进行：
.一②观察实例：学生将书打开直立于桌面，观察书脊与桌面的位置关系。③提出思考问题：如何定义一条直线与一个平面垂直?(2)观察归纳一形成概念①学生画图:将旗杆与地面的位置关系画出相应的几何图形。②提出问题：能否用一条直线垂直于一个平面内的直线，来定义这条直线与这个平面垂直(学生讨论并交流)(1)动体的特征，对“线面垂直”有了一些初浅认识和感知，在高中阶段，创设情境一感知概念大田
③动画演示：旗杆与它在地面上影子的位置变化，重点让学生体会直线与平面内不过垂足的直线也垂直。2、随着时间的受化.M子的位置会移动，而旗杆与影子所成的角度是否发生了改变？1、阳光F旗杆与它在地面上的影子所成的角度是多少？3、旗杆AB与地面上不过点B的任意一条直线位置关系如何？它们所成的角为多少度？④归纳直线与平面垂直的定义、介绍相关概念，并要求学生用符号语言表示。直线和平面垂直的定义：如果直线l与平面a内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面a互相垂直，记作l，a。直线l叫做平面a的垂线，平面a叫做直线l的垂面。直线与平面垂直时，它彳门唯一的公共点P叫做垂足。(3)辨析讨论一深化概念①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,那么这条直线就与这个平面垂直。
解答：该命题是假命题，如图所示。②若a，“，b，”，则a，b。(学生利用塑料吸管和三角板进行演示，讨论交流。)这一环节是本节课的基础。线面垂直定义比较抽象，若直接给出，学生只能死记硬背，这样，不利于学生思维能力的发展。如何使学生从“线面垂直的直观感知”中抽象出“直线与平面内所有直线垂直”是本环节的关键，因此，在教学中，充分发挥学生的主观能动性，先安排学生课前收集大量图片，多感知，然后，通过学生动手画图、讨论交流和多媒体课件演示，使其经历从实际背景中抽象出几何概念的全过程，从而形成完整和正确的概念，最后，通过辨析讨论加深学生对概念的理解。这种立足于感性认识的归纳过程，即由特殊到一般，由具体到抽象，既有助于学生对概念本质的理解，又使学生的抽象思维得到发展，培养学生的几何直观能力。1.直线与平面垂直的判定定理的探究这个探究活动是本节课的关键所在，分三步进行：(1)分析实例一猜想定理问题①：如何判定一条直线和一个平面垂直？问题②：如果直线l与平面内的一条直线垂直，能保证直线l跟平面垂直吗？如果直线l与平面内的两条直线垂直，能保证直线l跟平面垂直吗？问题③：由上述两个实例，你能猜想出判断一条直线与一个平面垂直的方法吗？
学生提出猜想如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。（2）动手实验一确认定理折纸实验：过^ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD,再将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触），进行观察并思考：问题④：折痕AD与桌面垂直吗？如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？问题⑤：由折痕ADXBC,翻折之后垂直关系发生变化吗？（即ADXCD,ADLBD还成立吗？）由此你能得到什么结论?如图，请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起来做一个试验:过AABC的顶点A翻折纸片，得到折狼AD,将翻折后的纸片竖起来放花在荣面E（BD,DC与桌面接触）△折痕AD与察面垂直吗？如何翻折才能使折痕AD，桌面所在平面垂直？学生折纸可能会出现“垂直”与“不垂直”两种情况，引导这两类学生进行交流，分析“不垂直”的原因，从而发现垂直的条件一折痕AD是BC边上的高，进而引导学生观察动态演示模拟试验，根据“两条相交直线确定一个平面”的事实和实验中的感知进行合情推理，归纳出线面垂直的判定定理，并要求学生画图，用符号语言表示。
