直线与平面垂直的判定教学设计南涧一中何秀英一、内容和内容解析直线与平面垂直是直线和平面相交中的一种特殊情况，它是空间中直线与直线垂直位置关系的拓展，又是平面与平面垂直的基础，是空间中垂直位置关系间转化的重心。直线与平面垂直是直线和平面相交中的一种特殊情况，它是空间中直线与直线垂直位置关系的拓展，又是平面与平面垂直的基础，是空间中垂直位置关系间转化的重心，同时它又是直线和平面所成的角、直线与平面、平面与平面距离等内容的基础，因而它是空间点、直线、平面间位置关系中的核心概念之一。对直线与平面垂直的定义的研究遵循“直观感知、抽象概括”的认知过程展开，而对直线与平面垂直的判定的研究则遵循“直观感知、操作确认、归纳总结、初步运用”的认知过程1
展开，通过该内容的学习，进一步培养学生空间想象能力和几何直观能力，发展学生的合情推理能力、一定的推理论证能力和运用图形语言进行交流的能力。同时体验和感悟转化的数学思想，即“空间问题转化为平面问题”，“无限问题转化为有限问题”，“直线与直线垂直和直线与平面垂直的相互转化”。二、目标和目标解析目标：理解直线与平面垂直的意义，掌握直线与平面垂直的判定定理。目标解析：1、借助对图片、实例的观察，抽象概括出直线与平面垂直的定义。2、通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的判定定理。3、能运用直线与平面垂直的判定定理，证明与直线和平面垂直有关的简单命题：在平面内选择两条相交直线，证明它们与平面外的直线垂直。4、能运用直线与平面垂直定义证明两条直线垂直，即证明一条直线垂直于另一条直线所在的平面。三、教学问题诊断分析2
学生已经学习了直线、平面平行的判定及性质，学习了两直线（共面或异面）互相垂直的位置关系，有了“通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结论”的体会，有了一定的空间想象能力、几何直观能力和推理论证能力。在直线与平面垂直的判定定理中，学生对为什么要且只要两条相交直线的理解有一定的困难，因为定义中“任一条直线”指的是“所有直线”，这种用“有限”代替“无限”的过程导致学生形成理解上的思维障碍。同时，由于学生的空间想象能力、推理论证能力有待进一步加强，在直线与平面垂直判定定理的运用中，不知如何选择已知平面内的两条相交直线证直线与平面线垂直，或选择与直线垂直的平面证明直线与直线垂直，导致证明过程中无从着手或发生错误。四、教学支持条件分析为了有效实现教学目标，条件许可准备投影仪，多媒体课件，三角板，教鞭（表直线）。学生自备学具：三角形纸片、三角板、笔（表直线）、课本（表平面）。1、直观感知3
问题1：请同学们观察图片，说出旗杆与地面、大桥桥柱与水面是什么位置关系？你能举出一些类似的例子吗？设计意图：从实际背景出发，直观感知直线和平面垂直的位置关系，从而建立初步印象，为下一步的数学抽象做准备。师生活动：观察图片，引导学生举出更多直线与平面垂直的例子，如教室内直立的墙角线和地面的位置关系，直立书的书脊与桌面的位置关系等，由此引出课题。五、教学过程设计（一）、观察归纳直线与平面垂直的定义2、观察归纳思考1：直线和平面垂直的意义是什么？我们已经学过直线和平面平行的判定和性质，知道直线和平面平行的问题可转化为考察直线和平面内直线平行的关系,直线和平面垂直的问题同样可以转化为考察直线和平面内直线的关系。问题2：（1）如图1，在阳光下观察直立于地面旗杆AB及它在地面的影子BC，旗杆所在的直线与影子所在直线的位置关系是什么？（2）旗杆AB与地面上任意一条不过旗杆底部B的直线B′C′的位置关系又是什么？由此可以得到什么结论？4
设计意图：引导学生用“平面化”与“降维”的思想来思考问题，通过观察思考，感知直线与平面垂直的本质内涵。师生活动：学生思考作答,教师用多媒体课件演示旗杆在地面上的影子随着时间的变化而移动的过程，再引导学生根据异面直线所成角的概念得出旗杆所在直线与地面内的任意一条直线都垂直。问题3：如图2，AC、AD是用来固定旗杆AB的铁链，它们与地面内任意一条直线都垂直吗？设计意图：通过反面剖析，进一步感悟直线与平面垂直的本质。师生活动：引导学生将三角板直立于桌面上，用一直角边作旗杆AB，斜边作为铁链AC，观察桌面上的直线（用笔表示）是否与AC垂直，由此否定上述结论。（二）、探究发现直线与平面垂直的判定定理1、分析实例思考2：我们该如何检验学校广场上的旗杆是否与地面垂直？虽然可以根据直线与平面垂直的定义判定直线与平面垂直，但由于利用定义判定直线与平面垂直需要考察平面内的每一条直线与已知直线是否垂直，这种方法实际上难以实施，因为我们无法去一一检验。因而有必要寻找一个便捷、可行的判断直线和平面垂直的方法。5
