高中数学人教A版必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.1直线与平面垂直的判定 课件

2.3.1直线与平面垂直的判定 复习：直线与平面的位置关系有哪几种？线面位置关系线在面内线面平行线面相交斜交垂直 旗杆与底面垂直生活中的线面垂直现象：直线与平面垂直 大桥的桥柱与水面垂直生活中有很多直线与平面垂直的实例，你能举出几个吗？实例引入 实例研探,定义新知探究:什么叫做直线和平面垂直呢?当直线与平面垂直时，此直线与平面内的所有直线的关系又怎样呢?生活中线面垂直的实例:ABαB1C1CB在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子，随着时间的变化，尽管影子的位置在移动，但是旗杆所在的直线始终与影子所在的直线垂直（如图），事实上，旗杆AB所在直线与地面内任意一条不过点B的直线也是垂直的。 αABCB’C’AB⊥α，则旗杆AB所在的直线与地面任意一条直线都垂直阳光下的旗杆与影子的关系：AB⊥BC，BC∥B’C’，AB⊥B’C’ 如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们说直线l与平面互相垂直，记作．平面的垂线直线l的垂面垂足一、直线与平面垂直的定义 画法直线与平面垂直画直线与平面垂直时，通常把直线画成表示平面的平行四边形的一边垂直，如图所示．直线与平面的一条边垂直 能否将定义中“任意一条”直线改为“无数条”直线?A问题： 能否将定义中“任意一条”直线改为“无数条”直线.当这无数条直线为平行直线时直线和平面不一定垂直.问题： 能否将定义中“任意一条”直线改为“无数条”直线.当这无数条直线为平行直线时直线和平面不一定垂直.问题： 能否将定义中“任意一条”直线改为“无数条”直线.当这无数条直线为平行直线时直线和平面不一定垂直.问题： 能否将定义中“任意一条”直线改为“无数条”直线.这是在线面垂直定义的表述中最常见的一种错误，强调数学的严谨性.当这无数条直线为平行直线时直线和平面不一定垂直.问题： 成立问题： 知识探究（二）：直线与平面垂直的判定思考1：对于一条直线和一个平面，如果根据定义来判断它们是否垂直，需要解决什么问题？如何操作？ 如果直线l与平面α内的两条直线垂直，能保证l⊥α吗？如果直线l与平面α内的一条直线垂直，能保证l⊥α吗？思考2： 问题直线与平面垂直除定义外，如何判断一条直线与平面垂直呢？ 过纸片△ABC的顶点A翻折纸片,得折痕AD,将翻折后的纸片竖放在桌面上(BD,DC与桌面接触)如图所示.线面垂直判定定理的探究动手操作ADCBABDC探究： aDBACBDC容易发现，当且仅当折痕AD是BC边上的高时，AD所在直线与桌面所在平面α垂直。A 思考（1）有人说,折痕AD所在直线与桌面所在平面α上的一条直线垂直,就可以判断AD垂直平面α,你同意他的说法吗?（2）折痕AD⊥BC,翻折之后垂直关系不变,即AD⊥CD,AD⊥BD,由此你能得到什么结论?aBDCA CADB如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.猜想 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．作用：判定直线与平面垂直．直线与平面垂直直线与直线垂直思想：直线与平面垂直判定定理 能否说成“一条直线与一个平面内的两条直线都垂直，则该直线与此平面垂直．”直线与平面垂直判定定理思考 巩固练习判断下列命题是否正确,正确的在()内打“√”错的打“×”（4）若一条直线与一个平面不垂直,则这个平面内没有与这条直线垂直的直线。()（1）若一条直线与一个三角形的两条边垂直,则这条直线垂直于三角形所在的平面。()（2）若一条直线与一个平行四边形的两条边垂直，则这条直线垂直于平行四边形所在的平面。（）（3）若一条直线与一个梯形的两腰垂直，则这条直线垂直于梯形所在的平面。（）√××√ 例1一旗杆高8m，在它的顶点处系两条长10m的绳子，拉紧绳子并把它们的下端固定在地面上的两点（与旗杆脚不在同一条直线上）．如果这两点与旗杆脚距6m，那么旗杆就与地面垂直．为什么？BAPO解：如图，旗杆PO=8m，两绳长PA=PB=10m，OA=OB=6m.因为A，O，B三点不共线，所以A，O，B三点确定平面．又因为所以又因为:所以:因此，旗杆OP与地面垂直．典型例题 例2如图，已知，求证根据直线与平面垂直的定义知又因为所以又是两条相交直线，所以证明：在平面内作两条相交直线m，n．因为直线，典型例题（此结论可看作线面垂直的判定公理二） 如图，直四棱柱A’B’C’D’-ABCD（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形ABCD满足什么条件时，A’C⊥B’D’？探究:结论：当四边形ABCD的两条对角线互相垂直时，A’C⊥B’D’ 练习1、如图，在三棱锥V-ABC中，VA=VC，AB=BC，求证VB⊥AC.ABCV分析：（1）要证线线垂直，首先证线面垂直（2）AC⊥VB所在的面，应该是哪一个面？给出VA=VC，AB=BC可以知道△VAC与△BAC都是等腰三角形证明：取AC的中点D，连结DV、DBD∵VA=VC，AB=BC∴△VAC与△BAC都是等腰三角形∴AC⊥DVAC⊥DB∵DV∩DB=O∴AC⊥平面VDB∴AC⊥VB 2.已知：正方体中，AC是面对角线，BD’是与AC异面的体对角线。求证：AC⊥BD’ABDCA′B′CD′′ 证明：连接BD∵正方体ABCD-A’B’C’D’∴DD’⊥正方形ABCD∵AC、BD为对角线∴AC⊥BD∵DD’∩BD=D∴AC⊥△D’DB∴AC⊥BD’ABDCA’B’C’D’ 当直线和平面垂直时,该直线叫做平面的垂线。如果直线和平面不垂直,此时又该如何刻画直线和平面的这种关系呢?