2.3.1直线与平面垂直的判定2.3.2平面与平面垂直的判定疱丁巧解牛知识·巧学一、线面垂直1.定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.简言之：线面垂直,则线线垂直.2.判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.简言之：线线垂直，则线面垂直.但要注意需有两条相交.判定线面垂直的方法主要有三种:①定义;②判定定理;③与平行关系联合运用,即若a∥b,且a⊥α,则b⊥α.转化思想是解决立体几何问题最常用的数学思想,本节充分体现了线面关系与线线关系的相互转化,应掌握其转化的条件.二、点到平面的距离从平面外一点向平面所引垂线段的长叫做点到平面的距离.求点到面的距离的方法有:①在几何体中构造垂直利用垂直关系解;②利用线面平行;③利用面面平行.三、二面角1.定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.二面角一般表示为α-AB-β或P-AB-Q的形式(P、Q分别在α、β内且不在棱上).2.二面角的平面角：在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以O为垂足在半平面α、β内分别作垂直于棱l的射线OA、OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.二面角的大小就用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.方法点拨(1)平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面;(2)用二面角的平面角将空间图形转化为平面图形，在某个三角形中可以求解;(3)平面角的大小与棱上所取点的位置无关;(4)二面角的取值范围是[0°，180°].四、平面与平面垂直判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.符号语言：l⊥α，lβα⊥β.判断两个平面垂直的方法:(1)定义法:作出二面角的平面角,计算其为90°;(2)定理:平面内的一条直线垂直于另外一个平面.简言之:线面垂直,则面面垂直.问题·探究问题1在平面内，垂直于同一直线的两条直线的关系怎样？在空间呢？探究:在平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，理由是同位角相等.而在空间，包含着平面内的这种情况，即平行，观察长方体的在互相垂直的棱与棱之间的关系，可知还有相交，也有既不相交也不平行的情形.问题2门轴AB与地面α垂直，经过门轴AB的门面β无论转动到什么位置，门面与地面的位置关系怎样？为什么？探究:垂直的.因为门轴AB与地面α垂直，则根据平面与平面垂直判定定理知经过门轴AB的所有平面都与地面α垂直，所以门面与地面垂直.
典题·热题例1如图2-3-1，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在平面，M是圆周上任意一点，AN⊥PM，垂足为N.求证：AN⊥平面PBM.图2-3-1思路解析：要证线面垂直，需证直线和平面内的两条相交直线都垂直.已知AN⊥PM，只需再证AN和平面PBM内的另一条直线，如BM或PB垂直即可.再结合已知中线面垂直，可找线线垂直.证明：设圆O所在平面为α，则已知PA⊥α，且BMα，∴PA⊥BM.又∵AB为⊙O的直径，点M为圆周上一点，∴AM⊥BM.由于直线PA∩AM=A，∴BM⊥平面PAM.而AN平面PAM，∴BM⊥AN.这样，AN与PM、BM两条相交直线垂直.故AN⊥平面PBM.深化升华直线垂直于平面，则必垂直于平面内的任意一条直线.要证直线垂直于平面，必须证明直线垂直于平面内的两条相交直线.例2如图2-3-2，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M为棱CC1的中点，AC交BD于点O，求证：A1O⊥平面MBD.图2-3-2思路解析：本题关键是构造三角形,证明A1O⊥OM.证明：连结MO.∵DB⊥A1A，DB⊥AC，A1A∩AC=A，∴DB⊥平面A1ACC1.而A1O平面A1ACC1，∴A1O⊥DB.∵tan∠AA1O=，tan∠MOC=，∴∠AA1O=∠MOC.则∠A1OA+∠MOC=90°.∴A1O⊥OM.∵OM∩DB=O，∴A1O⊥平面MBD.方法归纳在证明A1O与平面MBD中两条相交直线垂直时，先证得线面垂直，由定义得线线垂直;另一垂直由证两线成90°角完成，有时可用勾股定理的逆定理.例3
设棱锥M—ABCD的底面是正方形，且MA=MD，MA⊥AB，如果△AMD的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.思路解析：本题需要先证明线线垂直，得到球的半径的表达式，然后再解.解：如图2-3-3,∵AB⊥AD，AB⊥MA，图2-3-3∴AB⊥平面MAD.因此，面MAD⊥面AC.记E是AD的中点，从而ME⊥AD.∴ME⊥平面AC，ME⊥EF.设球O是与平面MAD、平面AC、平面MBC都相切的球.不妨设O∈平面MEF，于是O是△MEF的内心.设球O的半径为r，则r=.设AD=EF=a，∵S△AMD=1,∴ME=,MF=.r=,当且仅当a=，即a=时，等号成立.∴当AD=ME=时，满足条件的球的最大半径为.深化升华先利用线面垂直关系证明线线、线面垂直，再利用多面体和球体的体积公式求解.例4已知由点O出发的三条射线OA、OB、OC不共面，且∠AOB=∠AOC，求证：二面角AOBC与二面角AOCB相等.思路解析：关键在于作出两个二面角的平面角.如何在棱OB、OC上取点?由于∠AOB=∠AOC，因此需找有共性的点才可以.考虑到OB、OC确定一个平面，OA在这个平面外，在OA上任取一点P，过P向平面BOC作垂线，利用线面垂直则线线垂直的道理作辅助线.解：如图2-3-4，在OA上任取一点P，过P作PH⊥平面BOC，垂足为H，在平面BOC内过H作HM⊥OB，HN⊥OC，垂足为M、N，连结PM、PN.
