直线与平面垂直的定义及判定- 直线与平面垂直教学过程设计

直线与平面垂直的定义及判定教学目标 1.借助对图片、实例的观察，抽象概括出直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义。 2.通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直判定的定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题，进一步培养学生的空间观念。 3.让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。教学过程复习：空间的一条直线和一个平面有哪几种位置关系？一、观察感知——从实际背景中感知直线与平面垂直的形象问题1：请观察图片，说出大桥的斜拉索与桥面、旗杆与地面是什么位置关系？均为相交。而旗杆与地面的关系给我们的感觉是“互相垂直”，相交的特例.现在我们将旗杆看成直线l，将地面看成平面。就是本节要研究的直线与平面垂直的定义及判定定理.(由此引出课题)生活中，直线与平面垂直的具体事例有很多，如教室内直立的墙角线和地面位置关系，桌子腿与地面的位置关系，直立书的书脊与桌面的位置关系等。二、合理抽象——通过观察、归纳直线与平面垂直的定义教师：怎样定义直线与平面垂直呢?我们已经学过直线和平面平行的判定和性质，知道直线和平面平行的问题可转化为考察直线和平面内直线平行的关系。由此得到启发：是否可以用一条直线垂直于一个平面内的直线，来定义这条直线与这个平面垂直呢？实验1：我们知道教室的门轴与地面垂直。（1）观察门轴线与门在地面内的边所在直线的位置关系？（2）旗杆AB与地面上任意一条不过旗杆底部B的直线B1C1的位置关系又是什么？（示范：旋转门，抽象成图1的线与面。用多媒体课件演示）问题2、通过上述观察分析，你认为应该如何定义一条直线与一个平面垂直？师生活动：学生思考作答，教师补充完善，指出定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是同意词，定义是说这条直线和平面内所有直线垂直。同时给出线面垂直的记法与画法。4 定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作：l⊥α.直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足。画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图2。概念辩析：下列命题是否正确，为什么？（1）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直。（2）如果一条直线垂直一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的任一直线。师生活动：命题（1）判断中引导学生举出反例。教师将一块大直角三角板的一条直角边AC放在讲台上平行移动，这时另一条直角边BC就和讲台上的一组平行直线（即三角板与桌面的交线AC）垂直，但它不一定和讲台桌面垂直，如图3。由命题（2）给出下列常用命题：。它是判断线线垂直的常用方法。三、探究新知——发现直线与平面垂直的判定定理虽然可以根据定义判定直线与平面垂直，但这种方法实际上难以实施。有没有比较方便可行的方法来判断直线和平面垂直呢？1、实践验证实验2：用直角三角尺或一张矩形纸片怎样检验一根均匀细棒与平面是否垂直呢？检验1：直角三角尺检验2：合页型折纸：通过折纸，让学生发现当且仅当折痕AD与底边BC垂直，且B、D、C不在同一直线上，翻折之后竖起的折痕AD才不偏不倚地站立着，即AD与桌面垂直（如图），其它位置都不能使AD与桌面垂直。思考:“三角尺”检验与“合页型折纸”检验,有何相同之处?师生活动：在翻折纸片的过程中，纸片的形状发生了变化，这是变的一面，那么不变的一面是什么呢？（可从线与线的关系考虑）如果我们把折痕抽象为直线4 ，把BD、CD抽象为直线，把桌面抽象为平面(如图3)。引导学生观察思考，给出猜想：一条直线与一个平面内两相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。思考:为什么可以“两条相交直线”代替定义中的“任意一条直线”呢？（结合两条相交直线确定一个平面的事实。）2、合情猜想问题3：根据上面的试验，你能给出判定直线与平面垂直的方法吗？师生活动：教师引导学生回忆“两条相交直线确定一个平面”，根据直观过程中获得的感知，将“与平面内所有直线垂直”逐步归结到“与平面内两条相交直线垂直”，进而归纳出直线与平面垂直的判定定理。同时指出要判断一条直线与一个平面是否垂直,取决于在这个平面内能否找到两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点是无关紧要的.定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。用符号语言表示为：证明不要求，有兴趣的同学课后研究阅读材料。已知：是平面内的两条相交直线，直线与的交点为，且，求证：证明：过点作∵∴，过任作直线，在上于平面两侧分别截取，∴都是的垂直平分线，∴，在上任取点，过在平面内作不通过的直线分别与相交于点，∴，∴，又，∴，∴∴，∴． 3、概念的质疑深化(1)你觉得定义与判定定理的共同点是什么?   “线面垂直转化为线线垂直”（2）如果一条直线与一个梯形的两条边垂直，那么这条直线垂直于梯形所在的平面吗？师生活动：学生思考作答，教师再次强调“相交”条件。（3）与三角形的两条边同时垂直的直线必与第三条边垂直吗？请学生口述，将（3）转化为几何命题：已知.4 证明：说明：充分体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”相互转化的数学思想。四、直线与平面垂直的判定定理的初步应用例1：在长方体ABCD-EFGH中（1）哪些棱与平面ABCD垂直？（2）哪些面与棱EF垂直？（3）底面矩形满足什么条件时，直线HF垂直于平面ACGE？(4)与平面ABCD垂直的直线有怎样的位置关系？例2：求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面(如图).学生符号表示.用判定定理、定义两个方法证明.已知：a∥b,a⊥求证：b⊥α证明1：（用定义）设是内的任意一条直线证明2：（用判定）五.总结反思（1）通过本节课的学习，你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法？思路引领：要证明线面垂直的问题，可以通过证明线线垂直来实现.友情提示：平面内的这两条直线必须相交；（2）上述判断直线与平面垂直的方法体现的什么数学思想？（3）关于直线与平面垂直你还有什么问题？师生活动：学生发言，互相补充，教师点评完善，归纳出判断直线与平面垂直的方法，给出框图（投影展示）。六、思考如图，PA⊥平面ABC，BC⊥AC，写出图中所有的直角三角形。4