高中数学人教A版必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.1直线与平面垂直的判定 学案

怀仁十一中高中部数学学案导学（四十七——1）直线与平面垂直的判定与性质主备人郭志勇教学目标（1）使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理；（2）使学生掌握判定直线和平面垂直的方法；（3）培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论。教学重点、难点直线与平面垂直的定义和判定定理的探究。直线和平面垂直直线和平面垂直的定义直线和平面垂直的性质直线和平面垂直的判定与性质定理的应用直线和平面垂直的判定学习关键自学指导１.直线和平面垂直的定义:符号表示：垂线：垂面：垂足：思考：在平面中，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，那么在空间。(1)过一点有几条直线与已知平面垂直？答：(2)过一点有几条平面与已知直线垂直？答：２．定理：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直３．点到平面的距离：４．直线与平面垂直的判定定理：符号表示５．直线和平面垂直的性质定理：尝试练习1.已知a⊥平面α,bα,则a与b的位置关系是()A.a//bB.a⊥bC.a与b垂直相交D.a与b垂直且异面2.下列命题中正确的是(其中a、b、c为不相重合的直线,α为平面)()①若b//a,c//a,则b//c②若b⊥a,c⊥a,则b//c③若a//α,b//α,则a//b④若a⊥α,b⊥α,则a//bA.①②③④B.①④C.①D.④3.已知直线l⊥平面α，直线m平面β，有下列四个命题4 怀仁十一中高中部数学学案导学（四十七——1） (1)若α//β，则l⊥m (2)若α⊥β，则l//m(3)若l//β，则α⊥β(4)若l⊥m，则α//β其中正确的两个命题是()               Ａ(1)和(2)B(3)和(4)C.(2)和(4)D(1)和(3)3.已知直线a//平面α,直线b⊥平面α,则a、b的位置关系______________.ABCDD1A1C1B14.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,则这个多面体面是直角三角形的为______________.5.如图,在正方形ABCD-A1B1C1D1中,则BD1与AC的位置关系___________.BD1与B1C的位置关系___________.进而可得BD1与平面ACB1的关系___________.典例精讲【例1】如右图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为棱CC1的中点,AC交BD于点O,求证:A1O⊥平面MBD.思路分析：欲证A1O⊥平面MBD,只需证A1O垂直于平面BDM内的两条相交直线BD和OM.欲证A1O⊥BD,只需证BD垂直于A1O所在的平面A1ACC1;欲证A1O⊥OM,则需证∠AOA1+∠MOC=90°.证明：连结MO.∵BD⊥A1A,BD⊥AC,A1A∩AC=A,∴BD⊥平面A1ACC1.而A1O平面A1ACC1,∴A1O⊥BD.∵tanAA1O=,tanMOC=,∴∠AA1O=∠MOC.则∠AOA1+∠MOC=90°.∴A1O⊥OM.∵OM∩BD=O,∴A1O⊥平面MBD.温馨提示1.证明线面垂直的方法：（1）定义法；（2）判定定理法--线线垂直线面垂直,注意在论证过程中时常“证中有解”.2.利用判定定理证明线面垂直的步骤：第一步：确定直线间的垂直关系.第二步：确定平面内两直线相交.第三步：根据判定定理得出结论.例2.已知：aα，a⊥b，b⊥α.求证：a∥α.思路分析：由于垂直关系比较分散，可考虑将其集中到一个平面内，应用平面几何的知识将垂直转化为平行.如图，在a上任取一点A，过点A作直线b′∥b.设b′∩α=B，过直线a、b′作平面β∩α=a′.∵b⊥α，∴b⊥a′.又b⊥a，b′∥b，∴b′⊥a，b′⊥a′.又a、a′同在平面β内，∴a∥a′.又aα，a′α,∴a∥α.知识概览1.过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条.2.过一点和已知直线垂直的平面有且只有一个.3.垂直于同一个平面的两条直线平行.4.垂直于同一条直线的两个平面平行.例3如图，已知Rt△ABC所在平面外一点S，且SA=SB=SC，点D为斜边AC的中点.（1）求证：SD⊥平面ABC；（2）若AB=BC，求证：BD⊥平面SAC.思路分析：由于D是AC的中点，SA=SC，则SD是△SAC的高，连结BD4 怀仁十一中高中部数学学案导学（四十七——1），可证△SDB≌△SDA.则∠SDB=∠SDA=90°,∴SD⊥DB.利用线面垂直的判定定理即可得证.（1）SA=SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC.连结BD.在Rt△ABC中，有AD=DC=DB，∴△SDB≌△SDA.∴SD⊥BD.又AC∩BD=D，∴SD⊥平面ABC.（2）∵AB=BC,D是AC的中点，∴BD⊥AC.又由(1)知SD⊥平面ABC,∴SD⊥BD.于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线.∴BD⊥平面SAC.知识预览1.如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的所有直线都垂直，那么这条直线和这个平面互相垂直.直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α.2.如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.3.过一点有且只有一条直线和一个平面垂直.4.过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.基础训练1空间四边形的四边相等，那么它的对角线……（）A.相交且垂直B.不相交也不垂直C.相交不垂直D.不相交但垂直2如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是（）①三角形的两边②梯形的两边③圆的两条直径④正六边形的两条边A.①③B.②C.②④D.①②④3如图，PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，E、F分别是A在PB、PC上的射影.给出下面结论，其中正确命题的个数是（）①AF⊥PB②EF⊥PB③AF⊥BC④AE⊥平面PBCA.2B.3C.4D.54直线a不垂直于平面α，则α内与a垂直的直线有（）A.0条B.1条C.无数条D.α内所有直线5如图所示，PO⊥平面ABC，BO⊥AC，在图中与AC垂直的线段有()A.1条B.2条C.3条D.4条6如图所示，直四棱柱A1B1C1D1-ABCD中，当底面四边形ABCD满足________时，有A1C⊥B1D1（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）.能力提升1.在三棱锥P-ABC中,点P在平面ABC上的射影O是△ABC的垂心,求证:PA⊥BC.4 怀仁十一中高中部数学学案导学（四十七——1）ABCDP2．在四棱锥Ｐ－ABCD中,ABCD是矩形,ＰＡ⊥面ABCD(1).指出图中有哪些三角形是直角三角形，并说明理由．(2).若PA=AD=AB,试求PC与平面ABCD所成角的正切值．ABCDHKES3．如图,ABCD为正方形,SA⊥平面ABCD,过A作与SC垂直的平面交SB、SC、SD于E、K、H,求证:AE⊥SB,AH⊥SD.4.如图，已知矩形ABCD中，AB=3，BC=a(a>0),PA⊥平面ABCD，在BC上取点Q，使PQ⊥QD，当满足条件的点Q有两个时，a的取值范围是？5.已知：矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB交于E，过E作EF⊥SC交SC于F.（1）求证：AF⊥SC；（2）若平面AEF交SD于G，求证：AG⊥SD.4