教学设计直线与平面垂直的判定一．教材分析直线与平面垂直是直线和平面相交中的一种特殊情况，它是空间中直线与直线垂直位置关系的拓展，又是平面与平面垂直的基础，是空间中垂直关系转化的重心，同时它又是直线和平面所成的角、直线与平面、平面与平面距离等内容的基础，因而它是空间点、直线、平面间位置关系中的核心概念之一。二．学情分析学生已经学习了直线、平面平行的判定及性质，学习了两直线（共面或异面）互相垂直的位置关系，有了“通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结论”的体会，有了一定的空间想象能力、几何直观能力和推理论证能力。三．教学目标根据新课标要求和和教学内容的结构特征，学生获得知识、技能、方法及情感、态度、价值观等方面的要求，结合学生的实际水平，制定本节课的教学目标如下：1.知识与技能（1）使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理；（2）使学生掌握判定直线和平面垂直的方法；（3）引导学生学会观察、发现问题、提炼结论，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论。2.过程与方法（1）通过教学活动，使学生了解，感受直线和平面垂直的定义的形成过程；（2）通过学生动手实践，亲身经历数学知识的形成过程，体验探究的乐趣，增强学习数学的兴趣。3.情态与价值培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知。培养学生认真参与积极交流的主观意识；勇于探索新知的精神。渗透由具体到抽象的思想及事物间相互转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点。四．教学重点、难点依据新课标要求及本节课在高中数学中的地位和作用确定以下重点和难点教学重点：直线与平面垂直的定义和判定定理。教学难点：直线与平面垂直定义的正确理解；判定定理的探究和线线垂直与线面垂直关系的灵活相互转化。7
五．教法和学法教法：讲授法；探究法；多媒体辅助教学法。学法：本节课注重让学生认真观察分析、积极思考、主动探索、合作交流，尽可能增加学生参与课堂的时间；通过练习使学生巩固知识，熟练应用知识解决简单问题。六．教学环境和教学用具教学环境：多媒体教室；教学用具：利用计算机多媒体课件辅助教学，黑板、三角板，自制三角形纸片，正方体模型，课本（表示平面、书脊表示直线）。七．教学过程在认真分析教材、教法、学法的基础上，坚持面向全体学生，努力创设适合学生发展的数学教学。设计教学过程如下： （一）复习引入直线与平面的位置关系（学生回忆，多媒体展示）引导学生发现直线与平面相交中的特殊情况：直线与平面垂直。（引出课题）（二）探究直线与平面垂直的概念1.创设情境，感知感念教师通过多媒体图片展示直线与平面垂直的实例（学校大门），让学生在教室观察、教室内直立的墙角线和地面的位置关系。设计意图：通过实例直观感知直线和平面垂直的位置关系，有利于学生空间概念的形成，也能激发学生的学习兴趣.2.动手操作、观察归纳、形成概念师生活动：假设书有无数页,竖立在桌面上,书脊所在直线与桌面给人以垂直的感觉.问题1：⑴书脊所在直线和各页面与桌面的交线的关系?⑵书脊所在直线与桌面中任意一条直线的关系?引导学生观察直立书的书脊与桌面的位置关系、与桌面内所有直线的位置关系，由此抽象概括出直线与平面垂直的定义。问题2:通过上述观察分析，你认为应该如何定义一条直线与一个平面垂直？7
设计意图：让学生归纳、概括出直线与平面垂直的定义。师生活动：学生回答，教师补充完善，指出定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是同意词，同时给出直线与平面垂直的记法与画法。直线与平面垂直的定义：如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直.画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图。直线l的垂面αPl平面α的垂线记作：垂足设计意图：从实际背景出发，动手实践，培养学生动手实践能力及观察、分析、抽象概括能力，培养学生对数学问题的探究兴趣。3、辨析讨论判断下列语句是否正确：（若不正确请举反例）1.如果一条直线与一个平面垂直，那么它与平面内所有的直线都垂直.（）2.如果一条直线与平面内无数条直线都垂直，那么它与平面垂直.（)设计意图：通过问题辨析与讨论，加深概念的理解，掌握概念的本质属性。由（1）使学生明确，直线与平面垂直的定义既是判定又是性质，“直线与直线垂直”和“直线与平面垂直”可以相互转化。由（2）使学生明确定义中的“任意一条直线”是“所有直线”的意思，而不是“无数条直线”。（三）探究发现直线与平面垂直的判定定理1.问题探究探究1：如果直线a与平面α内的一条直线垂直，则直线a与平面α垂直。探究2：如果直线与平面α内的两条直线垂直，则直线a和α平面垂直。7
