高中数学人教A版必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.1直线与平面垂直的判定 教案

课题：直线与平面垂直的判定一、教学内容解析1.“直线与平面垂直的判定”是人教A版必修2第二章点、直线、平面之间的位置关系中2.3直线、平面垂直的判定及其性质的第一课时的内容。主要包括：直线与平面垂直的定义、判定定理以及它们初步应用三个内容。2.本节课主要学习直线与平面垂直的定义、判定定理及其初步应用。它是在研究了直线和直线垂直、直线和平面平行的基础上进行的.其中由于线面垂直的定义和判定定理充分体现了线线垂直与线面垂直之间的转化，同时它又是后面学习面面垂直的基础，所以它在这里起到承上启下的作用。另外本节内容也与空间距离、空间角、多面体、旋转体等内容的有密切联系，且蕴含着丰富的数学思想，即“空间问题转化为平面问题”，“无限转化为有限”“线线垂直与线面垂直互相转化”等数学思想。所以这节内容在本章中起着十分重要的作用。3.教材通过旗杆与地面的位置关系，大桥的桥柱和水面的位置关系等，让学生感知直线与平面垂直这种位置关系，再提出“一条直线与一个平面垂直的意义是什么？”的思考，并通过分析旗杆与它在地面上的射影的位置关系引出了直线和平面垂直的概念。教材通过具体事例，按照直观感知、操作确认的方式得出直线与平面垂直的判定定理，并用精确语言表达。继续遵循“直观感知—操作确认—思辨论证—度量计算”的认识过程。4.由于《课程标准》中不要求严格证明线面垂直的判定定理，只要求直观感知、操作确认，注重合情推理。而且线面垂直判定定理的严格证明安排在选修系列2中进行，这样降低了难度，符合学生的认知规律。因此本节课的教学重点是“操作确认并概括出直线与平面垂直的定义和判定定理”。教学时，通过一组图片让学生直观感知直线与平面垂直的具体形象，然后将其抽象为几何图形，再用数学语言对几何图形进行精确的描述，让学生在此过程中体会直线与平面垂直定义的合理性。通过类比猜想的方法，从学生已有的知识出发，通过合情推理最终提出上面的问题．然后通过试验探究总结出线面垂直的判定定理突出重点。二、教学目标设置 1.通过对图片、实例的观察，抽象概括出直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义。2.通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直判定的定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题，进一步培养学生的空间观念。3.在探索直线与平面垂直判定定理的过程中发展合情推理能力，同时感悟和体验“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”、“无限转化为有限”等数学思想.三、学生学情分析1.学生已具备的认知基础学生在学习“直线与平面垂直的判定”之前：一是已经对空间几何体有了一定的了解，并学习了一部分空间几何体的知识，对空间观念、推理能力，以及用联系的观点认识新的数学对象有了一定的认识；二是学习了平面的基本性质、空间两条直线的位置关系及直线与平面平行的关系，同时也有一定的把实际问题抽象概括成数学结论的思维能力；三是对数学问题研究的一些基本思路与方法（如：从特殊到一般、类比分析等）有了一定的了解，并具有用这些思想方法解决一些简单的问题能力。2.已有基础与需要基础间的差异分析学生在学习这节之前，已经学习了线线、线面的位置关系及判定定理。但线面平行的定义是直线与平面没有交点，而线面垂直的定义是直线与平面内的所有直线都垂直。线面平行的定义中只涉及两个基本元素：已知直线和已知平面。线面垂直的定义中设计三个基本元素：已知直线、已知平面和平面内的直线。基于上述原因，线面垂直的教学不宜采用类比的教学方法。线面平行的判定定理与线面垂直的判定定理所涉及元素基本一致，所以，在教学时采用类比的教学方法。3.教学难点及突破难点的关键分析（1）学生对直线与平面垂直的现象是很容易有“感觉”的，但是如果你要问他们什么是直线与平面垂直，他们却往往不知道怎么回答．所以如何让学生对线面垂直的认识由感性上升到理性是本节课的一个教学难点．这里我没有直接告诉学生定义的内容，而是把它放到了具体的情境中让学生自己去感受和体 会．按说定义是不需要这样的分析和探究的，但是通过对旗杆和它在地面内影子的位置关系的观察，通过对旗杆所在直线l和地面所在平面内不经过点B﹙点B是直线l和平面的交点﹚的直线的位置关系的思考，让学生亲自参与定义的构建，就使原本干巴巴的定义在学生心中变得具体生动，有血有肉．