高中数学人教A版必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.1直线与平面垂直的判定 学案
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资料简介
直线和平面垂直判定教学目标:1理解直线与平面垂直的定义;2掌握直线与平面垂直的判定定理内容及论证过程;3应用直线与平面垂直的判定定理解决问题教学重点:直线与平面垂直的判定定理内容及论证过程教学难点:直线与平面垂直的判定定理内容及论证过程教学方法:探究法教具:多媒体、实物投影仪教学过程一、复习引入:1.直线与平面的位置关系2.直线与平面平行的判定与性质3.思考:天安门前的国旗杆与天安门所在地面上的所有直线是什么关系?与其所在的地面又是什么关系?(垂直)今天就来研究一下线面垂直问题二、新授:1.直线与平面垂直的定义:如果一条直线和一个平面相交,并且和这个平面内的任意一条直线都垂直,我们就说这条直线和这个平面互相垂直其中直线叫做平面的垂线,平面叫做直线的垂面交点叫做垂足直线与平面垂直简称线面垂直,记作:⊥画法:画直线和平面垂直时,通常要把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直如图所示:说明:①“任何”表示所有(提问:若直线与平面内的无数条直线垂直,则直线垂直与平面吗?如不是,直线与平面的位置关系如何?)②直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况,在垂直时,直线与平面的交点叫做垂足③a⊥等价于对任意的直线Ì,都有a⊥④直线与平面垂直的判定方法:定义法例1.求证:若两平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面.已知:a∥b,a⊥求证:b⊥α证明:设是内的任意一条直线30 本题的作用:要证b⊥,没有办法?而已知a∥b,只需证a⊥即可,在证题时起转移作用,但具体要证a⊥还需其他方法2.判定定理:(1)探索:①一直线垂直于平面内的一条直线则直线垂直于平面②一直线垂直于平面内的两条直线则直线垂直于平面③一直线垂直于平面内的无数条直线则直线垂直于平面(2)猜想:一直线垂直于两相交直线,那么垂直于这个平面(3)图形表示:(4)符号表达:若⊥,⊥,∩=B,Ì,Ì,则⊥(5)验证:已知:、是平面内的两条相交直线,直线与的交点为B,且⊥,⊥求证:⊥分析:在内平移,,使它们都通过点B,这时,仍保持和垂直过点B作任一条不与,重合的直线g,如果我们能根据⊥且⊥推出⊥g,那么就证明了直线和过点B的所有直线都垂直,即垂直为此,我们在上自点B起于平面的两侧分别截取BA=BA′,于是,都是线段AA′的垂直平分线,它们上面的点到A、A′的距离相等如果我们能证明g上的点到A、A′的距离也相等,那么g也是AA′的垂直平分线,于是g就垂直于在g上任取一点E,过点E在内作不通过点B的直线,分别与,相交于点C、D,容易证明△ACD≌A′CD,进而又可证明△ACE≌△A′CE于是EA=EA′,g⊥一般地:如果一条直线和平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面已知:是平面内的两条相交直线,直线与的交点为,且,求证:证明:过点作∵∴,过任作直线,在上于平面两侧分别截取,∴都是的垂直平分线,∴,在上任取点,过在平面内作不通过的直线分别与相交于点,∴,∴,又,∴,∴30 ∴,∴.(6)直线与平面垂直的判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面三、例题:例1.如图,已知平面,,(1)求证:EF平面ABC(2)ACEF例2.过一点和已知平面垂直的直线只有一条已知:平面和一点P求证:过点P与垂直的直线只有一条证明:不论在平面内或外,设直线,垂足为(或)若另一直线,设确定的平面为,且∴又∵在平面内,与平面几何中的定理矛盾所以过点与垂直的直线只有一条结论:过平面外一点有且只有一条直线与平面垂直,过空间内任一点也有且只有一条直线与已知平面垂直例3.有一根旗杆高,它的顶端挂一条长的绳子,拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点(和旗杆脚不在同一直线上),如果这两点都和旗杆脚的距离是,那么旗杆就和地面垂直,为什么?解:在和中,∵∴∴即又∵不共线∴平面,即旗杆和地面垂直;例4.已知:空间四边形,,,求证:四、练习:1.选择题(1)“直线垂直于平面a内的无数条直线”是“⊥a”的(B)(A)充分条件(B)必要条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(2)如果一条直线与平面a的一条垂线垂直,那么直线与平面a的位置关系是(D)(A)Ìa(B)⊥a(C)∥a(D)Ìa或∥a2.填空题(1)过直线外一点作直线的垂线有无数条;垂面有1个;平行线有1条;平行平面有无数个.(2)过平面外一点作该平面的垂线有1条;垂面有无数个;平行线有无数条;平行平面有1个.30 五、小结:直线与平面垂直的判定定理六、作业:P281,2,3七、板书设计:30

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