直线、平面垂直的判定与性质

第七章立体几何第五节直线、平面垂直的判定与性质抓基础明考向提能力教你一招我来演练 [备考方向要明了]考什么以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的判定定理与有关性质. 怎么考1.线线、线面、面面垂直的问题是命题的热点．2.着重考查垂直关系的转化及应用．题型多以选择题、解答题为主．难度中、低档. 一、直线与平面垂直1．直线和平面垂直的定义．直线l与平面α内的直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．任意一条 2．直线与平面垂直的判定定理及推论.文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与平面内的都垂直，则该直线与此平面垂直两条相交直线 文字语言图形语言符号语言推论如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也这个平面垂直a∥ba⊥α 3．直线与平面垂直的性质定理.文字语言图形语言符号语言性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行a⊥αb⊥α 二、平面与平面垂直1．平面与平面垂直的判定定理.文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的一条，则这两个平面互相垂直垂线l⊂βl⊥α 2．平面与平面垂直的性质定理.文字语言图形语言符号语言性质定理两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于的直线垂直于另一个平面交线α⊥βl⊂βα∩β＝al⊥a 1．(教材习题改编)给出下列四个命题：①垂直于同一平面的两条直线相互平行；②垂直于同一平面的两个平面相互平行；③若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；④若一条直线垂直于一个平面内的任一直线，那么这条直线垂直于这个平面．其中真命题的个数是()A．1B．2C．3D．4 答案：B解析：命题①，④为真，命题②，③为假． 答案：C解析：可以有无数条．2．直线l不垂直于平面α，则α内与l垂直的直线有()A．0条B．1条C．无数条D．α内所有直线 答案：D 4．设α、β、γ为彼此不重合的三个平面，l为直线，给出下列命题：①若α∥β，α⊥γ，则β⊥γ；②若α⊥γ，β⊥γ，且α∩β＝l，则l⊥γ；③若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α垂直；④若α内存在不共线的三点到β的距离相等，则平面α平行于平面β.上面命题中，真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)． 答案：①②解析：③中l∥α也满足，④中α与β可能相交． 5．(教材习题改编)如图，在三棱锥D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的有__________(填序号)①平面ABC⊥平面ABD②平面ABD⊥平面BCD③平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE④平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE 解析：因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.故只有③正确．答案：③ 1．在证明线面垂直、面面垂直时，一定要注意判定定理成立的条件．同时抓住线线、线面、面面垂直的转化关系，即： 2．几个常用的结论(1)过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直；(2)过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直；(3)垂直于同一平面的两条直线互相平行；(4)垂直于同一直线的两个平面互相平行． [精析考题][例1](2011·浙江高考)下列命题中错误的是()A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β [自主解答]对于命题A，在平面α内存在直线l平行于平面α与平面β的交线，则l平行于平面β，故命题A正确．对于命题B，若平面α内存在直线垂直于平面β，则平面α与平面β垂直，故命题B正确． 对于命题C，设α∩γ＝m，β∩γ＝n，在平面γ内取一点P不在l上，过P作直线a，b，使a⊥m，b⊥n.∵γ⊥α，a⊥m，则a⊥α，∴a⊥l，同理有b⊥l.又a∩b＝P，a⊂γ，b⊂γ，∴l⊥γ.故命题C正确．对于命题D，设α∩β＝l，则l⊂α，但l⊂β.故在α内存在直线不垂直于平面β，即命题D错误．答案：D [巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)1．(2012·潍坊模拟)已知直线m、l和平面α、β，则α⊥β的充分条件是()A．m⊥l，m∥α，l∥βB．m⊥l，α∩β＝m，l⊂αC．m∥l，m⊥α，l⊥βD．m∥l，l⊥β，m⊂α 答案：D 2．