1.直线与平面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面.符号语百:m,nlm,ln（3）质疑反思一深化定理问题⑥：若一条直线与平面内的两条平行直线都垂直，则该直线与此平面垂直吗？由于两条平行直线也确定一个平面，这个问题是学生会问到的。可以引导学生通过操作模型（三角板）来确认，消除学生心中的疑惑，进一步明确线面垂直的判定定理中的“两条”、“相交”缺一不可！在本环节中，借助学生最熟悉的长方体模型和生活中最简单的经验，引导学生分析，将“与平面内所有直线垂直”逐步转化为“与平面内两条相交直线垂直”，并以此为基础，进行合情推理，提出猜想，使学生的思维顺畅，为进一步的探究做准备。由于《课程标准》中不要求严格证明线面垂直的判定定理，只要求直观感知、操作确认，注重合情推理。因而，安排学生动手实验，讨论交流、为便于学生对实验现象进行观察和分析，自己发现结论，还增设了动态演示模拟试验，让学生更加清楚地看到“平面化”的过程。学生在已有数学知识的基础上，加之以公理的支撑，便可以确认定理。教学中，让学生真正体会到知识产生的过程，有利于发展学生的合情推理能力和空间想象能力。与此同时，鼓励学生大胆尝试，不怕失败，教训有时比经验更深刻，使学生在自己的实践中感受数学探索的乐趣，获得成功的体验，增强学习数学的兴趣。在讨论交流中激发学生的积极性和创造性，为今后自主学习打下基础。2.直线与平面垂直的判定定理的初步应用【例1】如图（3）,a//b,a±a,求证：b±ao
考虑到学生处于初学阶段，补充了练习（1）和练习（2）做铺垫。学生先尝试去做并板演，师生共同评析，帮助学生明确运用定理时的具体步骤，培养学生严谨的逻辑推理。例题使学生对线面垂直认识由感性上升到理性；同时，展示了平行与垂直之间的联系，给出判断线面垂直的一种间接方法，为今后多角度研究问题提供思路。根据学生的实际情况，本题可机动处理。,，一….''''【例2】如图，直四棱枉ABCDABCD底面四边形ABCD满足什么条件时,ACBD?1.探究直线与平面所成的角相关概念如果一条直线和一个平面相交但不垂直，这条直线为这个平面的一条斜线，斜线和平面的交点叫做斜足。（若是垂线则交点叫垂足）过斜线上斜足外任一点向平面引垂线，连接垂足和斜足的直线叫做这条斜线在这个平面上的射影。定义我们把平面的一条斜线和它在平面上的射线所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角。特别的，当直线和平面平行时的夹角为00,当直线和平面垂直时的夹角为900。问题⑦在实际应用中如何确定斜线和平面的夹角?求直线与平面所成角的步骤：（⑴作过斜线上一点P与平面垂直的直线.(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角.(3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角.
【例3】在正方体ABCDA1B1C1D1中，求直线A1B和平面ARCD所成的角1.应用知识，巩固练习练习一、已知直线L与平面内无数条直线垂直，则直线L与平面的位置关系是ALBL//CLD以上都不是练习二、已知PABC,AB是圆O的直径，C是圆周上异于AB的点，求证：BC平面PAC。2.归纳总结一提高认识i知识内容小结：直线与平面垂直的定义；直线与平面垂直的判定；直线与平面的夹角ii思想方法小结：转化与化归(线线垂直到线面垂直)，类比思想(由平面到空间的类比)提问：(1)通过本节课的学习，你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法？(2)在证明直线与平面垂直时应注意哪些问题？(3)本节课你还有哪些问题？学生发言，互相补充，教师点评。本环节侧重三点：(2)说明本课蕴含着转化、类比、归纳、猜想等数学思想方法，强调“平面化”是解决立体几何问题的一般思路；(3)鼓励学生反思，大胆质疑。3.布置作业一自主探究
1.在正方体ABC6Al&Gl口］中.东体对角线BO1与底面ABCD所成能的余弦值.2・玄口图.在三植tftV-ABC中,VA=VC.AB=BU,M为AC的中交IFm・(1)求证:ACXVB.(?)若VA_LVU,求MA与平面UMB所成的用一在三棱锥P-ABC中尸A±平面AB&AB.LBCJPA=ABI口为「8的中点,求证:(12口，80(22口±^(：.P必做题直接运用线面垂直判定定理，供所有学生训练。选做题是一道综合性题目，为学有余力的学生安排的，这样，使不同程度的学生都有所获，巩固新知识并培养应用意识。选做题还为下节课灵活运用线面垂直判定定理埋下伏笔。八、板书设计为使学生对本节课所学习的内容有一个整体的认识，教学时将重要内容进行板书。如：1L线身平而拿近的刿定1、直线与平面塞入直线身平面垂直球习1…宜的定义，的判定定理，球用2,〃习31EMHI-»»■■■■/■*MHMM*■■■*■
九、教学反思关注学生的思维提升是数学课的重要任务，所以教师必须要积极评价自己的课堂。关注学生非智力因素的对学习的影响，也是新课程观对课堂提出的要求。从教学的效果，学生的活动等方面进行评价。感谢您的阅读，祝您生活愉快。
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