直线、平面垂直的判定与性质

考纲要求考纲研读1.以空间直线、平面的位置关系及四个公理为出发点认识和理解空间中的垂直关系．2．理解直线和平面垂直、平面和平面垂直的判定定理．3．理解并能证明直线和平面垂直、平面和平面垂直的性质定理．4．能用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.1.从立体几何的有关定义、定理和公理出发，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定．2．正确使用线面垂直判定的关键是在平面内找到两条相交直线与已知直线垂直；要证面面垂直可转化为线面垂直．明确线线、线面及面面垂直的判定方法及相互转化是正确解答有关垂直问题的关键.第5讲直线、平面垂直的判定与性质 1．直线与平面垂直任意垂直(1)直线与平面垂直定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的_____一条直线都______，那么这条直线和这个平面垂直．(2)直线与平面垂直判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条_____直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．(3)直线与平面垂直性质定理：垂直于同一个平面的两条直线_____．平行相交 2．平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义：相交成直二面角的两个平面，叫做互相垂直的平面．(2)平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的_____，那么这两个平面互相垂直．垂线(3)平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们_____的直线垂直于另一个平面．3．直线与平面所成的角(1)如果直线与平面平行或者在平面内，则直线与平面所成的角等于0°.交线 (2)如果直线和平面垂直，则直线与平面所成的角等于90°.(3)平面的斜线与它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线与平面所成的角，其范围是(0°，90°)．斜线与平面所成的_______是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最___的角．4．二面角线面角小从一条直线出发的两个半平面组成的图象叫做二面角．从二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．平面角是直角的二面角叫做___________．直二面角 1．垂直于同一条直线的两条直线一定()DA．平行C．异面B．相交D．以上都有可能2．A，B为空间两点，l为一条直线，则过A，B且垂直于l的平面()BA．不存在C．有且只有1个B．至多1个D．有无数个 4．如图13－5－1，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列结论D图13－5－1中正确的个数是()①BD1⊥AC；②BD1⊥A1C1；③BD1⊥B1C.A．0个B．1个C．2个D．3个3．设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法中正确的是()A．在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直B．过直线m有且只有一个平面与平面α垂直C．与直线m垂直的直线不可能与平面α平行D．与直线m平行的平面不可能与平面α垂直B 5．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是()DA．①和②B．②和③C．③和④D．②和④ 考点1直线与平面垂直的判定与性质例1：如图3－5－2，已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB于E点，过E作EF⊥SC交SC于F点．(1)求证：AF⊥SC(2)若平面AEF交SD于G，求证：AG⊥SD.图13－5－2 解析：(1)证明：因为BC⊥面SAB，且AE在面SAB内，所以AE⊥BC.又因为AE⊥SB，SB∩BC＝B，所以AE⊥面SBC.而SC在面SBC内，所以AE⊥SC.又因为EF⊥SC，EF∩AE＝E，所以SC⊥面AEF.而AF在面AEF内，所以AF⊥SC. 直线与直线垂直⇒直线与平面垂直⇒平面与平面垂直⇒直线与平面垂直⇒直线与直线垂直，通过直线与平面位置关系的不断转化来处理有关垂直的问题．出现中点时，平行要联想到三角形中位线，垂直要联想到三角形的高；出现圆周上的点时，联想直径所对圆周角为直角． 【互动探究】1．如图13－5－3，PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，E，F分别是A在PB，PC上的射影，给出下面结论，其中正确命题的个数是()B图13－5－3①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.A．2个C．4个B．3个D．5个解析：①②③正确，又AF⊥平面PBC，④错误． 考点2平面与平面垂直的判定与性质例2：(2011年江苏)如图13－5－4，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．求证：(1)直线EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面PAD图13－5－4 BF⊥AD⇒BF⊥面PAD(因为平面PAD⊥平面ABCD)⇒平面BEF⊥平面PAD(因为BF⊂平面BEF)．前者利用面面垂直的性质定理，后者利用面面垂直的判定定理．证明：(1)∵E，F分别是AP，AD的中点，∴EF∥PD.