直线、平面垂直的判定与性质

考点突破夯基释疑考点一考点三考点二例1训练1例2训练2例3训练3第4讲直线、平面垂直的判定与性质概要课堂小结 判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)直线l与平面α内无数条直线都垂直，则l⊥α.()(2)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直．()(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．()(4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.()夯基释疑 考点突破证明(1)在四棱锥P-ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，∵AC⊥CD，且PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC．而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.利用判定定理证明考点一直线与平面垂直的判定与性质【例1】如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE. 考点突破(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA．∵E是PC的中点，∴AE⊥PC．由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD．而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD．∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB．又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD．又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.利用判定定理证明考点一直线与平面垂直的判定与性质【例1】如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE. 考点突破规律方法(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①线面垂直的定义；②判定定理；③垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；④面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；⑤面面垂直的性质.(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．考点一直线与平面垂直的判定与性质 考点突破所以AE∥BC，AE＝AB＝BC，因此四边形ABCE为菱形，所以O为AC的中点．又F为PC的中点，因此在△PAC中，可得AP∥OF.又OF⊂平面BEF，AP⊄平面BEF，所以AP∥平面BEF.考点一直线与平面垂直的判定与性质证明(1)设AC∩BE＝O，连接OF，EC．O 考点突破(2)由题意知ED∥BC，ED＝BC，所以四边形BCDE为平行四边形，因此BE∥CD．又AP⊥平面PCD，所以AP⊥CD，因此AP⊥BE.因为四边形ABCE为菱形，所以BE⊥AC．又AP∩AC＝A，AP，AC⊂平面PAC，所以BE⊥平面PAC．考点一直线与平面垂直的判定与性质O 考点突破考点二平面与平面垂直的判定与性质【例2】如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．求证：(1)CE∥平面PAD；(2)平面EFG⊥平面EMN.证明(1)法一取PA的中点H，连接EH，DH.因为E为PB的中点，所以EH∥CD，且EH＝CD．因此四边形DCEH是平行四边形．所以CE∥DH.又DH⊂平面PAD，CE⊄平面PAD，因此，CE∥平面PAD．H利用判定定理或面面平行证明 考点突破考点二平面与平面垂直的判定与性质【例2】如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．求证：(1)CE∥平面PAD；(2)平面EFG⊥平面EMN.法二连接CF.又AF∥CD，所以四边形AFCD为平行四边形．因此CF∥AD．又CF⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以CF∥平面PAD．因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA．又EF⊄平面PAD，PA⊂平面PAD，所以EF∥平面PAD．因为CF∩EF＝F，故平面CEF∥平面PAD．又CE⊂平面CEF，所以CE∥平面PAD．利用判定定理或面面平行证明 考点突破考点二平面与平面垂直的判定与性质【例2】如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．求证：(1)CE∥平面PAD；(2)平面EFG⊥平面EMN.(2)因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA．又AB⊥PA，所以AB⊥EF.同理可证AB⊥FG.又EF∩FG＝F，EF⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，因此AB⊥平面EFG.又M，N分别为PD，PC的中点，所以MN∥CD，又AB∥CD，所以MN∥AB．因此MN⊥平面EFG.又MN⊂平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN.利用判定定理证明 考点突破规律方法(1)证明平面和平面垂直的方法：①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．(2)已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．考点二平面与平面垂直的判定与性质 考点突破证明(1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DE∥PA．又因为PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，所以直线PA∥平面DEF.(2)因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA＝6，BC＝8，考点二平面与平面垂直的判定与性质【训练2】(2014·江苏卷)如图，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.求证：(1)直线PA∥平面DEF；(2)平面BDE⊥平面ABC． 考点突破考点二平面与平面垂直的判定与性质【训练2】(2014·江苏卷)如图，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.求证：(1)直线PA∥平面DEF；(2)平面BDE⊥平面ABC．