高中数学人教A版必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.1直线与平面垂直的判定 课件

2.3.1直线与平面垂直的判定1.空间中两条直线的位置关系有哪儿种？平行、相交、异面2.空间直线与平面的位置关系有哪些?直线a在平面a内直线a与平面交直线a与平面a平行 ■感受依面垂直订I Tt EJuskif EJushf 1.线面垂直的定义如果直线I与平面a内的任意一条直线都垂直，我们说直线l与平面a互相垂直,记作/±a.直线与平面的一条边垂直直线/的垂面(1"为平面a的垂线a为直线/的垂面P为垂足即/±a=P(2)由定义：任意aua,/_La=>/_La/_La,任意ouanILa除定义外，如何判断一条直线与平面垂直呢?空间问题■►平面问题笔同等由的阅启原线线平行一线面平行能不能把线面垂直问题转化为线线垂直问题? 图1再试两条平行直1,囹1那么两条相交工/图2线—/'/。/八//画2r线呢？ 如果直线Z和平酗内的两条相交直线m,n都垂直，那么直线,垂直平面即：muanuamC\n=PILmILn Tt例1—如图，已知a"b'a工a,求证b_Lc.证明：在平面a内作两条相交直线相，n.因为直线aLa根据直线与平面垂直的定义知abaA^m^aA^n.又因为bIIa所以bX.m,b±n又mcza.ncza.m.n是两条相交直线,所以bA.a.BTt所在平面外一点，。是对角线AC与BD的交点，且R4=PCPB=PD.求证：P01平面ABCD证明・.・PA=PC,点。是4C的中点・•.PO±AC又•:PB=点。是8。的中点・•.PO±BD又・.・ACC\BD=O・•・PO,平面ABCD 直线与平面所成的角之一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0。的角。CB一条直线P4和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点A叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线段PO,过垂足。和斜足A的直线40叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角.直线与平面所成的角的取值范围是[0°,90°](1)求直线AB和平面ABCD所成的角。例2.如图所示，在正方体ABCD-AiBiCR中、(2)求直线AB和平面AiB£D所成的角。'(1)♦・•在正方体中，AA[_L平面ABCD・・・NAiBA就是直线A〔B与平面ABCD所成的角,」二・・,在正方体中AA[B]B是正方形，即NAiBA，5°・・・直线A〔B与平面ABCD所成的角为45。(2)连接BC1交B〔C于点O,连接AQ・.•在正方体中，A[B1_L平面BC1・・・_LBg・.・B〔BCG为正方形，IBC〔J_B〔C又・.・AiB〔nBiC=Bi，・・・BCi,平面AiBQD,即NBAQ就是所求的有设正方体的棱长为a,则八田=缶,BO^-a ・・・sinNOAiB=0.5,又NOAiBw(0°,90°)AZOA1B=30°,即所求为30°。 ■【预习自测】1>嗜相麻版D-A1BRD]中,（1）与平面B£]CB垂直的直线有:BB1,BC,CCi,B〔Ci（2）与平面AA述直的平面有:平面A匕平面AQi2、判断正误：（1）若直线Z±a,直线以u*贝iJ/，以（（2）垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边（yl）③3、以下命题中，正确命题的序号为.①若一条直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面；②若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面；③若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线；④若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一直线必垂直于这个平面.«在三棱锥P-ABC中，PAJ_平面ABC,AB±BC,PA=AB，D为PB的田点，求证:AD±PC.证明：PAJ_平面ABC=>PA_LBC1AB±BCJADu平面PABnBC±ADPA=AB、=>BC_L平面PAB=>AD_L平面PBC=>AD±PC=>AD±PBD为PB的中点证明异面直线垂直，通常转化为证明线面垂直。Page口26 3.如图,g所在一平面为a,AB是圆O的直径，C是圆周上一点,且pa1ac,paJab,求证：(1)PA±BC(2)BCJ,平面PACBC解：⑴ABu%ACua,RABr>AC=APAA.AC,PAA.AB:.PALa又vBCua(2)・・・C为圆。上一点，力笈为直径.\BC.LAC网1煨JLPA又•・•尸4nAe=A/.BC.L^PAC..PA±BC[典■展示与点评例1.在三棱柱V-ABC中，VA=VC,AB=BC,。是AC的中点。求证：(1)AC,平面VOB(2)VB±AC变式.如图，已知a〃乩a_Lq求证：Z?_L&例2.如图所示，在正方体ABCD—A]B£Di中,(1)求直线A]B和平面ABCD所成的角。(2)求直线&B和平面A[B]CD所成的角。 例1.在三棱柱VABC中，晨料晁=BC,。是AC的中点。求证：（1）AC_L平面VOB(2)VB±ACV证叫（1）VVA=VC,。是AC的中点AVO±AC同理可证：VO±AC（）ABVVOnBO=O,且VO、BO在平面VOB内・・・ACJ_平面VOB(2)VAC±¥®VOB,VB在平面VOB内AVB±AC—变或如图，已知a〃仇求证：b_La证明：在平面。内作两条相交的直线m,nVaJ_a,九〃在平面Q内「•aJ-〃丁a//b,Z>J_m,b.Ln又Ta,〃是两条相交直线•\z>±a语言叙述:若两平行线中的一条垂直于一平面,则另一条也垂直于此平面。 1.线面垂直的定义2,线面垂直的判定定理一条直线与一个平面内的两条粗交直线都垂直,则该直线与此平面垂直.线线垂直一判定.线面垂直定义*反馈检测】1、若两直线a、b与面所成的角相等，贝帕与b的位置关系是O2、过所在的平面Q外的一点P,做PO，Q,垂足为。，］连接PA,PB,PC,中点⑴若PA=PB=PC,ZC=90°，贝ij点妙蜘B边的^；(2)若PA=PB=PC,则点。是的心；垂口(3)若PA±PB,PB±PC,PC±PA,则点。是的心。3、如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，且 1.如图，AB是。。的直径，C是圆周上的一点,PA垂直于。。所在的平面，AF±PC求证：AFJL平面PBC.林竞L如图，直四棱型®c'o'-mc。（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形ABCD满足什么条件时A'CIBTX?底面四边形A3C。对角线相互垂直. 2.在空间四边形ABCD中，AB=AD,CB=CD,求证：对角线AC1BD。证明，取的中点已连接A瓦。石・・・AB=AD,'-AE±BD.・・•BC=DC,CE±BD,又;AE^CE=E,・••BD±平面AC石，・.・ACu平面BD±AC《］》」直接法『=＞间接法（的定定理直线与平面垂直的判定如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，那么此直线垂直这个平面。1定义法如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面。如果一条直线垂于一个平面内的任何一条直线此直线垂直于这个平面《2》空间问题平面区