（1）如果两条直线平行?（2）如果两条直线相交?设计意图：让学生思考并举例否定直线a与平面α内的一条直线垂直，则直线a与平面α垂直；直线与平面α内的两条平行直线垂直，则直线a和α平面垂直这两种情况。2、操作确认动手实验：如图，请同学们拿出准备好的一块（任意）三角形的纸片（如果是直角或钝角三角形，则在直角或钝角标上点A)，我们一起来做一个试验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上，（BD、DC与桌面接触）.问题3：（1）折痕AD与桌面垂直吗？（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？设计意图：通过观察试验，分析折痕AD与桌面不垂直的原因，探究发现折痕AD与桌面垂直的条件。师生活动：在折纸试验中，学生会出现“垂直”与“不垂直”两种情况，让学生上讲台演示两种情况，引导学生进行交流，经过讨论交流，发现当且仅当折痕AD是BC边上的高，即AD⊥BC，翻折后折痕AD与桌面垂直。（动画演示AD与桌面不垂直和垂直两种情况）问题4:如图6,由折痕AD⊥BC，翻折之后垂直关系，即AD⊥CD，AD⊥BD发生变化吗？由此你能得到什么结论？设计意图：引导学生发现折痕AD与桌面垂直的条件：AD垂直桌面内两条相交直线。师生活动：师生共同分析折痕AD是BC边上的高时的实质：AD是BC边上的高时，翻折之后垂直关系不变，即AD⊥CD，AD⊥BD。这就是说，当AD垂直于桌面内的两条两条相交直线CD、BD时，它就垂直于桌面。7
问题5：（1）如图7，把AD、BD、CD抽象为直线、、，把桌面抽象为平面，直线与平面垂直的条件是什么？（2）如图8,若α内两条相交直线、与无公共点且，直线还垂直平面α吗？由此你能给出判定直线与平面垂直的方法吗？设计意图：让学生归纳出直线与平面垂直的判定定理，并能用符号语言准确表示，使学生明白要判断一条直线与一个平面是否垂直,取决于在这个平面内能否找到两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点是无关紧要的。师生活动：学生叙述结论，不完善的地方教师引导、补充完整，并结合“两条相交直线确定一个平面”的事实作简要说明。然后让学生用图形语言与符号语言来表示定理。指出定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直。用符号语言表示为：线线垂直Þ线面垂直3、质疑深化下列说法是否正确？为什么？（1）如果直线a与平面α内的任何一条直线都垂直，则（2）如果直线a与平面α内的任何两条直线都垂直，则（3）如果直线a与平面α内的两条相交直线都垂直，则7
设计意图：通过辨析，强化定义中的任何一条，理解任何一条可改为任何两条，及定理中“两条相交直线”的条件。（四）例题示范,巩固新知例1.如图：已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α。设计意图：进一步感受如何运用直线与平面垂直的定义或判定定理证明直线与平面垂直，体会空间中平行关系与垂直关系的转化与联系。师生活动：教师引导学生分析思路，可利用定义证，也可用判定定理证，提示辅助线的添法。让学生用文字语言叙述本题：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。并指出：命题体现了平行关系与垂直关系的联系，其结果可以作为直线和平面垂直的又一个判定方法。例2：已知PA平面ABC，AB是圆O的直径,C是圆周上的一点，求证:BC平面PAC思考：图中有几个直角三角形?AVBCK设计意图：训练学生灵活运用定义把线面垂直转化为线线垂直，再用线面垂直的判定定理证明线面垂直，思考问题为了有效引导学生对线面垂直和面面垂直进行相互转化。（五）课堂反馈练习：AVBCK如图,在三棱锥V-ABC中,VA＝VC,AB＝BC,K是AC的中点.求证：AC⊥平面VKB．AVBCK变式：（1）在上题的条件下，求证：AC⊥VB7
（2）在练习中若E、F分别为AB、BC的中点，试判断EF与平面VKB的位置关系．（3）在（1）、（2）的条件下，有人说“VB⊥AC，VB⊥EF，所以VB⊥平面ABC”，对吗？AVBCEFK师生活动：学生思考讨论，请一位同学分析其思路，教师参与讨论。设计意图：通过训练，巩固本节课所学知识，感悟其中蕴涵的转化数学思想，增强学生的应用意识。变式（1）是让学生体会借助线面垂直证异面直线垂直，是判定定理与定义的应用，体会转化思想在解决问题中的作用。其中（2）是例1结论的应用，（3）是判定定理的应用。（六）知识小结1．直线与平面垂直的定义2．直线与平面垂直的判定线线垂直线面垂直3．数学思想方法：转化思想要证线面垂直，转化为证线线垂直设计意图：培养学生反思与总结的习惯，鼓励学生对问题进行质疑和概括。7
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