图2-3-4∵PH⊥平面BOC，OB平面BOC，∴PH⊥OB.又HM⊥OB，PH∩HM=H，∴OB⊥平面PHM.∵PM平面PHM，∴OB⊥PM.∴∠PMH为二面角A-OB-C的平面角.同理,可证OC⊥PN，∴∠PNH为二面角A-OC-B的平面角.因此,在Rt△POM和Rt△PON中，∵∠POM=∠PON，PO为公共斜边，∴Rt△POM≌Rt△PON.∴PM=PN.在Rt△PHM和Rt△PHN中，PM=PN，PH为公共边，∴Rt△PHM≌Rt△PHN.∴∠PMH=∠PNH.故二面角A-OB-C与二面角A-OC-B大小相等.方法归纳求二面角需要的步骤：一作(图)，二证(角是二面角的平面角)，三计算(在三角形中求解).例5如图2-3-5，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE=CA=2BD，M是EA的中点.求证：(1)DE=DA；(2)平面BDM⊥平面ECA；(3)平面DEA⊥平面ECA.图2-3-5思路解析：(1)要证DE=DA，只需证明Rt△DFE≌Rt△DBA；(2)注意M为EA的中点，可取CA的中点N，先证明N点在平面BDM内，再证明平面BDMN经过平面ECA的一条垂线即可；(3)仍需证平面DEA经过平面ECA的一条垂线.证明:(1)如图2-3-6，取EC的中点F，连结DF.图2-3-6∵EC⊥BC，DF∥BC，∴DF⊥EC.
在Rt△EFD和Rt△DBA中，∵EF==BD，FD=BC=AB，∴Rt△EFD≌Rt△DBA.故ED=DA.(2)取CA的中点N，连结MN、BN，则MN.∴MN∥BD.∴N点在平面BDM内.∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN.又CA⊥BN，∴BN⊥平面ECA.∵BN在平面MNBD内，∴平面MNBD⊥平面ECA,即平面BDM⊥平面ECA.(3)∵BD，MN，∴MNBD为平行四边形.∴DM∥BN.又BN⊥平面ECA，∴DM⊥平面ECA.又DM平面DEA，∴平面DEA⊥平面ECA.深化升华本题涉及线面垂直、面面垂直的性质和判定，其中证明BN⊥平面ECA是关键.例6求证:如果两个相交平面都垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面.已知:α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，求证:l⊥γ.思路解析一：根据直线和平面垂直的判定定理，可在γ内构造两相交直线分别与平面α、β垂直.证法一:如图2-3-7，设α∩γ=a，β∩γ=b，在γ内任取一点P,过点P在γ内作直线m⊥a，n⊥b.图2-3-7∵α⊥γ，β⊥γ，∴m⊥α，n⊥β.又α∩β=l，∴l⊥m，l⊥n.∴l⊥γ.思路解析二：由面面垂直的性质易在α、β内作出平面γ的垂线，再设法证明l与其平行即可.证法二:如图2-3-8，设α∩γ=a，β∩γ=b，图2-3-8在α内作m⊥a，在β内作n⊥b.
∵α⊥γ，β⊥γ，∴m⊥γ，n⊥γ.∴m∥n.又nβ，mβ，∴m∥β.又α∩β=l，mα，∴m∥l.又m⊥γ，∴l⊥γ.方法归纳充分利用面面垂直的性质构造线面垂直是解决本题的关键.证法一充分利用面面垂直、线面垂直、线线垂直相互转化；证法二涉及平行关系与垂直关系之间的转化.此题是线线、线面、面面垂直转化的典型题，一题多解，对沟通知识和方法，开拓解题思路很有益处.
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