高中数学人教A版必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.1直线与平面垂直的判定 课件

ABCD2.3.1直线与平面垂直的判定α 思考（1）一条直线l与平面α内一条直线垂直可以判断直线l与平面α垂直吗？α（2）一条直线l与平面α内无数条直线垂直呢？la αABCB’C’AB⊥α，则旗杆AB所在的直线与地面任意一条直线都垂直1、如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直.2、表示为：l⊥α.直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足.阳光下的旗杆与影子的关系：AB⊥BC，BC∥B’C’，AB⊥B’C’ 3、直线l与平面α垂直的画法：通常地直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直。 αA1B1D1C1BDCAB1D1C1A1ABCDA1B1D1C1ABCD实验：如下图，请同学们准备一块三角形的纸片。BDCA过ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC与桌面接触）。（1）折痕AD与桌面垂直吗？（2）如何翻折才能使折痕与桌面所在的平面α垂直？思考：是否把平面中的直线一一找出，才能证明直线与平面垂直？AD作为BC边上的高时，ADα，这时ADBC，即ADBD，ADCD，BD∩CD=D.结论：AD⊥BD，AD⊥CD，BD∩CD=D，有AD⊥α. 定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。αaα，b，a∩b=O，l⊥a,l⊥b表示为：l⊥α 例1一旗杆高8m，在它的顶点处系两条长10m的绳子，拉紧绳子并把它们的下端固定在地面上的两点（与旗杆脚不在同一直线上）。如果这两点与旗杆脚距6m，那么旗杆就与地面垂直。为什么？分析：（1）两点与旗杆脚确定的平面就是地面。（2）能否在平面上找出两条相交直线，使得旗杆与它们垂直解：如图，旗杆PO=8m，两绳长PA=PB=10m，OA=OB=6m因为A，O，B三点不共线，所以A，O，B三点确定平面α（即地面所在面）又因为PO2+OA2=PA2，PO2+OB2=PB2，所以OP⊥OA，OP⊥OB.又因为OA∩OB=O，所以OP⊥α.因此，旗杆OP与地面垂直.POAB 例2如图，已知a∥b,a⊥α,求证b⊥α.αab分析：能否在平面α内找出两条相交直线，使得b与它们垂直？证明：在平面内作两条相交直线m，n.mn因为直线a⊥α，根据直线与平面垂直的定义知a⊥m，a⊥n.又因为b∥a，所以b⊥m，b⊥n.又mα，nα，m，n是两条相交直线，所以b⊥α 练习1、如图，已知OA、OB、OC两两垂直（1）求证：OA⊥平面OBC（2）求证：OA⊥BCBCOA分析：（1）要证OA⊥平面OBC，必须在平面OBC中找出两条与OA垂直的相交直线。因为OA、OB、OC两两垂直OA⊥OB、OA⊥OC.OA⊥OC，且OB∩OC=O.（2）OA⊥平面OBC，OA垂直平面内任意一条直线.证明：（1）∵OA、OB、OC两两垂直∴OA⊥OB，OA⊥OC，又∵OB∩OC=O∴OA⊥平面OBC（2）∵OA⊥平面OBCBC平面OBC∴OA⊥BC 练习2、如图，在三棱锥V-ABC中，VA=VC，AB=BC，求证VB⊥AC.ABCV分析：（1）要证线线垂直，首先证线面垂直（2）AC⊥VB所在的面，应该是哪一个面？给出VA=VC，AB=BC可以知道△VAC与△BAC都是等腰三角形证明：取AC的中点D，连结DV、DBD∵VA=VC，AB=BC∴△VAC与△BAC都是等腰三角形∴AC⊥DVAC⊥DB∵DV∩DB=O∴AC⊥平面VDB∴AC⊥VB 小结1、要证线面垂直（根据定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。）2、要证线线垂直（可先证一条直线与另一条直线所在的面垂直，再得到线线垂直。） 作业：有平行四边形ABCD，已知l⊥AB，l⊥BC.求证：l⊥直线AD.课后思考：P70.探究