高中数学人教A版必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.1直线与平面垂直的判定 提高练习

人民教育出版社高中必修2畅言教育《2.3.1直线与平面垂直的判定》提高练习本课时编写：成都市第二十中学付江平一、选择题1.如图，三条相交于点P的线段PA，PB，PC两两垂直，P在平面ABC外，PH⊥平面ABC于H，则垂足H是△ABC的(  )A．外心B．内心C．垂心D．重心.2.给出下列三个命题：①一条直线垂直于一个平面内的三条直线，则这条直线和这个平面垂直；②一条直线与一个平面内的任何直线所成的角相等，则这条直线和这个平面垂直；③一条直线在平面内的射影是一点，则这条直线和这个平面垂直．用心用情服务教育5 人民教育出版社高中必修2畅言教育其中正确的个数是(  )A．0B．1C．2D．33.如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是(  )A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．异面直线AD与CB1所成的角为60°4.如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是(  )A．PB⊥ADB．平面PAB⊥平面PBCC．直线BC∥平面PAED．直线PD与平面ABC所成的角为45°二、填空题5.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)直线A1B与平面ABCD所成的角是________；(2)直线A1B与平面ABC1D1所成的角是________；(3)直线A1B与平面AB1C1D所成的角是________．6.在直三棱柱ABC—A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)．7.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝________．8.已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为________.三、解答题9．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1、B1B的中点．求证：CF⊥平面EAB．10.如图在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝PC＝13，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，M为AC用心用情服务教育5 人民教育出版社高中必修2畅言教育的中点．(1)求证：PM⊥平面ABC；(2)求直线BP与平面ABC所成的角的正切值．用心用情服务教育5 人民教育出版社高中必修2畅言教育参考答案一、选择题1.C【解析】∵PC⊥PA，PC⊥PB，PA∩PB＝P，∴PC⊥平面PAB．又∵AB⊂平面PAB，∴AB⊥PC．又∵AB⊥PH，PH∩PC＝P，∴AB⊥平面PCH.又∵CH⊂平面PCH，∴AB⊥CH.同理BC⊥AH，AC⊥BH.∴H为△ABC的垂心．2.C[【解析】①中三条直线不一定存在两条直线相交，因此直线不一定与平面垂直；②中直线与平面所成角必为直角，因此直线与平面垂直；③根据射影定义知正确．故选C．3.D【解析】∵AD∥BC，∴∠BCB1为异面直线AD与CB1所成的角．又△B1BC为等腰直角三角形，故∠BCB1＝45°.即异面直线AD与CB1所成的角为45°.4.D【解析】设AB长为1，由PA＝2AB得PA＝2，又ABCDEF是正六边形，所以AD长也为2，又PA⊥平面ABC，所以PA⊥AD，所以△PAD为直角三角形．∵PA＝AD，∴∠PDA＝45°，∴PD与平面ABC所成的角为45°，故选D．二、填空题5.(1)45° (2)30° (3)90°【解析】(1)由线面角定义知∠A1BA为A1B与平面ABCD所成的角，∠A1BA＝45°．(2)连接A1D、AD1，交点为O，则易证A1D⊥面ABC1D1，所以A1B在面ABC1D1内的射影为OB，∴A1B与面ABC1D1所成的角为∠A1BO，∵A1O＝A1B，∴∠A1BO＝30°．(3)∵A1B⊥AB1，A1B⊥B1C1，∴A1B⊥面AB1C1D，即A1B与面AB1C1D所成的角为90°．6.∠A1C1B1＝90°[来源:Z.Com]【解析】如图所示，连接B1C，由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C，用心用情服务教育5 人民教育出版社高中必修2畅言教育因此，要证AB1⊥BC1，则只要证明BC1⊥平面AB1C，即只要证AC⊥BC1即可，由直三棱柱可知，只要证AC⊥BC即可．因为A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要证A1C1⊥B1C1即可．(或者能推出A1C1⊥B1C1的条件，如∠A1C1B1＝90°等)7.90°【解析】∵B1C1⊥面ABB1A1，∴B1C1⊥MN．又∵MN⊥B1M，∴MN⊥面C1B1M，∴MN⊥C1M．∴∠C1MN＝90°．8.【解析】设三棱柱的高为h，则×()2×h＝，解得h＝.设三棱柱中底面ABC的中心为Q，则PQ＝，AQ＝××＝1.在Rt△APQ中，∠PAQ为直线PA与平面ABC所成的角，且tan∠PAQ＝，所以∠PAQ＝.三、解答题（共2小题，每题10分，共20分）9．证明：在平面B1BCC1中，∵E、F分别是B1C1、B1B的中点，∴△BB1E≌△CBF，∴∠B1BE＝∠BCF，∴∠BCF＋∠EBC＝90°，∴CF⊥BE，又AB⊥平面B1BCC1，CF⊂平面B1BCC1，∴AB⊥CF，AB∩BE＝B，∴CF⊥平面EAB．10.(1)证明：∵PA＝PC，M为AC的中点，∴PM⊥AC．①又∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，∴AM＝MC＝MB＝AC＝5.在△PMB中，PB＝13，MB＝5.PM＝＝＝12.∴PB2＝MB2＋PM2，∴PM⊥MB．②由①②可知PM⊥平面ABC．[来源:学*科*网](2)解：∵PM⊥平面ABC，∴MB为BP在平面ABC内的射影，∴∠PBM为BP与底面ABC所成的角．在Rt△PMB中tan∠PBM＝＝.用心用情服务教育5