高中数学人教A版必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.1直线与平面垂直的判定

2.3.1直线与平面垂直的判定 回顾知识：空间中一条直线与平面有哪几种位置关系？（1）直线在平面内，（2）直线与平面平行，（3）直线与平面相交知识探究（一）：直线与平面垂直的概念(垂直) 大漠孤烟直 AB AB AB AB AB AB AB AB CC1B1ABα内过点B的直线AB所在直线内不过点B的直线ααAB所在直线内任意一条直线αAB所在直线⊥⊥⊥ 一、直线和平面垂直的定义如果直线l与平面a内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面a垂直，其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面.交点叫做垂足.A平面的垂线直线的垂面垂足 LP直线和平面垂直的画法:通常把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直。 探索新知：做一做想一想ABCD1.折痕AD与桌面垂直吗？2.如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？请同学们拿出一块三角形纸片，我们一起做一个试验：过三角形的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触） 当且仅当折痕AD是BC边上的高时，AD所在直线与桌面所在平面垂直．2.如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？探索新知： 探索新知：由刚才分析可以知道，直线与平面垂直的判定需要哪几个条件？你能根据刚才的分析归纳出直线与平面垂直判定定理吗(1)平面有两条直线(2)这两条直线要相交(3)平面外的直线要与这两条直线都垂直 二、直线与平面垂直的判定定理：线线垂直线面垂直mnP一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。一相交两垂直 判断下列命题是否正确？(1)过一点有且只有一条直线和一个平面垂直()(2)过一点有且只有一个平面和一条直线垂直()√√PP 例1.在下图的长方体中，请列举与平面ABCD垂直的直线。并说明这些直线有怎样的位置关系？ 例2、在正方体AC1中，求证：(2)D1B⊥平面ACB1(1)AC⊥平面D1DBC1BD1ACA1DB1 C1BD1ACA1DB1例2、在正方体AC1中，求证：(2)D1B⊥平面ACB1由异成直线所成的角知D1B⊥平面ACB1 例2.如图，已知a∥b、a⊥α.求证：b⊥α.例题示范,巩固新知分析：在平面内作两条相交直线，由直线与平面垂直的定义可知，直线a与这两条相交直线是垂直的，又由b平行a，可证b与这两条相交直线也垂直，从而可证直线与平面垂直。ab 例2.如图，已知a∥b、a⊥α.求证：b⊥α.（线面垂直线线垂直）（线线垂直线面垂直） 我们知道,当直线和平面垂直时,该直线叫做平面的垂线。如果直线和平面不垂直,是不是也该给它取个名字呢?此时又该如何刻画直线和平面的这种关系呢?直线与平面所成的角 如图,点Q是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿是点P到平面 的垂线段pQ过一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面上的射影；这点与垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段。一.斜线在平面内的射影１.垂线、斜线、射影(１)垂线点P在平面内的射影线段PQ （2）斜线一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线．斜线和平面的交点叫做斜足。从平面外一点向平面引斜线，这点与斜足间的线段叫做这点到这个平面的斜线段PR 如图：＿＿＿＿是斜线AC在 内的射影，线段BC是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ACB过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影．垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在这个平面上的射影．(３)射影直线BC斜线段AC在 内的射影 ACBFE说明：②斜线上任意一点在平面上的射影，一定在斜线的射影上。