高中数学人教A版必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.1直线与平面垂直的判定 练习解析版

第二章2.32.3.1【基础练习】1．(2019年江西抚州校级月考)下面四个命题：①过一点和一条直线垂直的直线有且只有一条；②过一点和一个平面垂直的直线有且只有一条；③过一点和一条直线垂直的平面有且只有一个；④过一点和一个平面垂直的平面有且只有一个．其中正确的是()A．①②B．①④C．②③D．③④【答案】C【解析】过一点和一条直线垂直的直线有无数条，故①不正确；过一点和一个平面垂直的平面有无数个，故④不正确；易知②③均正确．故选C．2．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面()A．有且只有一个B．至多一个C．有一个或无数个D．不存在【答案】B【解析】若异面直线m，n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在．3．线段AB的长等于它在平面α内的射影长的2倍，则AB所在直线与平面α所成的角为()A．30°B．45°C．60°D．120°【答案】C1【解析】如图，AC⊥α，AB∩α＝B，则BC是AB在平面α内的射影，则BC＝AB，所以2∠ABC＝60°，它是AB与平面α所成的角． 4．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC，BD的关系是()A．垂直且相交B．相交但不一定垂直C．垂直但不相交D．不垂直也不相交【答案】C【解析】如图，取BD中点O，连接AO，CO，则BD⊥AO，BD⊥CO，∴BD⊥平面AOC，BD⊥AC.又BD，AC异面，故选C．5．已知△ABC所在平面外一点P到△ABC三顶点的距离都相等，则点P在平面ABC内的射影是△ABC的________．【答案】外心【解析】P到△ABC三顶点的距离都相等，则点P在平面ABC内的射影到△ABC三顶点的距离都相等，所以是外心．6．如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数有________． 【答案】4【解析】∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC.又BC⊥AC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.∴BC⊥PC.∴四面体P－ABC中直角三角形有△PAC，△PAB，△ABC，△PBC，共4个．7．在正方体ABCD－ABCD中，求证：AC⊥平面BCD.111111【证明】如图，连接AC，则AC⊥BD.∵BD⊥AA，AC∩AA＝A，11AC，AA⊂平面AAC，∴BD⊥平面AAC.111∵AC⊂平面AAC，∴BD⊥AC.111同理可证BC⊥AC.11又BD∩BC＝B，BD，BC⊂平面BCD，111∴AC⊥平面BCD.118．如图，在直角三角形BMC中，∠BCM＝90°，∠MBC＝60°，BM＝5，MA＝3且MA ⊥AC，AB＝4，求MC与平面ABC所成角的正弦值．【解析】因为BM＝5，MA＝3，AB＝4，所以AB2＋AM2＝BM2，所以MA⊥AB.因为MA⊥AC，AB，AC平面ABC，AB∩AC＝A，所以MA⊥平面ABC.所以∠MCA即为MC与平面ABC所成的角．53因为∠MBC＝60°，所以MC＝.2MA323所以sin∠MCA＝＝＝.MC5352【能力提升】9．已知三条相交于一点的线段PA，PB，PC两两垂直且A，B，C在同一平面内，P在平面ABC外，PH⊥平面ABC于点H，则垂足H是△ABC的()A．外心B．内心C．垂心D．重心【答案】C【解析】易证AH⊥BC，BH⊥AC，CH⊥AB，故点H为△ABC的垂心．10．在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥平面ABCD且PA＝6，则PC与平面ABCD所成角的大小为()A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】C【解析】如图，连接AC.∵PA⊥平面ABCD，∴∠PCA就是PC与平面ABCD所成的角． PA6∵AC＝2，PA＝6，∴tan∠PCA＝＝＝3.∴∠PCA＝60°.AC211．(2019年重庆模拟)如图，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是()A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角【答案】D【解析】因为SD垂直于平面ABCD，而AC在平面ABCD内，所以AC垂直于SD.再由ABCD为正方形，所以AC垂直于BD.而BD与SD相交，所以AC垂直于平面SBD，进而AC垂直于SB，A正确．因为AB平行于CD，而CD在平面SCD内，AB不在平面SCD内，所以AB平行于平面SCD，B正确．设AC与BD的交点为O，连接SO，则SA与平面SBD所成的 角就是∠ASO，SC与平面SBD所成的角就是∠CSO，易知这两个角相等，C正确．AB与SC所成的角等于∠SCD，而DC与SA所成的角是∠SAB，这两个角不相等，D错误．故选D．12．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，AB＝1，BM⊥PD于点M.(1)求证：PD⊥平面ABM；(2)求直线CD与平面ACM所成的角的余弦值．【解析】(1)证明：∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB.∵AB⊥AD，AD∩PA＝A，AD⊂平面PAD，PA⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD.∵PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.∵BM⊥PD，AB∩BM＝B，AB⊂平面ABM，BM⊂平面ABM，∴PD⊥平面ABM.(2)由(1)知AM⊥PD.又PA＝AD，则M是PD的中点．在Rt△PAD中，AM＝2. 在Rt△CDM中，MC＝MD2＋DC2＝3.可证AM⊥平面PCD，则AM⊥MC，16∴S＝AM·MC＝.△ACM22设点D到平面ACM的距离为h，由V＝V，D－ACMM－ACD1116得S·h＝S·PA，解得h＝.3△ACM3△ACD23h63设直线CD与平面ACM所成的角为θ，则sinθ＝＝，∴cosθ＝.CD333∴直线CD与平面ACM所成的角的余弦值为.3