(2012·郑州模拟)设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题：①若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥α；②若a∥α，a⊥β，则α⊥β；③若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a⊂α；④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β. 其中正确命题的个数为()A．1B．2C．3D．4 解析：通过线面垂直及平行的判定定理和性质定理，可以判断四个命题都正确．答案：D [冲关锦囊]解决此类问题时一要注意依据定理条件才能得出结论．二是否定时只需举一个反例．三要会寻找恰当的特殊模型(如构造长方体、正方体)进行筛选. (1)证明：O1′，A′，O2，B四点共面；(2)设G为AA′中点，延长A′O1′到H′，使得O1′H′＝A′O1′.证明：BO2′⊥平面H′B′G. 3．(2012·汕头模拟)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB＝2EF＝2，EF∥AB，EF⊥FB，∠BFC＝90°，BF＝FC，H为BC的中点． (1)求证：FH∥平面EDB；(2)求证：AC⊥平面EDB；(3)求四面体B－DEF的体积． (2)证明：由四边形ABCD为正方形，有AB⊥BC，又EF∥AB，∴EF⊥BC.又EF⊥FB，BC∩FB＝B，∴EF⊥平面BFC.∴EF⊥FH.∴AB⊥FH.又BF＝FC，H为BC的中点， ∴FH⊥BC.∴FH⊥平面ABCD.∴FH⊥AC.又FH∥EG，∴AC⊥EG.又AC⊥BD，EG∩BD＝G，∴AC⊥平面EDB. [冲关锦囊]证明直线和平面垂直的常用方法有：1．利用判定定理．2．利用判定定理的推论(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)．3．利用面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)．4．利用面面垂直的性质．当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面. [精析考题][例3](2011·江苏高考)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．求证：(1)直线EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面PAD. [自主解答](1)在△PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD.又因为EF⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，所以直线EF∥平面PCD. (2)连接BD.因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD为正三角形．因为F是AD的中点，所以BF⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD.又因为BF⊂平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD. 在本例条件下，若CD⊥平面PAD，求证：平面PCD∥平面EFB.证明：由例3(2)知BF⊥平面PAD，又CD⊥平面PAD，∴BF∥CD.又BF平面PCD，CD平面PCD，∴BF∥平面PCD.又EF∥平面PCD，BF∩EF＝F，∴平面PCD∥平面BEF. [巧练模拟]—————(课堂突破保分题，分分必保！)4．(2012·东城模拟)已知α，β为不重合的两个平面，直线m⊂α，那么“m⊥β”是“α⊥β”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 答案：A解析：根据面面垂直的判定定理可知若m⊂α，m⊥β⇒α⊥β，反之则不一定成立． 5．(2012·石景山模拟)如图，已知AB⊥平面BCE，CD∥AB，△BCE是正三角形，AB＝BC＝2CD.(1)在线段BE上是否存在一点F，使CF∥平面ADE?(2)求证：平面ADE⊥平面ABE. (2)∵CF⊥BF，CF⊥AB，∴CF⊥平面ABE.∵CF∥DG，∴DG⊥平面ABE.∵DG平面ADE，∴平面ABE⊥平面ADE. [冲关锦囊]1．判定面面垂直的方法(1)面面垂直的定义．(2)面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．2．在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直． 解题样板（十）规范立体几何答题步骤，避免“对而不全” [考题范例](12分)(2011·山东高考)如图，在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，D1D⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB＝2AD，AD＝A1B1，∠BAD＝60°.(1)证明：AA1⊥BD；(2)证明：CC1∥平面A1BD. (2)连接AC，A1C1.(6分)设AC∩BD＝E，连接EA1，因为四边形ABCD为平行四边形， [模板建构]本题考查用线面垂直证明线线垂直及线面平行的证明．在解答时出现的失分点多数在解题步骤不严谨，忽视定理的使用条件而造成的．如(1)问中易漏AD∩D1D＝D，AA1⊂平面ADD1A1这两个条件．(2)问中易漏EA1⊂平面A1BD、CC1⊄平面A1BD这一关键条件，这样使表述不严谨，造成丢分． 点击此图进入