思考：斜线上的一个点在平面上的射影会在哪呢？ 思考：①从平面外一点向这个平面引的垂线段和斜线段，它们的射影和线段本身之间有什么关系？②从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段AB、AC、AD、AE…中，那一条最短？ACBDE垂线段比任何一条斜线段都短 外中垂巩固练习： 中外垂ＰＡＣＢ重心:三条中线的交点垂心:三条高的交点外心:三条垂直平分线的交点(到△三个顶点的距离相等)内心:三角平分线的交点中心:正△的重心、垂心、内心、外心重合的点 已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA=PB=PC试判断点P在底面ABC的射影的位置？PABCOOA=OB=OCO为三角形ABC的外心 已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA,PB,PC两两垂直,试判断点P在底面ABC的射影的位置？PABCO为三角形ABC的垂心DO 已知三棱锥P-ABC的顶点P到底面三角形ABC的三条边的距离相等,试判断点P在底面ABC的射影的位置？PABCO为三角形ABC的内心OEF 典型：四面体P-ABC的顶点P在平面上的射影为O(1)P到三顶点距离相等(3)P到三边AB、BC、AC距离相等(2)侧棱两两垂直PABCO外垂内O是ABC的心O是ABC的心O是ABC的心 如图，直四棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱成为直棱柱）中，底面四边形满足什么条件时，？(只能添加一个合适的条件)解:底面ABCD可以是菱形,正方形,或者是对角线相互垂直的任意四边形．探究3比比谁最棒!!! A1B1C1D1ABCD例1、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，求（1）直线A1B和平面BCC1B1所成的角。（2）直线A1B和平面A1B1CD所成的角。O例题示范,巩固新知分析:找出直线A1B在平面BCC1B1和平面A1B1CD内的射影,就可以求出A1B和平面BCC1B1和平面A1B1CD所成的角。阅读教科书P67上的解答过程 对棱两两垂直OPABC例：四面体P-ABC中，若三棱锥有两组对边互相垂直，则另一组对边必然垂直O是垂心垂O是ABC的心 例3、三棱锥V-ABC中，VA=VC,AB=BC,K是AC的中点。（1）求证：AC⊥平面VKB（2）求证：VB⊥ACABCVK(1)连接VK,KB，由VA=VC,K为AC中点，由三线合一可知VK⊥AC,同理可得KB⊥AC，且VK∩KB=K所以AC⊥平面VKB(判定定理)(2)由(1)可知，AC⊥平面VKB又因为VB平面VKB所以VB⊥AC(定义) 变式：1、在例3中若E、F分别为AB、BC的中点，试判断EF与平面VKB的位置关系．AVBCEFK例3、三棱锥V-ABC中，VA=VC,AB=BC,K是AC的中点。（1）求证：AC⊥平面VKB（2）求证：VB⊥AC2、在1的条件下，有人说“VB⊥AC，VB⊥EF，VB⊥平面ABC”，对吗？ BCＰDAFE 直线与平面垂直的性质 如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行。3.直线与平面垂直的性质定理 例2、如图，已知AC、AB分别是平面α的垂线和斜线，C、B分别是垂足和斜足，a，a⊥BC。求证：a⊥ABAaCB线面垂直线线垂直三垂线定理:在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它就和这条斜线垂直. AaCB变:如图，已知AC、AB分别是平面α的垂线和斜线,C、B分别是垂足和斜足，a，。a⊥AB三垂线定理的逆定理:如果平面内的一条直线与这个平面的一条斜线垂直,那么这条直线就和这条斜线在这个平面内的射影垂直.求证:a⊥BC 练习3.如果两直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行．练习2.过一点只有一个平面和一条直线垂直．练习1.过一点只有一条直线和一个平面垂直．结论1.结论2.结论3.常用结论发散 结论1：过一点有且只有一个平面和已知直线垂直。结论2：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。结论3：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。 