设计意图：通过图片观察思考，感知判定直线与平面垂直时只需平面内有限条直线（两条相交直线），从中体验有限与无限之间的辩证关系。师生活动：引导学生观察思考，师生共同分析竖杆能竖直立于地面的原因：它固定在两相交横杆上且与两横杆垂直。2、操作确认3、实验：如图5，请同学们拿出准备好的一块（任意）三角形的纸片，我们一起来做一个试验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上，（BD、DC与桌面接触）4、问题6：（1）折痕AD与桌面垂直吗？（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？设计意图：通过观察试验，分析折痕AD与桌面不垂直的原因，探究发现折痕AD与桌面垂直的条件。师生活动：在折纸试验中，学生会出现“垂直”与“不垂直”两种情况，引导学生进行交流，根据直线与平面垂直的定义分析“不垂直”的原因。学生再次折纸，经过讨论交流，发现当且仅当折痕AD是BC边上的高，即AD⊥BC，翻折后折痕AD与桌面垂直。6
问题7:如图6,由折痕AD⊥BC，翻折之后垂直关系，即AD⊥CD，AD⊥BD发生变化吗？由此你能得到什么结论？设计意图：引导学生发现折痕AD与桌面垂直的条件：AD垂直桌面内两条相交直线。师生活动：师生共同分析折痕AD是BC边上的高时的实质：AD是BC边上的高时，翻折之后垂直关系不变，即AD⊥CD，AD⊥BD。这就是说，当AD垂直于桌面内的两条两条相交直线CD、BD时，它就垂直于桌面。（三）、初步应用例1、求证：与三角形的两条边同时垂直的直线必与第三条边垂直。设计意图：初步感受如何运用直线与平面垂直的判定定理与定义解决问题，明确运用判定定理的条件。师生活动：学生根据题意画图（如图9），将其转化为几何命题：△ABC中，a⊥AC,a⊥BC，求证：a⊥AB。请两位同学板演，其余同学在练习本上完成，师生共同评析，明确运用线面垂直判定定理时的具体步骤，防止缺少条件，特别是“相交”的条件。7
设计意图：进一步感受如何运用直线与平面垂直的判定定理或用定义证明直线与平面垂直，体会空间中平行关系与垂直关系的转化与联系。师生活动：教师引导学生分析思路，可用判定定理证，也可利用定义证，提示辅助线的添法。学生在练习本上完成，对照课本P73例1,完善自己的解题步骤。让学生用文字语言叙述：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。指出：命题体现了平行关系与垂直关系的联系，其结果可以作为直线和平面垂直的又一个判定方法。练习、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、CC1的中点，判断下列结论是否正确：①AC⊥面CDD1C1②AC⊥面BDD1B1②③EF⊥面BDD1B1④AC⊥BD1设计意图：利用所学知识解决直线与平面垂直的有关问题，体会转化思想在解决问题中的作用。其中①是定义的应用，②是判定定理的应用，③是例2结论的应用，④是判定定理与定义的应用。师生活动：学生思考讨论，请一位同学用投影仪展示并分析其思路，教师参与讨论。（四）、总结反思（1）通过本节课的学习，你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法？8
（2）上述判断直线与平面垂直的方法体现了什么数学思想？（3）关于直线与平面垂直你还有什么问题？设计意图：培养学生反思的习惯，鼓励学生对问题进行质疑和概括。师生活动：学生发言，互相补充，教师点评完善，归纳出判断直线与平面垂直的三种方法：利用定义，利用判定定理，利用例2的结论。这些方法体现了转化的数学思想。同时强调“平面化”是解决立体几何问题的一般思路。9
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