直线、平面垂直的判定与性质

以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的判定定理与有关性质．直线、平面垂直的判定与性质 [理要点]一、直线与平面垂直1．直线和平面垂直的定义．直线l与平面α内的直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．任意一条 2．直线与平面垂直的判定定理及推论.文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与平面内的都垂直，则该直线与此平面垂直两条相交直线 文字语言图形语言符号语言推论如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也这个平面垂直 3．直线与平面垂直的性质定理.文字语言图形语言符号语言性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行 二、平面与平面垂直1．平面与平面垂直的判定定理.文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的一条，则这两个平面互相垂直垂线 2．平面与平面垂直的性质定理.文字语言图形语言符号语言性质定理两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于的直线垂直于另一个平面交线 [究疑点]1．垂直于同一平面的两个平面是否平行？提示：不一定，也可能相交．2．若两平面垂直，一直线垂直于其中一个平面，它与另一个平面有何位置关系？提示：平行或在平面内． [题组自测]1．直线l不垂直于平面α，则α内与l垂直的直线有()A．0条B．1条C．无数条D．α内所有直线答案：C解析：可以有无数条． 2．已知α、β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：当α⊥β时，平面α内的直线m不一定和平面β垂直，但当平面α内的直线垂直于平面β时，根据面面垂直的判定定理，两个平面一定垂直，故α⊥β是m⊥β的必要不充分条件．答案：B 3．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有________个．答案：1或无数． 4．(1)(2010·长沙期末)下列命题中，m、n表示两条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面．①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若m⊥α，β⊥α则m∥β；④若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ.正确的命题是()A．①③B．②③C．①④D．②④ (2)(2010·龙岩模拟)已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，下面三个命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β.则真命题的个数为()A．0B．1C．2D．3 解析：(1)②平面α与β可能相交，③m∥β或m⊂β.故②③错．(2)直线l⊥平面α，当α∥β时，l⊥β，又因为m⊂平面β，l⊥m，①正确；当α⊥β时，l与m的位置关系无法判断，②错误；当l∥m时，根据l⊥平面α，得m⊥平面α，又因为m⊂平面β，根据面面垂直的判定定理得α⊥β，③正确．故真命题有2个．答案：(1)C(2)C [归纳领悟]解答此类问题时一要注意依据定理条件才能得出结论，二是否定时只需举一个反例，三要会寻找恰当的特殊模型进行筛选. [题组自测]1．设l、m、n均为直线，其中m、n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件 解析：l⊥α⇒l⊥m，l⊥n，反之因为m、n不一定相交，故l⊥m且l⊥n不一定推出l⊥α.答案：A 2．三棱锥P－ABC的顶点P在底面的射影为O，若PA＝PB＝PC，则点O为△ABC的________心，若PA、PB、PC两两垂直，则O为△ABC的________心．解析：若PA＝PB＝PC，则O为△ABC的外心，若PA、PB、PC两两垂直，则O为△ABC的垂心．答案：外 垂 3.如图，已知PA垂直于矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB，PC的中点，若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD. 证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD，由∠PDA＝45°得PA＝AD＝BC，又M是AB的中点，∴Rt△PAM≌Rt△CBM，∴MP＝MC又∵N是PC的中点∴MN⊥PC.设E为CD的中点，连接ME，EN，由PA⊥CD，AD⊥CD，PA∩AD＝A 得CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD，又PD∥NE∴CD⊥NE又∵ME⊥CDME∩NE＝E∴CD⊥平面MNE∵MN⊂平面MNE∴MN⊥CD又∵MN⊥PCPC∩CD＝C∴MN⊥平面PCD. [归纳领悟]证明直线和平面垂直的常用方法有1．利用判定定理．2．利用判定定理的推论(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)．3．利用面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)．4．利用面面垂直的性质．当直线和平面垂直时，该直线垂直于平面内的任一直线常用来证明线线垂直． [题组自测]1．(2010·广东东莞一模)若l为一条直线，α、β、γ为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：①α⊥γ，β⊥γ⇒α⊥β；②α⊥γ，β∥γ⇒α⊥β；③l∥α，l⊥β⇒α⊥β.其中正确的命题有()A．0个B．1个C．2个D．3个 解析：对于①，α与β可能平行，故错．②③正确．答案：C [归纳领悟]1．判定面面垂直的方法(1)面面垂直的定义．(2)面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．2．关于三种垂直关系的转化可结合下图记忆． 注意：在已知平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直，要熟练掌握“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”间的转化条件和转化运用，这种转化方法是本讲内容的显著特征．掌握转化思想方法是解决这类问题的关键． 一、把脉考情从近两年高考试题来看，对于线线、线面、面面垂直的问题，在客观题中考查比较简单，主要以证明题的形式考查，难度中等．本节内容重点考查转化思想的应用，考查空间想象能力，预测2012年仍以此为命题的热点． 二、考题诊断1．(2010·湖北高考)用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b.其中真命题的序号是()A．①②B．②③C．①④D．③④ 解析：由公理4知①是真命题．在空间a⊥b，b⊥c，直线a、c的关系不确定，故②是假命题．由a∥γ，b∥γ，不能判定a、b的关系，故③是假命题．④是直线与平面垂直的性质定理．答案：C 2．(2010·辽宁高考)如图，棱柱ABC－A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B.(1)证明：平面AB1C⊥平面A1BC1；(2)设D是A1C1上的点，且A1B∥平面B1CD，求A1D∶DC1的值． 解：(1)证明：因为侧面BCC1B1是菱形，所以B1C⊥BC1.又已知B1C⊥A1B，且A1B∩BC1＝B，所以B1C⊥平面A1BC1.又B1C⊂平面AB1C，所以平面AB1C⊥平面A1BC1. (2)如图，设BC1交B1C于点E，连结DE，则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线．因为A1B∥平面B1CD，所以A1B∥DE.又E是BC1的中点，所以D为A1C1的中点．即A1D∶DC1＝1. 3．(2010·安徽高考)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB＝2EF＝2，EF∥AB，EF⊥FB，∠BFC＝90°，BF＝FC，H为BC的中点．(1)求证：FH∥平面EDB；(2)求证：AC⊥平面EDB；(3)求四面体B－DEF的体积． (2)证明：由四边形ABCD为正方形，有AB⊥BC.又EF∥AB，∴EF⊥BC.而EF⊥FB，FB∩BC＝B，且FB、BC都在平面BFC内，∴EF⊥平面BFC，∴EF⊥FH，∴AB⊥FH.又BF＝FC，H为BC的中点，∴FH⊥BC.又AB∩BC＝B，AB、BC都在平面ABCD内．∴FH⊥平面ABCD.∴FH⊥AC.又FH∥EG，∴AC⊥EG.又AC⊥BD，EG∩BD＝G，∴AC⊥平面EDB. 点击此图片进入“课时限时检测”