直线与平面垂直的定义及判定

直线与平面垂直的定义及判定樊加虎一、教案例描述教学目标1.从熟知的生活中的事物中提炼、概括出直线与平面垂直的定义和判定定理，进而结合图形用抽象化的数学语言总结、表述出这些内容；2.培养学生的抽象概括、思辩论证的理性精神和迅速认识事物本质的直观能力；3.通过数学知识的形成与实际应用使学生认识到真理来源于实践，并应用于实践的这一哲学理念；4.培养学生的数学观念，能自觉地运用“数学地”思维方式观察世界、分析事物、解决问题，并在此过程中提高学习数学的兴趣.教学目标是教师预期的，在教学过程中自然实现的内容.掩盖教育意图是实现教育意图最好的途径，也是科学加艺术的教育技艺的体现，所以笔者一向不采用在进行新课前将这些内容展示给学生的做法，而是在教学过程中于不知不觉间实现这些目标.教学过程1.引言我们生活在三维空间中，对直线和平面是非常熟悉的，就拿学校旗坛中的旗杆来说，它与地面的关系给我们的印象是“互相垂直”的，请大家再列举一些生活中“直线与平面垂直”的具体事例，….不过我们现在要用数学的眼光来观察、分析、研究这些事物，将旗杆（是许多事物的代表）看成直线l，将地面（也是许多事物的代表）看成平面，今天就来研究直线l与平面垂直的有关知识.l图12.进行新课如图1，直线l代表旗杆，平面代表地面，那么你认为l与内的直线有什么关系？学生利用生活经验和以前的知识完全可以判断是“互相垂直”关系.在引言部分指出将“旗杆看成直线，将地面看成平面”，但现在面对抽象图形反过又来又将直线看成旗杆，将平面7 看成地面，意图是运用抽象与具体的结合，引导学生平稳而迅速地完成抽象与具体之间的相互转换.在教学中，教者试图用三角板来度量从而判断与内的直线是否垂直，学生往往会发出会意的笑声，教者说：“是的，立体几何中直线的互相垂直在大多数情况下是‘看’不出来的，也是度量不出来的，而是用心‘想’出来的.”这既复习了直线与直线互相垂直（特别是异面垂直）的观察、想象、判断、识别和论证，又为后继的学习准备了条件.反过来，如果l（旗杆）与（地面）内的直线都垂直，那么l与是什么关系？要求学生在不看课本的前提下总结出直线与平面垂直的定义，尽管总结的语言很可能不太理想，教者也不要“着急地”去照本宣科或越俎代庖，相信学生在经历了一番“挫折”后会逐步完善他们的表述语言，这样形成的知识也就能形成更加牢固的记忆.麻烦大了，要判断直线l与平面垂直，必须确定直线l与平面内的所有（或任意一条）直线垂直.人们在研究和解决问题的过程中总是想采取简便的方式，现在我们追求的就是找到一种简易可行的判断直线与平面垂直的方法.下面我们来模拟植树的活动，请一位学生上来演示，其他学生在课桌上同时演示，观察判断如何确定“树”是否与地面垂直，既充分又逐步体验简化了的判断直线与平面垂直方法的形成过程.提出下面的系列问题：（1）直线与平面内的一条直线垂直，能判定这条直线与这个平面垂直吗？（2）直线与平面内的两条直线垂直，能判定这条直线与这个平面垂直吗？（3）直线与平面内的一万条直线垂直，能判定这条直线与这个平面垂直吗？（4）直线与平面内的无数条直线垂直，能判定这条直线与这个平面垂直吗？（5）要想让直线与平面垂直，这条直线至少要与平面内的几条直线垂直？（6）要想让直线与平面垂直，这条直线要与平面内的两条什么样的直线垂直？在上述研究的基础上提出猜想：如果直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面.7 通过演示和对上述系列问题的研讨，学生会慢慢领悟判定直线与平面垂直的本质：如果直线垂直于平面内无数条直线，也不能判定这条直线与这个平面垂直.因为这无数条直线有可能是互相平行的，这时这无数条直线只代表着一个方向，它只“相当于一条直线”.但是如果与平面内两条相交直线垂直，情况就完全不同了，虽然只有两条，而它们是相交的，它们代表着不同的两个方向，人们在植树时判定树是否与地面垂直运用的就这个原理.图2lgnmAl⊥ml⊥nmnl⊥gm∩n＝Ag是内的任意直线猜想不能代替证明，我们还要用严密的逻辑推理来证明这个结论.…通过转化问题归结为：若直线l与平面内的两条直线垂直，证明直线l与平面内的任意直线垂直，进而转化为(如图2)：由这样处理的意图是：抓住本质，排除干扰，使下面的目标能集中浓缩于证明⊥.具体过程略.在教学时必须指出，这里应用的是构造全等三角形法和最简单的平面几何知识，消除学生的神秘感.3.