高中数学人教a版必修2第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.1 直线与平面垂直的判定 教案

.2．3.1 直线与平面垂直的判定教学过程直线与平面的垂直[提出问题]鲁班是我国古代一位出色的发明家，他在做木匠活时，常常遇到有关直角的问题．虽然他手头有画直角的矩，但用起来很费事．于是，鲁班对矩进行改进，做成一把叫做曲尺的“L”形木尺．现在木工要检查一根木棒是否和板面垂直，只需用曲尺在不同的方向(但不是相反的方向)检查两次，如右图．如果两次检查时，曲尺的两边都分别与木棒和板面密合，便可以判定木棒与板面垂直．问题1：用“L”形木尺检查一次能判定木棒与板面垂直吗？提示：不能．问题2：上述问题说明了直线与平面垂直的条件是什么？提示：直线垂直于平面内的两条相交直线．问题3：若直线垂直于平面内的无数条直线，直线与平面垂直吗？提示：不一定．[导入新知]1．直线与平面垂直的定义(1)自然语言：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α。直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面。直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足。(2)图形语言：如图．画直线l与平面α垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直。(3)符号语言：任意a⊂α，都有l⊥a⇒l⊥α.2．直线与平面垂直的判定定理(1)自然语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．(2)图形语言：如图所示．.. .(3)符号语言：a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α.[化解疑难]1．关于直线与平面垂直的定义的理解：(1)定义中的“任何一条直线”这一词语，它与“所有直线”是同义语，定义是说这条直线和平面内所有直线垂直。(2)直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊形式。(3)若直线与平面垂直，则直线和平面内的任何一条直线都垂直，即“线面垂直，则线线垂直”，这是我们判定两条直线垂直时经常使用的一种重要方法。(4)在画线面垂直时，要把直线画成和表示平面的平行四边形的横边垂直，符号语言表述为l⊥α.2．判定定理的条件中，“平面内两条相交直线”是关键性词语，此处强调相交，若两条直线不相交(即平行)，即使直线垂直于平面内无数条直线也不能判断直线与平面垂直。3．要判断一条已知直线和一个平面是否垂直，只需要在该平面内找出两条相交直线与已知直线垂直即可。至于这两条直线是否与已知直线有交点，这是无关紧要的.直线与平面所成的角[提出问题]斜拉桥又称斜张桥，是将主梁用许多拉索直接拉在桥塔上的一种桥梁，是由承压的塔、受拉的索和承弯的梁体组合起来的一种结构体系．其可看作是拉索代替支墩的多跨弹性支承连续梁。其可使梁体内弯矩减小，降低建筑高度，减轻了结构重量，节省了材料。斜拉桥由索塔、主梁、斜拉索组成。问题1：图中拉索所在直线与桥面都是相交的关系，其倾斜程度相同吗？提示：不同．问题2：能用角来表示直线与平面相交时不同的倾斜程度吗？提示：能．.. .问题3：直线与平面所成的角是空间角，能和异面直线所成角一样把空间角转化为平面角吗？提示：能．[导入新知]1．平面的垂线定义：我们知道,当直线和平面垂直时,该直线叫做平面的垂线。如果直线和平面不垂直,是不是也该给它取个名字呢?此时又该如何刻画直线和平面的这种关系呢?2.平面的斜线定义：如图,若一条直线PA和一个平面相交,但不垂直,那么这条直线就叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足。3.斜线在平面上的射影：如图,过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO,过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影.4.直线和平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角。一条直线垂直于平面,我们说它所成的角是直角；一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它所成的角是的角。想一想:直线与平面所成的角θ的取值范围是什么?斜线与平面所成的角θ的取值范围是什么?5.求直线与平面所成的角：关键是作出斜线上一点到平面的垂线，找到这点的射影——垂足的位置。6.求斜线与平面所成角的步骤(1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算．(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角．.. .(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算．7.确定点的射影位置的方法有：①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面内的射影上②一个点到一个角的两边距离相等，则这个点的射影在这个角的角平分线上③若两个面垂直，则一个面上的点在另一面上的射影必在两个平面的交线上.线面垂直的定义及判定定理的理解[例1] 下列说法中正确的个数是(  )①如果直线l与平面α内的两条相交直线都垂直，则l⊥α；②如果直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α；③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直．