直线和平面垂直的判定例求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。已知：，。求证：。证明：方法1设是内的任意一条直线。 √√√小试牛刀 线面垂直的性质定理：符号语言：图形语言：垂直于同一平面的两直线互相平行.abα 例2.如图，已知a∥b、a⊥α.求证：b⊥α.（线面垂直线线垂直）（线线垂直线面垂直） 例2、如图，已知a∥b，a⊥α。求证：b⊥α。例题示范,巩固新知分析：在平面内作两条相交直线，由直线与平面垂直的定义可知，直线a与这两条相交直线是垂直的，又由b平行a，可证b与这两条相交直线也垂直，从而可证直线与平面垂直。ab阅读P66页的证明过程. √×１、判断下列命题的正误。（2）垂直于同一直线的两条直线互相平行（）（3）平行于同一平面的两条直线互相平行（）（4）垂直于同一平面的两条直线互相平行（）×（1）平行于同一直线的两条直线互相平行（）√五、过程设计(三)线面垂直性质定理的应用小牛试刀 (1)若PA=PB=PC，则O是△ABC的.PABCO外心例4.关于三角形的四心问题设O为三棱锥P—ABC的顶点P在底面上的射影.综合练习： (2)若PA=PB=PC,∠C=900,则O是AB的_____点.中PABCO例4.关于三角形的四心问题综合练习： 垂心EFPABCO(3)若三条側棱两两互相垂直,则O是△ABC的.例4.关于三角形的四心问题综合练习： EFPABCO(5)若三条側棱与底面成相等的角，则O是△ABC的_____.外心例4.关于三角形的四心问题综合练习： 例1、已知直角△ABC所在平面外有一点P，且PA=PB=PC，D是斜边AB的中点，求证：PD⊥平面ABC.ABCPD证明：PA=PB，D为AB中点∴PD⊥AB，连接CD，∵D为Rt△ABC斜边的中点∴CD=AD,又PA＝PC,PD=PD∴△PAD≌△PCD而PD⊥AB∴PD⊥CD,CD∩AB=D∴PD⊥平面ABC 例2、如图平面α、β相交于PQ，线段OA、OB分别垂直平面α、β，求证：PQ⊥ABPQOAB证明：∵OA⊥αPQα∴OA⊥PQOB⊥β,PQβ∴OB⊥PQ又OA∩OB=0∴PQ⊥平面OAB而AB平面OAB∴PQ⊥AB SABCH SABCH 1.如图,已知点M是菱形ABCD所在平面外一点，且MA=MC求证：AC⊥平面BDMMABCDO ABCD证明：E2.在空间四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，求证：对角线ACBD。CEAEEBD,,,连接的中点取ACBDACEAC^\Ì,平面Q=Ç`ACEBDECEAE^\,,平面又QBDCEDCBC^\=,,QBDAEADAB^\=,,Q PABCO3.如图，圆O所在一平面为，AB是圆O的直径，C在圆周上,且PAAC,PAAB,求证：（1）PABC（2）BC平面PAC 典例平面内有一个三角形ABC，平面外有一点P，自P向平面作斜线PA，PB，PC，且PA＝PB＝PC，若点O是△ABC的外心，求证：PO⊥平面ABC. 【解】如图所示，分别取AB，BC的中点D，E，连接PD，PE，OD，OE.因为PA＝PB＝PC，所以PD⊥AB，PE⊥BC，因为O是△ABC的外心，所以OD⊥AB，OE⊥BC，又因为PD∩DO＝D，OE∩PE＝E，所以AB⊥平面PDO，BC⊥平面PEO，于是有AB⊥PO，BC⊥PO，AB∩BC＝B，从而推得PO⊥平面ABC. 中外垂ＰＡＣＢ重心:三条中线的交点垂心:三条高的交点外心:三条垂直平分线的交点(到△三个顶点的距离相等)内心:三角平分线的交点中心:正△的重心、垂心、内心、外心重合的点 巩固练习VABC 直线与平面垂直的判定与性质解题分析: 解题小结: 2021/9/26例1：如图，已知AC、AB分别是平面α的垂线和斜线，C、B分别是垂足和斜足，aα，a⊥BC．求证：a⊥AB．ACBaα射影垂直，斜线垂直 2021/9/26例2：如图，∠BAC在平面α内，P为平面α外一点，∠PAB＝∠PAC．求证：点P在平面α上的射影在∠BAC的平分线上．ACBPαOEF 例1如图,在Rt△ABC中,已知∠C=90º,AC=BC=1,PA⊥面ABC,且PA=,求(1)PB与面ABC所成的角(2)PB与面PAC所成的角.BCAP 巩固练习1.平行四边形ABCD所在平面a外有一点P，且PA=PB=PC=PD，求证：点P与平行四边形对角线交点O的连线PO垂直于AB、AD.CABDOP 2021/9/26例2：如图，在棱长为1的正方体中．