高中数学人教A版必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.1直线与平面垂直的判定 学案

直线与平面垂直的判定1．如图，在三棱锥V–ABC中，VA=VC，AB=BC，求证：VB⊥AC.2．过△ABC所在平面外一点P，作PO⊥，垂足为O，连接PA ，PB，PC.（1）若PA=PB=PC，∠C=90°，则点O是AB边的心.（2）若PA=PB=PC，则点O是△ABC的心.（3）若PA⊥PB，PB⊥PC，PB⊥PA，则点O是△ABC的心.3．两条直线和一个平面所成的角相等，这两条直线一定平行吗？4．如图，直四棱柱A′B′C′D′–ABCD（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形ABCD满足什么条件时，A′C⊥B′D′？答案：1．略2．（1）AB边的中点；（2）点O是△ABC的外心；（3）点O是△ABC的垂心.3．不一定平行.4．AC⊥BD.经典习题例1如图，在空间四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，M为BD中点，作AO⊥MC，交MC于O．求证：AO⊥平面BCD．【解析】连结AM∵AB=AD，CB=CD，M为BD中点．∴BD⊥AM，BD⊥CM． 又AM∩CM=M，∴BD⊥平面ACM．≠≠∵AO平面ACM，∴BD⊥AO．又MC⊥AO，BD∩MC=M，∴AO⊥平面貌BCD．【评析】本题为了证明AO⊥平面BCD，先证明了平面BCD内的直线垂直于AO所在的平面．这一方法具有典型性，即为了证明线与面的垂直，需要转化为线与线的垂直；为了解决线与线的垂直，又需转化为另一个线与面的垂直，再化为新的线线垂直．这样互相转化，螺旋式往复，最终使问题得到解决．例2已知棱长为1的正方体ABCD–A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，求直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值．【解析】取CD的中点F，连接EF交平面ABC1D1于O，连AO．由已知正方体，易知EO⊥ABC1D1，所以∠EAO为所求．在Rt△EOA中，，，sin∠EAO=．所以直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值为．【评析】求直线和平面所成角的步骤：（1）作——作出斜线和平面所成的角；（2）证——证明所作或找到的角就是所求的角；（3）求——常用解三角形的方法（通常是解由垂线、斜线、射影所组成的直角形）（4）答．