又∵PD⊆面PCD，EF⊆面PCD，∴直线EF∥平面PCD.(2)∵AB＝AD，∠BAD＝60°，F是AD的中点，∴BF⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，面PAD∩面ABCD＝AD，∴BF⊥面PAD.∴平面BEF⊥平面PAD. 【互动探究】2．(2011年浙江)下列命题中错误的是()DA．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β解析：因为若这条线是平面α和平面β的交线l，则交线l在平面α内，明显可得交线l在平面β内，所以交线l不可能垂直于平面β，平面α内所有直线都垂直于平面β是错误的． 考点3线面所成的角例3：如图13－5－5，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求A1B与平面A1B1CD所成的角．图13－5－5 求直线和平面所成的角时，应注意的问题是：(1)先判断直线和平面的位置关系．(2)当直线和平面斜交时，常有以下步骤：①作—作出或找到斜线与射影所成的角；②证—论证所作或找到的角为所求的角；③算—常用解三角形的方法求角；④结论—点明斜线和平面所成的角值． 【互动探究】3．如图13－5－6，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为()图13－5－6 答案：D图D27 考点4立体几何中的探索性问题例4：(2011年广东茂名一模)如图13－5－7，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，Q为AD的中点．(1)若PA＝PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；(2)点M在线段PC上，PM＝tPC，试确定t的值，使PA∥平面MQB.图13－5－7 解析：(1)如图13－5－8，连接BD，∵四边形ABCD菱形，∠BAD＝60°，∴△ABD为正三角形．又∵Q为AD中点，∴AD⊥BQ.∵PA＝PD，Q为AD的中点，∴AD⊥PQ.又BQ∩PQ＝Q，∴AD⊥平面PQB.又AD⊂平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD.图13－5－8 探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件或结论不完备．要求解答者自己去探索，结合已有条件，进行观察、分析、比较和概括．它对学生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求．它有利于培养学生探索、分析、归纳、判断、讨论与证明等方面的能力，使学生经历一个发现问题、研究问题、解决问题的全过程． 【互动探究】4．(2011年广东深圳一模)如图13－5－9，在四棱锥S－ABCD中，AB⊥AD，AB//CD，CD＝3AB，平面SAD⊥平面ABCD，M是线段AD上一点，AM＝AB，DM＝DC，SM⊥AD.(1)证明：BM⊥平面SMC；图13－5－9 (1)证明：∵平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD＝AD，SM⊂平面SAD，SM⊥AD，∴SM⊥平面ABCD.∵BM⊂平面ABCD,∴SM⊥BM.∵四边形ABCD是直角梯形，AB//CD，AM＝AB，DM＝DC，∴△MAB，△MDC都是等腰直角三角形，∴∠AMB＝∠CMD＝45°，∴∠BMC＝90°.∴BM⊥CM.∵SM⊂平面SMC，CM⊂平面SMC，SM∩CM＝M，∴BM⊥平面SMC. (2)解：三棱锥C－SBM与三棱锥S－CBM的体积相等，由(1)知SM⊥平面ABCD， 1．证明线面垂直的方法(1)用线面垂直的定义：若一直线垂直于平面内任一直线，这条直线垂直于该平面．(2)用线面垂直的判定定理：若一直线垂直于平面内两条相交直线，这条直线垂直于该平面．(3)用线面垂直的性质定理：若两平行直线之一垂直于平面，则另一条直线也垂直于该平面． (4)用面面垂直的性质定理：若两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面．(5)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，那么也垂直于另一个平面．(6)如果两个相交平面都和第三个平面垂直，那么相交平面的交线也垂直于第三个平面．2．判定面面垂直的方法(1)定义法：首先找二面角的平面角，然后证明其为直角．(2)用面面垂直的判定定理：一个平面经过另一个平面的一条垂线． 3．垂直于同一个平面的两条直线平行，是判定两条直线平行的又一重要方法，是实现空间中平行关系和垂直关系在一定条件下相互转化的一种手段．4．本节教材中线面垂直的性质定理的证明用到反证法，反证法属逻辑方法范畴，它的严谨体现在它的原理上，即“否定之否定等于肯定”，其中第一个否定是指否定结论，第二个否定是指“逻辑推理结果否定了假设”．5．常用定理：(1)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直．(2)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直；(3)如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内． 1．面面垂直的性质定理是证明线面垂直的依据和方法，在解决二面角的问题中，作其平面角经常用到，应用定理的关键是创设定理成立的条件：一是线在面内，二是线垂直于交线．两个条件同时具备才能推出线面垂直．2．线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化是解决有关垂直证明题的指导思想，既要注意一般的转化规律，又要看清题目的条件，选择正确的转化方向，不能过于模式化．复杂的题目不是一次或两次就能完成，而是不断从某一垂直向另一垂直转化，最终达到目的．