又因为DF＝5，故DF2＝DE2＋EF2，所以∠DEF＝90°，即DE⊥EF.又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC．因为AC∩EF＝E，AC⊂平面ABC，EF⊂平面ABC，所以DE⊥平面ABC．又DE⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC．接上一页 考点突破(1)解在四棱锥P－ABCD中，因PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，故PA⊥AB．又AB⊥AD，PA∩AD＝A，从而AB⊥平面PAD，故PB在平面PAD内的射影为PA，从而∠APB为PB和平面PAD所成的角．在Rt△PAB中，AB＝PA，故∠APB＝45°.所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°.考点三线面角、二面角的求法【例3】如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．(1)求PB和平面PAD所成的角的大小；(2)证明：AE⊥平面PCD；(3)求二面角A-PD-C的正弦值． 考点突破(2)证明在四棱锥P－ABCD中，因PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，故CD⊥PA．由条件CD⊥AC，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC．又AE⊂平面PAC，∴AE⊥CD．由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA．∵E是PC的中点，∴AE⊥PC．又PC∩CD＝C，综上得AE⊥平面PCD．考点三线面角、二面角的求法【例3】如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．(1)求PB和平面PAD所成的角的大小；(2)证明：AE⊥平面PCD；(3)求二面角APDC的正弦值． 考点突破(3)解过点E作EM⊥PD，垂足为M，连接AM，如图所示．由(2)知，AE⊥平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM，则AM⊥PD．因此∠AME是二面角APDC的平面角．由已知，可得∠CAD＝30°.设AC＝a，可得考点三线面角、二面角的求法【例3】如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．(1)求PB和平面PAD所成的角的大小；(2)证明：AE⊥平面PCD；(3)求二面角APDC的正弦值．M 考点突破在Rt△ADP中，∵AM⊥PD，∴AM·PD＝PA·AD，考点三线面角、二面角的求法【例3】如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．(1)求PB和平面PAD所成的角的大小；(2)证明：AE⊥平面PCD；(3)求二面角APDC的正弦值．M 考点突破规律方法求线面角、二面角的常用方法：(1)线面角的求法，找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解．(2)二面角的大小求法，二面角的大小用它的平面角来度量．平面角的作法常见的有①定义法；②垂面法．注意利用等腰、等边三角形的性质．考点三线面角、二面角的求法 考点突破(1)证明如图所示，连接AC，AC交BD于O，连接EO.∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点．在△PAC中，EO是中位线，∴PA∥EO.而EO⊂平面EDB且PA⊄平面EDB，∴PA∥平面EDB．【训练3】(2014·天津一考)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC．E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.(1)证明PA∥平面EDB；(2)证明PB⊥平面EFD；(3)求二面角C－PB－D的大小．考点三线面角、二面角的求法O 考点突破(2)证明∵PD⊥底面ABCD，且DC⊂底面ABCD，∴PD⊥DC．∵PD＝DC，可知△PDC是等腰直角三角形．而DE是斜边PC的中线，∴DE⊥PC．①同样，由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC．∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC．∴BC⊥平面PDC．而DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE.②由①和②推得DE⊥平面PBC．而PB⊂平面PBC，∴DE⊥PB．又EF⊥PB且DE⊂EF＝E，∴PB⊥平面EFD．考点三线面角、二面角的求法O【训练3】(2014·天津一考)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC．E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.(1)证明PA∥平面EDB；(2)证明PB⊥平面EFD；(3)求二面角C－PB－D的大小． 考点突破(3)解由(2)知，PB⊥DF.故∠EFD是二面角C－PB－D的平面角．由(2)知DE⊥EF，PD⊥DB．设正方形ABCD的边长为a，考点三线面角、二面角的求法O∴∠EFD＝60°.∴二面角C－PB－D的大小为60°.【训练3】(2014·天津一考)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC．E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.(1)证明PA∥平面EDB；(2)证明PB⊥平面EFD；(3)求二面角C－PB－D的大小． 1．证明线线垂直的方法(1)定义：两条直线所成的角为90°.(2)平面几何中证明线线垂直的方法．(3)线面垂直的性质：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b.(4)线面垂直的性质：a⊥α，b∥α⇒a⊥b.思想方法课堂小结2．空间中直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直三者之间可以相互转化，每一种垂直的判定都是从某种垂直开始转化向另一种垂直最终达到目的，其转化关系为在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决． 1．在用线面垂直的判定定理证明线面垂直时，考生易忽视说明平面内的两条直线相交，而导致被扣分，这一点在证明中要注意．口诀：线不在多，重在相交．易错防范课堂小结2．面面垂直的性质定理在立体几何中是一个极为关键的定理，这个定理的主要作用是作一个平面的垂线，在一些垂直关系的证明中，很多情况都要借助这个定理作出平面的垂线．注意定理使用的条件，在推理论证时要把定理所需要的条件列举完整，同时要注意推理论证的层次性，确定先证明什么、后证明什么． （见教辅）