A．0    B．1C．2D．3[答案] D2．判定定理中要注意必须是平面内两相交直线．[活学活用]下列说法中，正确的是(  )A．若直线l与平面α内无数条直线垂直，则l⊥αB．若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行C．若a∥b，a⊂α，l⊥α，则l⊥bD．若a⊥b，b⊥α，则a∥α答案：C线面垂直的判定[例2] 如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝1，AA1＝2，∠B1A1C1＝90°，D为BB1的中点．求证：AD⊥平面A1DC1... .[解] 证明：∵AA1⊥底面ABC，平面A1B1C1∥平面ABC，∴AA1⊥平面A1B1C1，∴A1C1⊥AA1.又∵∠B1A1C1＝90°，∴A1C1⊥A1B1.而A1B1∩AA1＝A1，∴A1C1⊥平面AA1B1B.又AD⊂平面AA1B1B，∴A1C1⊥AD.由已知计算得AD＝，A1D＝，AA1＝2.∴AD2＋A1D2＝AA，∴A1D⊥AD.∵A1C1∩A1D＝A1，∴AD⊥平面A1DC1.[类题通法]1．用线面垂直的判定定理判断一条直线与此平面垂直时，需在平面内找两条相交直线，证明一条直线同时垂直于这两条相交直线，这是证明线面垂直的一个常用方法．2．线线垂直与线面垂直的转化关系．线线垂直线面垂直．3．解决线面垂直的常用方法：(1)利用勾股定理的逆定理．(2)利用等腰三角形底边的中线就是底边的高线．(3)利用线面垂直的定义．(4)利用平行转化，即a∥b，b⊥c，则a⊥c.[活学活用](山东高考)如图，四棱锥PABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB＝BC＝AD，E，F分别为线段AD，.. .PC的中点．(1)求证：AP∥平面BEF；(2)求证：BE⊥平面PAC.证明：(1)设AC∩BE＝O，连接OF，EC.由于E为AD的中点，AB＝BC＝AD，AD∥BC，所以AE∥BC，AE＝AB＝BC，因此四边形ABCE为菱形，所以O为AC的中点．又F为PC的中点，因此在△PAC中，可得AP∥OF.又OF⊂平面BEF，AP⊄平面BEF.所以AP∥平面BEF.(2)由题意知ED∥BC，ED＝BC.所以四边形BCDE为平行四边形，因此BE∥CD.又AP⊥平面PCD，所以AP⊥CD，因此AP⊥BE.因为四边形ABCE为菱形，所以BE⊥AC.又AP∩AC＝A，AP，AC⊂平面PAC，所以BE⊥平面PAC.直线与平面所成的角[例3] 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值．[解] 取AA1的中点M，连接EM，BM，因为E是DD1.. .的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EM∥AD.又在正方体ABCDA1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1，所以EM⊥平面ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影，∠EBM即为直线BE与平面ABB1A1所成的角．设正方体的棱长为2，则EM＝AD＝2，BE＝＝3，于是在Rt△BEM中，sin∠EBM＝＝，即直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值为.[活学活用]如图，已知∠BOC在平面α内，OA是平面α的斜线，且∠AOB＝∠AOC＝60°，OA＝OB＝OC＝1，BC＝，求OA与平面α所成的角的大小．解：∵OA＝OB＝OC＝1，∠AOB＝∠AOC＝60°，∴△AOB，△AOC为正三角形，∴AB＝AC＝1，又BC＝，∴△BAC为直角三角形，同理△BOC为直角三角形，取BC中点H，连接AH，则AH⊥BC，易得△AHB≌△AOH，∴AH⊥OH，∴AH⊥平面α，∠AOH为OA与α所成的角，在Rt△AOH中，AH＝，∴sin∠AOH＝＝，∴∠AOH＝45°，即AO与平面α所成的角为45°... .    [典例] (12分)如图，已知P是△ABC所在平面外一点，PA，PB，PC两两互相垂直，H是△ABC的垂心．求证：PH⊥平面ABC.[解题流程][规范解答][名师批注]①处易漏掉AP∩BP＝P，PC∩CH＝C和AB∩BC＝B的条件，而直接证明出线面垂直，虽然结果正确，但不严密．虽然写清了①的条件，若没有写清楚②处的条件或漏掉，都是不全面的，都容易失分．若漏掉③处而直接由线面垂直得出线线垂直也是不严谨的．如图所示，连接CH，          ∵PC⊥AP，PC⊥BP，AP∩BP＝P①，AP⊂平面APB，BP⊂平面APB②，∴PC⊥平面APB.(3分)∵AB⊂平面APB③，∴PC⊥AB.(5分)∵H为△ABC的垂心，∴CH⊥AB.(7分)∵PC∩CH＝C①，PC⊂平面PHC，CH⊂平面PHC②，∴AB⊥平面PHC.∵PH⊂平面PHC③，∴AB⊥PH.(9分)同理可证PH⊥BC.(10分)∵AB⊂平面ABC，BC⊂.. .平面ABC②且AB∩BC＝B①，∴PH⊥平面ABC.(12分)[活学活用]如图，已知PA⊥圆O所在平面，AB为圆O的直径，C是圆周上的任意一点，过A作AE⊥PC于E.求证：AE⊥平面PBC.证明：∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC.∵AC⊥BC，AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC.∵AE⊂平面PAC，∴BC⊥AE.又∵PC⊥AE，BC∩PC＝C，PC⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，∴AE⊥平面PBC...