高中数学人教A版必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.1直线与平面垂直的判定 【教案】

2.3.1直线与平面垂直的判定(1)教学目的：1.理解直线与平面垂直的定义；2.掌握直线与平面垂直的判定定理内容及其应用；3.应用直线与平面垂直的判定定理解决问题.教学重点：直线与平面垂直的判定定理内容及其应用.教学难点：直线与平面垂直的判定定理内容及论证过程教学过程：一、复习引入：1.直线和平面的位置关系是什么?观察空间直线和平面可知它们的位置关系有：（1）直线在平面内（无数个公共点）；（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直线和平面平行（没有公共点）它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为aα，aα=A，a//α.aaaA2.线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.推理模式：l,m,//lml//l3.线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经m过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.推理模式：l//,l,ml//m引入新课:在直线和平面相交的位置关系中,有一种相交是很特殊的,我们把它叫做垂直相交,这节课我们重点来探究这种形式的相交----引出课题.二、研探新知精品学习资料可选择pdf第1页，共6页----------------------- 1.观察实例,发现新知现实生活中线面垂直的实例:旗杆与地面的关系，大桥的桥柱与水面的位置关系，房屋的屋柱与地面的关系，都给人以直线与平面垂直的形象。2.实例研探,定义新知探究:什么叫做直线和平面垂直呢?当直线与平面垂直时，此直线与平面内的所有直线的关系又怎样呢?变换时间观察现实生活中线面垂直的实例:在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子，随着时间的变化，尽管影子的位置在移动，但是旗杆所在的直线始终与影子所在的直线垂直，就是说，旗杆AB所在直线与地面上任意一条过点B的直线垂直（如图），事实上，旗杆AB所在直线与地面内任意一条不过点B的直线也是垂直的。定义:如果直线l与平面α的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α，直线l叫平面α的垂线，平面α叫直线l的垂面。直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫垂足。说明：①“任何”表示所有（提问：若直线与平面内的无数条直线垂直，则直线垂直与平面吗？如不是，直线与平面的位置关系如何？）②直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况，在垂直时，直线与平面的交点叫做垂足.③a⊥α等价于对任意的直线mα，都有a⊥m.利用定义，我们得到了判定线面垂直的最基本方法，同时也得到了线面垂直的最基本的性质.3.直线和平面垂直的画法画直线与平面垂直时，通过把直线画成与表示表面的平行四边形的一边垂直，如图。4.探究直线和平面垂直的判定方法提出问题：虽然可以根据定义判定直线与平面垂直，但这种方法实际上难以实施。有没有比较方便可行的方法来判断直线和平面垂直呢？精品学习资料可选择pdf第2页，共6页----------------------- 师生活动：请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起来做如图所示的试验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触），问如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面垂直？发现：当且仅当折痕AD是BC边上的高时，AD所在的直线在平面α垂直。定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。．．．．．．特别强调：①定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；②定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。三、例题示范,巩固新知例1、一旗杆高8m，在它的顶点处系两条长10m的绳子，拉紧绳子并把它们的下端固定在地面上的两点（与旗杆脚不在同一条直线上）。如果这两点与旗杆脚距6m那么旗杆就与地面垂直，为什么？解：如图，旗杆PO＝8，两绳子长PA＝PB＝10，OA＝OB＝6，A，O，B三点不共线因此A，O，B三点确定平面α，因为PO2＋AO2＝PA2，PO2＋BO2＝PB2，所以PO⊥OA，PO⊥OB又OA∩OB＝O所以OP⊥α，因此旗杆与地面垂直。例2、如图，已知a∥b，a⊥α。求证：b⊥α。分析：在平面内作两条相交直线，由直线与平面垂直的定义可知，直线a与这两条相交直线是垂直的，又由b平行a，可证b与这两条相交直线也垂直，从而可证直线与平面垂直。证明过程见P66.四、巩固练习平行四边形ABCD所在平面外有一点P，且PA=PB=PC=PD，求证：点P与平行精品学习资料可选择pdf第3页，共6页----------------------- 四边形对角线交点O的连线PO垂直于AB、AD.五、归纳小结今天这节课，我们学习了直线和平面垂直的定义，这个定义最初用在判定定理的证明上，但用得较多的则是，如果直线l垂直于平面，那么l就垂直于内的任何一条直线；对于判定定理，判定线、面垂直，实质是转化成线、线垂直，从中不难发现立体几何问题解决的一般思路六、作业布置P67页练习第1题,P74页B组2题2.3.1直线与平面垂直的判定(2)教学目标：1．进一步掌握线面垂直的定义和判定定理；2．掌握直线和平面所成的角的概念,会求直线和平面所成的角.教学重点：直线和平面所成的角及其求法.教学难点：直线和平面所成的角及其求法.教学过程：一、复习引入：1．直线与平面垂直的定义:如果直线l与平面α的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.2．直线与平面垂直的判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。3.作业讲评:P67页练习第1题引课:我们知道,当直线和平面垂直时,该直线叫做平面的垂线。如果直线和平面不垂直,是不是也该给它取个名字呢?此时又该如何刻画直线和平面的这种关系呢?引出课题二、讲解新课：1.观察直线和平面相交的位置关系,给出直线和平面斜交的有关概念精品学习资料可选择pdf第4页，共6页----------------------- 如图,若一条直线PA和一个平面α相交,但不垂直,那么这条直线就叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点A叫做斜足。P2.给出直线和平面所成的角的有关概念Aα如图,过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO,过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角。一条直线垂直于平面,我们说它所成的角是直角；一条直线和平面平行,或在平面内,0我们说它所成的角是0的角。三、例题示范,巩固新知例1如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求直线A1B和平面A1B1CD所成的角。分析:找出直线A1B在平面A1B1CD内的射影,就可以求出A1B和平面A1B1CD所成的角。解:连结BC1交B1C于点O,连结A1O.设正方体的棱长为a,因为A1B1⊥B1C1,A1B1⊥B1B.所以A1B1⊥平面BCC1B1.所以A1B1⊥BC1.又因为BC1⊥B1C,所以BC1⊥平面A1B1CD.所以A1O为斜线A1B在平面A1B1CD内的射影,∠BA1O为直线A1B和平面A1B1CD所成的角。2AB12,aBOa.在Rt△A1BO中,210BOAB1,BAO130.所以2因此,直线A1B和平面A1B1CD所成的角为300。四、巩固练习1.判断下列说法是否正确精品学习资料可选择pdf第5页，共6页----------------------- （1）两条平行直线在同一平面内的射影一定是平行直线（）（2）两条相交直线在同一平面内的射影一定是相交直线（）（3）两条异面直线在同一平面内的射影要么是平行直线，要么是相交直线（）（4）若斜线段长相等，则它们在平面内的射影长也相等（）2.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:D1C1（1）AB1在面BB1D1D中的射影A1B1（2）AB1在面A1B1CD中的射影DC（3）AB1在面CDD1C1中的射影AB3.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）A1C1与面ABCD所成的角D1C1（2）A1C1与面BB1D1D所成的角A1B1（3）A1C1与面BB1C1C所成的角（4）A1C1与面ABC1D1所成的角DCAB五、归纳小结斜线在平面上的射影,直线和平面所成的角及其范围.六、作业布置作业:P74A组9题,B组4题精品学习资料可选择pdf第6页，共6页-----------------------