高中数学人教A版必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.1直线与平面垂直的判定 课件
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资料简介
ABCD2.3.1直线与平面垂直的判定α 思考(1)一条直线l与平面α内一条直线垂直可以判断直线l与平面α垂直吗?α(2)一条直线l与平面α内无数条直线垂直呢?la αABCB’C’AB⊥α,则旗杆AB所在的直线与地面任意一条直线都垂直1、如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l与平面α互相垂直.2、表示为:l⊥α.直线l叫做平面α的垂线,平面α叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时,它们唯一的公共点P叫做垂足.阳光下的旗杆与影子的关系:AB⊥BC,BC∥B’C’,AB⊥B’C’ 3、直线l与平面α垂直的画法:通常地直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直。 αA1B1D1C1BDCAB1D1C1A1ABCDA1B1D1C1ABCD实验:如下图,请同学们准备一块三角形的纸片。BDCA过ABC的顶点A翻折纸片,得到折痕AD,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD,DC与桌面接触)。(1)折痕AD与桌面垂直吗?(2)如何翻折才能使折痕与桌面所在的平面α垂直?思考:是否把平面中的直线一一找出,才能证明直线与平面垂直?AD作为BC边上的高时,ADα,这时ADBC,即ADBD,ADCD,BD∩CD=D.结论:AD⊥BD,AD⊥CD,BD∩CD=D,有AD⊥α. 定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。αaα,b,a∩b=O,l⊥a,l⊥b表示为:l⊥α 例1一旗杆高8m,在它的顶点处系两条长10m的绳子,拉紧绳子并把它们的下端固定在地面上的两点(与旗杆脚不在同一直线上)。如果这两点与旗杆脚距6m,那么旗杆就与地面垂直。为什么?分析:(1)两点与旗杆脚确定的平面就是地面。(2)能否在平面上找出两条相交直线,使得旗杆与它们垂直解:如图,旗杆PO=8m,两绳长PA=PB=10m,OA=OB=6m因为A,O,B三点不共线,所以A,O,B三点确定平面α(即地面所在面)又因为PO2+OA2=PA2,PO2+OB2=PB2,所以OP⊥OA,OP⊥OB.又因为OA∩OB=O,所以OP⊥α.因此,旗杆OP与地面垂直.POAB 例2如图,已知a∥b,a⊥α,求证b⊥α.αab分析:能否在平面α内找出两条相交直线,使得b与它们垂直?证明:在平面内作两条相交直线m,n.mn因为直线a⊥α,根据直线与平面垂直的定义知a⊥m,a⊥n.又因为b∥a,所以b⊥m,b⊥n.又mα,nα,m,n是两条相交直线,所以b⊥α 练习1、如图,已知OA、OB、OC两两垂直(1)求证:OA⊥平面OBC(2)求证:OA⊥BCBCOA分析:(1)要证OA⊥平面OBC,必须在平面OBC中找出两条与OA垂直的相交直线。因为OA、OB、OC两两垂直OA⊥OB、OA⊥OC.OA⊥OC,且OB∩OC=O.(2)OA⊥平面OBC,OA垂直平面内任意一条直线.证明:(1)∵OA、OB、OC两两垂直∴OA⊥OB,OA⊥OC,又∵OB∩OC=O∴OA⊥平面OBC(2)∵OA⊥平面OBCBC平面OBC∴OA⊥BC 练习2、如图,在三棱锥V-ABC中,VA=VC,AB=BC,求证VB⊥AC.ABCV分析:(1)要证线线垂直,首先证线面垂直(2)AC⊥VB所在的面,应该是哪一个面?给出VA=VC,AB=BC可以知道△VAC与△BAC都是等腰三角形证明:取AC的中点D,连结DV、DBD∵VA=VC,AB=BC∴△VAC与△BAC都是等腰三角形∴AC⊥DVAC⊥DB∵DV∩DB=O∴AC⊥平面VDB∴AC⊥VB 小结1、要证线面垂直(根据定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。)2、要证线线垂直(可先证一条直线与另一条直线所在的面垂直,再得到线线垂直。) 作业:有平行四边形ABCD,已知l⊥AB,l⊥BC.求证:l⊥直线AD.课后思考:P70.探究

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