高中数学人教A版必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.1直线与平面垂直的判定 练习

2.3.1直线与平面垂直的判定A级 基础巩固一、选择题1．下列说法中正确的个数是(  )①如果直线l与平面α内的两条相交直线都垂直，则l⊥α；②如果直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α；③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直．A．0     B．1     C．2     D．3解析：由直线和平面垂直的定理知①正确；由直线与平面垂直的定义知，②正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条直线垂直，故③错误，④正确．答案：D2．直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能(  )A．平行     B．相交C．异面D．垂直解析：若l∥m，l⊄α，m⊂α，则l∥α，这与已知l⊥α矛盾．所以直线l与m不可能平行．答案：A3．如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是(  )①三角形的两边 ②梯形的两边 ③圆的两条直径④正六边形的两条边A．①③B．②C．②④D．①②③解析：由线面垂直的判定定理可知①③是正确的，而②中线面可能平行、相交．④中由于正六边形的两边不一定相交，所以也无法判定线面垂直．答案：A4.如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是(  )A．平行B．垂直相交 C．垂直但不相交D．相交但不垂直解析：因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC.因为AC∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC.又MA⊂平面AMC，所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交．答案：C5.如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数是(  )A．1B．2C．3D．4解析：⇒⇒BC⊥平面PAC⇒BC⊥PC，所以直角三角形有△PAB，△PAC，△ABC，△PBC.答案：D二、填空题6．已知△ABC所在平面外一点P到△ABC三顶点的距离都相等，则点P在平面ABC内的射影是△ABC的____________________(填“重心”、“外心”、“内心”、“垂心”)．解析：P到△ABC三顶点的距离都相等，则点P在平面ABC内的射影到△ABC三顶点的距离都相等，所以是外心．答案：外心7．已知正三棱锥SABC的所有棱长都相等，则SA与平面ABC所成角的余弦值为________．解析：因为SABC为正三棱锥，所以设点S在底面ABC上的射影为△ABC的中心O，连接SO，AO，如图所示，则∠SAO为SA与底面ABC所成的角，设三棱锥的棱长为a，在Rt△SOA中，AO＝·asin60°＝a，SA＝a， 所以cos∠SAO＝＝.答案：8．如图所示，平面α∩β＝CD，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，则CD与AB的位置关系是________．解析：因为EA⊥α，CD⊂α，根据直线和平面垂直的定义，则有CD⊥EA.同样，因为EB⊥β，CD⊂β，则有EB⊥CD.又EA∩EB＝E，所以CD⊥平面AEB.又因为AB⊂平面AEB，所以CD⊥AB.答案：CD⊥AB三、解答题9．如图所示，在正四面体ABCD中，E是棱AD的中点，求直线CE与底面BCD所成的角的正弦值．解：设正四面体ABCD的棱长为1，如图，作AO⊥平面BCD，垂足为O，则O是△BCD的中心，故OD＝×＝.取OD的中点G，连接EG，因为EG∩OD＝G，则EG⊥平面BCD.连接CG，于是∠ECG就是直线CE与底面BCD所成的角．因为EG＝AO＝＝×＝，又CE＝， 所以sin∠ECG＝＝＝.所以直线CE与底面BCD所成的角的正弦值为.10．如图所示，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，F为CE上的点，且BE⊥平面ACE.求证：AE⊥BE.证明：因为AD⊥平面ABE，AD∥BC，所以BC⊥平面ABE.又AE⊂平面ABE，所以AE⊥BC.因为BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，所以AE⊥BF.又因为BF⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，BF∩BC＝B，所以AE⊥平面BCE.又BE⊂平面BCE，所以AE⊥BE.B级 能力提升1．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面(  )A．有且只有一个B．至多一个C．有一个或无数个D．不存在解析：若异面直线m，n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在．答案：B2．在三棱柱ABCA1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中点，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是________．解析：如图所示，取BC的中点E，连接DE，AE，则AE⊥面BB1C1C.所以AE⊥DE，因此AD与平面BB1C1C所成角即为∠ADE，设AB＝a，则AE＝a，DE＝， 有tan∠ADE＝，所以∠ADE＝60°.答案：60°3．(2016·全国卷Ⅱ改编)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB＝5，AC＝6，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF＝，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′＝.证明：D′H⊥平面ABCD.证明：由已知得AC⊥BD，AD＝CD，又由AE＝CF，得＝，故AC∥EF.因为EF⊥HD，从而EF⊥D′H.由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝＝4.由EF∥AC得＝＝，所以OH＝1，D′H＝DH＝3，于是D′H2＋OH2＝32＋12＝10＝D′O2，故D′H⊥OH.又D′H⊥EF，而OH∩EF＝H，所以D′H⊥平面ABCD.