思考: 平面的斜线如图,若一条直线PA和一个平面α相交,但不垂直,那么这条直线就叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点A叫做斜足。PA斜足斜线 直线和平面所成的角如图,过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO,过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角。斜线斜足射影垂足垂线 说明:1.若直线垂直平面,则直线和平面所成的角为90°2.若直线和平面平行,或直线在平面内,则直线和平面所成的角为0°直线和平面所成角的取值范围为[0°,90°]直线和平面成角的范围是0°≤θ≤90°． 例3在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求:直线A1B和平面A1B1CD所成的角BA’D’C’ACDBB’A’D’C’ACDOBACD分析:找出直线A1B在平面A1B1CD内的射影,就可以求出A1B和平面A1B1CD所成的角。空间角转化为平面角阅读教科书P66上的解答过程 练习1：如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）AB1在面BB1D1D中的射影（2）AB1在面A1B1CD中的射影（3）AB1在面CDD1C1中的射影A1D1C1B1ADCB 练习：如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）AB1在面BB1D1D中的射影（2）AB1在面A1B1CD中的射影（3）AB1在面CDD1C1中的射影A1D1C1B1ADCBO线段B1O 练习：如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）AB1在面BB1D1D中的射影（2）AB1在面A1B1CD中的射影（3）AB1在面CDD1C1中的射影A1D1C1B1ADCBE线段B1E 如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）AB1在面BB1D1D中的射影（2）AB1在面A1B1CD中的射影（3）AB1在面CDD1C1中的射影A1D1C1B1ADCB线段C1D 2.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）A1C1与面ABCD所成的角（2）A1C1与面BB1D1D所成的角（3）A1C1与面BB1C1C所成的角（4）A1C1与面ABC1D1所成的角A1D1C1B1ADCB0o 6.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）A1C1与面ABCD所成的角（2）A1C1与面BB1D1D所成的角（3）A1C1与面BB1C1C所成的角（4）A1C1与面ABC1D1所成的角A1D1C1B1ADCB90o备选例题: 6.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）A1C1与面ABCD所成的角（2）A1C1与面BB1D1D所成的角（3）A1C1与面BB1C1C所成的角（4）A1C1与面ABC1D1所成的角A1D1C1B1ADCB45o备选例题: 6.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）A1C1与面ABCD所成的角（2）A1C1与面BB1D1D所成的角（3）A1C1与面BB1C1C所成的角（4）A1C1与面ABC1D1所成的角A1D1C1B1ADCBE30o备选例题: 巩固练习VABC 三角形的四心:内心,外心,垂心,重心重心:三边上中线的交点;垂心:三条高的交点;内心:内接圆圆心,三个角角平分线交点;外心:外接圆圆心,三条边的垂直平分线交点.正三角形才有中心:重心,内心.外心,垂心,四心合一. 已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA=PB=PC试判断点P在底面ABC的射影的位置？PABCOOA=OB=OCO为三角形ABC的外心 已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA,PB,PC两两垂直,试判断点P在底面ABC的射影的位置？PABCO为三角形ABC的垂心DO 已知三棱锥P-ABC的顶点P到底面三角形ABC的三条边的距离相等,试判断点P在底面ABC的射影的位置？PABCO为三角形ABC的内心OEF 已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA=PB=PC试判断点P在底面ABC的射影的位置？已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA,PB,PC两两垂直,试判断点P在底面ABC的射影的位置？已知三棱锥P-ABC的顶点P到底面三角形ABC的三条边的距离相等,试判断点P在底面ABC的射影的位置？PABCO外心垂心内心 归纳小结1．直线与平面垂直的概念（1）利用定义；（2）利用判定定理．3．数学思想方法：转化的思想空间问题平面问题3．直线与平面垂直的判定线线垂直线面垂直垂直于平面内任意一条直线2.线面角的概念及范围 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。AaOP证明：PA⊥aAO⊥aPA⊥aa⊥POa⊥平面PAOPO平面PAO αβγabcE例3已知：bα，cα,b∩c=E，β∩γ=a，c⊥β，d⊥γ。求证：a⊥α。 证明：∵b⊥β，β∩γ=a，∴b⊥a；∵c⊥γ，β∩γ=a，∴c⊥a；∵b∩c=E，bα，cα,∴a⊥α。αβγabcE 作业布置P74A组1、2、9题P87B组2、4题