小结：（1）直线与平面垂直的定义；若l⊥m，l⊥n,相交直线m、n确定平面，则l⊥.又g是内的任意直线，则l⊥g（2）直线与平面垂直的判定定理（编成诙谐的口诀：“线不在多，相交就行”，传神地点出问题的实质）；（3）将和（1）与（2）综合起来，得右面的重要数学模式：所谓数学模式，就是揭示事物本质的，具有相对固定格式的数学形式.模式由于它形式的简洁性，内容的深刻性，所以十分有利于理解、记忆、掌握、组装、检索、提取和运用.上述模式在以后的教学中，还要多次重复、强化，并与有关知识融合组装成有机的知识系统.该模式将成为立体几何中最重要、应用最频繁的得力“武器”.用方框围起来意在突出它的重要地位，再结合三种外显语言和大脑中的内部语言努力使该模式成为学生直观上的显然，以便运用时更加灵活自如、游刃有余.4.A组练习（1）将一本书掀开一点，直立在桌上（图略），那么书脊与桌面是什么关系？为什么？（2）屋面是由两个矩形组成的（图略），那么屋脊与山墙所在的平面是什么关系？为什么？（3）设△ABC，若直线l⊥AB，l⊥BC，求证：l⊥CA.（4）7 做一个三角架，使三条腿中的任意两条腿都互相垂直（如图3），那么PA与BC、PB与CA、PC与AB分别是什么关系？为什么？EACBP图3DH以上系列练习由浅入深，从具体到抽象，环环相扣，层层递进，组成了一个使学生能力稳步增长的训练链条.在教学中，运用多样化的手段增强训练的效果.如先口述，继而写出规范的论证过程，再用黑板擦将图形擦得模糊一些，要求在这种不十分清晰的情况下说出论证过程.若学生的基础较好，还可以将图形和字母全部擦去，借助于想象，运用动作和语言表述出论证过程.还可以运用“双簧”的表演形式，一个学生做动作，另一个学生口述.总之让上面的模式牢牢地在学生脑中扎下根来，并逐步能熟练的写出规范化的思辩论证过程，使《立体几何》的学习从这里走上阳光大道.虽然从本质看，这些都是重复性练习，但由于运用了多样化的形式，学生仍然乐于投入这样的教学活动，且能取得极佳的教学效果.4.B组练习（5）在（4）的条件下，作PH⊥平面ABC于H，则H是△ABC的什么心？为什么？（6）如图3，若PA⊥BC，PB⊥CA，则PC与AB是什么关系？为什么？（7）如图3，若PA⊥BC，PB⊥CA，作PH⊥平面于H，则H是△ABC的什么心？为什么？A组练习是以B组练习为铺垫，同时又是B组练习的拓展延伸.在（5）中，将上述模式重复运用了两次，题中给出了平面ABC的垂线PH，正好给（6）的证明以一定的暗示量.但在解决（6）时，应先将PH擦去，让学生感到有一定的困难.这时教者问：“估计到结论是PC⊥AB，问题是如何证明.关键是如何建立几条线段之间的联系，…”经思考后，在上题的启示下，学生定会感悟到作PH⊥面ABC于H，那么问题便迎刃而解.教者说：“我们在学习《平面几何》时，感到最为困难的是作辅助线，似乎辅助线是从天而降，非常神秘，难以捉摸.怎么样，现在在《立体几何》中，我们不是顺利地作出了一条关键性辅助线，从而使解题取得重大突破了吗！将已知与欲证分析透彻了，辅助线就能自己‘蹦’出来，一点也不神秘，我们完全可以熟练驾驭它.辅助线PH好似一座桥，架桥铺路是解数学题的永恒的法则.除了辅助线外，我们以前曾引进过，今后还将引许多辅助‘角色’，如辅助圆、辅助体、辅助球、辅助角、辅助元、辅助函数、辅助数列、辅助不等式…等等这些辅助‘角色’都将成为我们的好朋友和合作伙伴.”7 为今后的教学设下了良好的伏笔.做了这番工作后，解决（7）已是水到渠成之事.学生通过积极的活动取得了丰硕的成果，课堂气氛越来越热烈，学生的情绪越来越高涨，最终达到高潮，在获得成功感、满足感、喜悦感中下课，并对未来的学习充满了信心，热切地盼望着再上下一节课.二、教案分析《高中数学课程标准（实验）》[1]在《立体几何》部分有独特的要求：“通过直观感知、操作确认、思辩论证，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定.”这是确定这部分教学理念、内容、方法和程序的重要指导原则.直线与平面垂直是人们在生活中司空见惯的事实，充分利用学生在生活中已有的经验和感悟，经过提炼、概括形成抽象化的数学语言，并准确运用这些语言进行逻辑推理或计算，以解决数学和现实中的问题，是这节课的主线.