直线与平面垂直的判定的教案浙江省绍兴市高级中学 陈柏良一、教学目标1.借助对实例、图片的观察，提炼直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义；2.通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直的判定定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题；3.在探索直线与平面垂直判定定理的过程中发展合情推理能力，同时感悟和体验“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”、“无限转化为有限”等数学思想.二、教学重点、难点重点：直线与平面垂直的定义和直线与平面垂直判定定理的探究；难点：操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及初步运用．三、教学过程
1.从实际背景中感知直线与平面垂直的形象问题1：空间一条直线和一个平面有哪几种位置关系？(一学生用教具演示)问题2：在日常生活中你见到最多的直线与平面相交的情形是哪种？试举例说明．（师生互动，给出实例与图片）2.提炼直线与平面垂直的定义问题3：你能给出直线和平面垂直的定义吗？回忆一下直线与直线垂直是如何定义的？教师（在学生发言的基础上归纳）：两直线垂直有相交垂直和异面垂直，而异面直线垂直是转化为两直线相交垂直，实质上是将空间问题转化为平面问题，由这样的思路启发我们：能否将线面垂直问题转化为线线垂直问题呢？请学生结合对下列问题的思考，试着给出直线和平面垂直的定义．
问题4：(1)阳光下，旗杆AB与它在地面上的影子所成的角度是多少？(2)随着太阳的移动,影子的位置也会移动,而旗杆AB与影子所成的角度是否会发生改变?教师引导学生发现：旗杆AB所在的直线始终与地面上任意一条过点B的直线垂直．(3)旗杆AB与地面上任意一条不过点B的直线B1C1的位置关系如何?依据是什么？引导学生再发现：旗杆AB所在的直线也与地面上任意一条不过点B的直线垂直．教师：现在，你能给直线与平面垂直下个定义吗？请学生用自己理解的语言概括定义：如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作.教师继而引导学生用数学符号与图形语言表述之）
教师：这样我们就从线与线的垂直来定义线面垂直．即把空间问题转化为了平面问题．你对定义中的“任意”两个字是如何理解的？思考：（1）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？（2）如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线是否垂直于这个平面内的所有直线？对问（1），在学生回答的基础上教师可用直角三角板在黑板上直观演示,或引导学生：可将教材中每一行字看成平行线,当钢笔所在直线与其垂直时,钢笔不一定就与教材所在平面垂直；对问（2）可引导学生给出符号语言表述：若，则.教师引导学生体悟：线线垂直线面垂直线线垂直的转化思想教师：通常定义可以作为判定依据，但由于利用直线与平面垂直的定义直接判定直线与平面垂直需要考察平面内的每一条直线与已知直线是否垂直，这给我们的判定带来困难，因为我们无法去一一检验．那么，是否有更简捷、可行的方法来判定直线与平面垂直呢？3.探究直线与平面垂直的判定定理创设情境猜想定理
：某公司要安装一根8米高的旗杆，两位工人先从旗杆的顶点挂两条长10米的绳子，然后拉紧绳子并把绳子的下端放在地面上两点（和旗杆脚不在同一直线上）．如果这两点都和旗杆脚距离6米，那么表明旗杆就和地面垂直了，你知道这是为什么吗？学生发表自己的见解，……？（折纸试验）请同学们拿出一块三角形纸片，我们先一起来做一个试验：过三角形的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触） 问题5：（1）折痕AD与桌面所在的平面垂直吗？（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？提出问题让学生思考：在你翻折纸片的过程中，纸片的形状发生了变化，这是变的一面，那么不变的一面是什么呢？根据学生思考情况启发学生可从线与线的位置关系来考虑．再提出:使得折痕与桌面所在平面垂直的的关键因素是什么？
问题6：如果我们把折痕抽象为直线，把桌面抽象为平面(如图3)，那么你认为保证直线与平面垂直的条件是什么？ 对于两条相交直线必须在平面内这一点，教师可引导学生操作：将纸片绕直线AD（点D始终在桌面内）转动，使得直线CD、BD不在桌面所在平面内．问：直线AD现在还垂直于桌面所在平面吗？（此处引导学生认识到直线CD、BD都必须是平面内的直线）问题7：如果，将图3中的两条相交直线、的位置改变一下，仍保证，（如图4）你认为直线还垂直于平面吗？教师:这说明了什么?要判断一条直线和一个平面是否垂直,取决于在这个平面内能否找到两条相交直线和已知直线垂直,至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点是无关紧要的.
根据试验，你能给出直线与平面垂直的判定方法吗？学生叙写判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则称该直线与此平面垂直.给出文字、图形、符号这三种语言的相互转化问题8：（1）和直线与平面垂直的定义相比,你觉得这个判定定理的优越性体现在哪里?（2）你觉得定义与判定定理的共同点是什么?（师生共同揭示本节课蕴涵的丰富的数学思想方法）思考：现在，你知道两位工人是根据什么原理安装旗杆的吗？为什么要求绳子在地面上两点和旗杆脚不在同一直线上？如果安装完了，请你去检验旗杆与地面是否垂直，你有什么好方法？“为什么要求绳子在地面上两点和旗杆脚不在同一直线上？”（对该问题可引导学生用三角形纸片来验证，即不翻折无法使其竖立在桌面上）4.直线与平面垂直判定定理的应用
如图５，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，请列举与平面ABCD垂直的直线．并说明这些直线有怎样的位置关系？思考：如图６，已知，则吗？请说明理由．引导学生分别用直线与平面垂直的判定定理、直线与平面垂直的定义证明，并用文字语言概括：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．教师：这个问题给出了判断直线和平面垂直的又一个方法，间接判定直线与平面垂直．这个命题体现了平行关系与垂直关系之间的联系．练习：如图７，在三棱锥V-ABC中，VA＝VC,AB＝BC,K是AC的中点．求证：AC⊥平面VKB
思考：(1)在三棱锥V-ABC中，VA＝VC，AB＝BC，求证：VB⊥AC；(2)在(8)中，若E、F分别是AB、BC的中点，试判断EF与平面VKB的位置关系；（请学生判定后，追问：EF与VB的位置关系如何？）(3)在⑵的条件下，有人说“VB⊥AC，VB⊥EF，∴VB⊥平面ABC”，对吗？5.小结回授
（1）本节课你学会了哪些判定直线与平面垂直的方法？试用自己理解的语言叙述．（2）直线与平面垂直的判定定理中体现了哪些数学思想方法？6.作业布置（1）课本P73探究：如图2.3-7，直四棱柱A1B1C1D1-ABCD（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形ABCD满足什么条件时，A1C⊥B1D1．（2）如图９，PA⊥平面ABC，BC⊥AC，写出图中所有的直角三角形. （3）课本P74练习2.
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