(1)求B1D与平面ABCD所成的角的正切；ABCDOA1B1C1D1(2)求A1C1与平面ABC1D1所成的角；(3)求BB1与平面A1BC1所成的角的正切．MH 2021/9/26例5：⊿ABC的定点在平面α内，点A、C在平面α的同侧，AB、BC与α所成角分别是300和450．若AB＝3，BC＝4√2，AC＝5，求AC与平面α所成的角．AαBCA1C1E 2021/9/26例6：如图，P是正方形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，AE⊥PD，PA＝3AB．求直线AC与平面ABE所成角的正弦值．PABCDE 【5】如图,AB为平面α的一条斜线,B为斜足,AO⊥平面α,垂足为O,直线BC在平面α内,已知∠ABC=60°,∠OBC=45°,则斜线AB和平面α所成的角是_______.ACODBα45°设OB=2,补充练习 引课我们知道,当直线和平面垂直时,该直线叫做平面的垂线。如果直线和平面不垂直,是不是也该给它取个名字呢?此时又该如何刻画直线和平面的这种关系呢?直线与平面所成的角 1.平面的斜线如图,若一条直线PA和一个平面α相交,但不垂直,那么这条直线就叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点A叫做斜足。PA斜足斜线 A1B1C1D1ABCD例1、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，求（1）直线A1B和平面BCC1B1所成的角。（2）直线A1B和平面A1B1CD所成的角。O例题示范,巩固新知分析:找出直线A1B在平面BCC1B1和平面A1B1CD内的射影,就可以求出A1B和平面BCC1B1和平面A1B1CD所成的角。阅读教科书P67上的解答过程 AGFEDCBHHC与平面ABCD所成的角是？BG和EA与平面ABCD所成的角分别是？∠GBC与∠EAB∠HCDEC和EG与平面ABCD所成的角分别是？∠ACE练习:正方体ABCD－EFGH中 2.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）AB1在面BB1D1D中的射影（2）AB1在面A1B1CD中的射影（3）AB1在面CDD1C1中的射影A1D1C1B1ADCB巩固练习 2.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）AB1在面BB1D1D中的射影（2）AB1在面A1B1CD中的射影（3）AB1在面CDD1C1中的射影A1D1C1B1ADCBO线段B1O巩固练习 2.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）AB1在面BB1D1D中的射影（2）AB1在面A1B1CD中的射影（3）AB1在面CDD1C1中的射影A1D1C1B1ADCBE线段B1E巩固练习 2.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）AB1在面BB1D1D中的射影（2）AB1在面A1B1CD中的射影（3）AB1在面CDD1C1中的射影A1D1C1B1ADCB线段C1D巩固练习 3.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）A1C1与面ABCD所成的角（2）A1C1与面BB1D1D所成的角（3）A1C1与面BB1C1C所成的角（4）A1C1与面ABC1D1所成的角A1D1C1B1ADCB0o巩固练习 3.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）A1C1与面ABCD所成的角（2）A1C1与面BB1D1D所成的角（3）A1C1与面BB1C1C所成的角（4）A1C1与面ABC1D1所成的角A1D1C1B1ADCB90o巩固练习 3.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）A1C1与面ABCD所成的角（2）A1C1与面BB1D1D所成的角（3）A1C1与面BB1C1C所成的角（4）A1C1与面ABC1D1所成的角A1D1C1B1ADCB45o巩固练习 3.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）A1C1与面ABCD所成的角（2）A1C1与面BB1D1D所成的角（3）A1C1与面BB1C1C所成的角（4）A1C1与面ABC1D1所成的角A1D1C1B1ADCBE30o巩固练习 线线垂直相交垂直（共面垂直）异面垂直