这部分内容中，既有严密的、理性化的思辩论证，又需要利用数学悟性实现直观判断、猜想，所以这部分内容是理性与悟性完美结合的交汇点，是培养学生数学素养，发展学生数学综合能力的大好时机.学生开始学习立体几何往往有各种障碍，尤其是空间想象能力，画图、识图、辩图能力，三种数学语言（自然语言、图形语言、符号语言）的运用转化能力的不理想，严重地阻碍着前进的脚步.而学习《直线与平面垂直》应该是扫除这些障碍，从根本上提高这些能力的转折点.从这个意义上说，科学地设计并合理地实施这节课的教学程序，是学生从此走向《立体几何》学习的阳光大道的关键.依据上述原则与精神，笔者设计和实施了如上的教学方案，并在有关之处作必要的剖析或说明.此节课可算是“最普通、最平凡”的一节课，如何“出新”又“出彩”，确实是不容易的.笔者在四十多年的教学实践中，孜孜以求的就是用科学加艺术的教学方式努力提高课堂教学的效率.这一节课也上过几十遍，特别是在学习、执行《高中数学课程标准（试验）》的过程中，更是投入更多的精力和智慧来思考，从而在新教学理念的指导下，逐步形成了自己的一些想法和做法.下面就这一节课再提出一些个人的见解，供方家参考，并请教正.（1）理性与悟性数学文化最光辉灿烂的就是其理性精神，但这种理性精神应该与悟性思维方式融合，才能全方位地提高学生的数学素养.文[1]中，除了上面所引外，还在许多地方提到“领悟、内化”、“猜想”、“几何直观能力”等词语，可见新教学理念决不排斥悟性.这里所说的“悟性”应该是指“数学悟性”，笔者在文[2]中将其描述为“逻辑简约、直观洞察、预见猜想、灵感顿悟”，这在《立体几何》中体现得更加充分.直线与平面垂直的定义及判定，如果没有数学悟性的参与就不可能使学生形成“直觉上的显然”7 （德国著名数学家克莱因语）.解立几问题时，最终依靠的当然是思辩论证，但在探索、突破的过程中，却处处离不开悟性思考.因此，在本教案的设计和实施过程中，将数学悟性思维能力的培养与应用放在相当显著的位置上.（2）模式与创新提到“模式”，很可能使人联想到“思维定势”，认为它是创造思维的障碍.这种认识是不全面的.文[1]说：“形式化是数学的基本特征之一.在数学教学中，学习形式化的表达是一项基本要求”.当然“全盘形式化是不可能的”，也是不可取的.数学模式就是揭示数学对象的本质特征及其普遍规律的，具有相对固定样式的形式.它具有两重性，对创造思维确会产生一些束缚作用，但它又是创造思维的原型.每一项发明创造都是在某个原型的启发下实现的，这就叫“原型启发”（巴甫洛夫的经典理论）.问题的关键是处理好模式与创新两者间的辨证关系.上面方框中的模式是解决千百道立几问题的“利器”，从本质上掌握它，再处理好立几图形的变形和变位问题，就可以出神入化地解决要求较高的问题.（3）课堂容量课堂容量大好还是小好？其实这是不言而喻的，在学生基础较好、教案设计科学合理、教师启发引导得法、师生关系融洽、课堂气氛活跃、学生的潜智得到充分开掘、现代化教学技术的加盟等条件下，课堂容量就是越大越好.上述教学内容，在过去是用两个课时完成的，但现在只用一个课时，从知识的发生、发展到应用，一切都显得十分自然、流畅与和谐，学生感到学得轻松、学得愉快、学得实在.（4）主体与主导笔者在这里提出一个“启发量”的概念.用字母“”表示启发量，则有“∈[0，1]”，“=1”表示完全靠教师讲解，“=0”表示完全让学生活动，教师必须寻求的最佳值使教学取得最佳效果.但的值并不是越小越好，要根据教材的具体情况合理确定的值.如果片面强调学生的主体地位，完全忽视教师的主导作用，还要你教师干什么？像本节课中（图2），运用构造全等三角形的方法由“l⊥m，l⊥n”证明“l⊥g”，的值就要适当地大一些，完全让学生去探索、发现、证明是不现实的.（5）例题练习例题的讲解与练习的训练，都是尽量让学生活动，也就是尽量减小7 的值，所以没有必要将两者截然分开，而是实行例题与练习的一体化.这样也可使教案在层次和结构上显得简洁明快.（6）现代化教学技术的应用计算机走进课堂是大势所趋，它在许多方面为提高教学效益起到了其他教学方式不可替代的作用.但必须认识到，多媒体课件永远是教学的辅助手段，它永远也不能取代黑板和粉笔.这一节课在一些地方也运用了课件，如图1、图2、图3就充分发挥了多媒体课件动画演示的优越性，取得了超乎寻常的效果.但在其他地方除了利用实物外，灵活机动地利用黑板和粉笔的特长也是取得教学效果的不可或缺的条件.7