再通过对定义中的“任意一条直线”能否换成“无数条直线”问题的探讨，使学生对定义的认识经一步深化．考虑到学生的空间想象能力和语言表达能力的参差不齐，这里可以根据学生在课堂上的反应进行适当的启发引导，也对到讲台上进行演示讲解同学的答案进行补充和完善．（2）虽然在新课程中对判定定理是通过试验确认并不需要严格证明的，但如何将线面垂直转化成线线垂直，如何提出“如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面是否垂直的问题”是本节课的另一个教学难点。这里我仍然采用了类比猜想的方法，从学生已有的知识出发，通过合情推理最终提出上面的问题，然后通过试验探究总结出线面垂直的判定定理．其实通过试验并不能直接得出直线与平面垂直的判定定理，这里我会引导学生对“如果直线l与平面内的两条相交直线m、n都垂直，但不经过它们的交点，那么直线l还与平面垂直吗？”这个问题进行探究．一方面是因为这个问题难度并不大，与新课程中的降低判定定理部分的难度并不违背，另一方面通过对这个问题的研究也培养了学生严谨细致的作风，提高了学生的抽象概括能力和逻辑思维能力．四、教学问题诊断分析1.遇到一个新概念的时候，就必须给它下定义。像“点”“直线”“平面”之类的“基本定义”，和“不共线的三点确定一个平面”之类“不证自明的基本原理”，是通过语言描述的方法给出的；而其他概念，都必须借基本概念以及以前已经定义的概念来定义它。所以在线面垂直定义的建构中，就得使学生体会到直线与平面内任意一条直线垂直就是线面垂直的本质特征，从而学生才能利用转化的思想归纳出线面垂直的定义。所以在线面垂直定义的建构教学中用典型、丰富的例子让学生感受到概念定义的合理性，是概念教学的要义。在教学过程中，应着重观察学生思维发展，通过动态演示学生能否顺利得到结论，若 出现“卡壳”现象，教师可再多举实例，放慢节奏。但若直接给出，学生只能死记硬背，不利于学生思维发展。2.定理教学的本质就是要让学生明确“在什么样的题设下可以得出什么样的结论”，它需要经历一系列的感知、猜想（合情推理）、逻辑论证和判断的过程。虽然在新课程中对判定定理是通过试验确认并不需要严格证明的，但如何将线面垂直转化成线线垂直，如何提出“如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面是否垂直的问题”是本节课的另一个教学难点．这里我仍然采用了类比猜想的方法，从学生已有的知识出发，通过合情推理最终提出上面的问题．然后通过试验探究总结出线面垂直的判定定理．其实通过试验并不能直接得出直线与平面垂直的判定定理，这里我会引导学生对“如果直线l与平面内的两条相交直线m、n都垂直，但不经过它们的交点，那么直线l还与平面垂直吗？”这个问题进行探究．一方面是因为这个问题难度并不大，与新课程中的降低判定定理部分的难度并不违背，另一方面通过对这个问题的研究也培养了学生严谨细致的作风，提高了学生的抽象概括能力和逻辑思维能力．3.在直线与平面垂直的判定这部分的题目中往往要进行多次线面垂直和线线垂直之间的转化而且有时还需要添加辅助线，而这些都是学生感觉比较棘手的问题．所以本节课中我会对例1进行透彻的分析，从而让学生掌握分析此类问题的方法和步骤，然后通过几道有梯度的练习题让学生逐步对定义和判定定理能够进行灵活运用，并不断增强学生的空间感．五、教学过程（一）直线与平面垂直定义的构建1、联系生活——提出问题在复习了直线与平面的三种位置关系后，给出几幅现实生活中常见的图片，让学生思考其中旗杆与地面、竖直的墙角线与地面、大桥的桥柱与水面之间的位置关系属于这三种情况中的那一种，它们还给我们留下了什么印象？从而提出问题：什么是直线与平面垂直？设计意图：使学生意识到直线与平面垂直是直线与平面相交中的一种特殊情况并引出本节课的课题．另外这样设计也吸引了学生的注意力，激发了学生的好 奇心，使其主动参与到本节课的学习中来．2、创设情境——分析感知播放动画，引导学生观察旗杆和它在地面上影子的位置关系，使其发现：旗杆所在直线l与地面所在平面内经过点B的直线都是垂直的．进而提出问题：那么直线l与平面内不经过点B的直线垂直吗？设计意图：在具体的情境中，让学生去体会和感知直线与平面垂直的定义．3、总结定义——形成概念由学生总结出直线与平面垂直的定义，即如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直．引导学生用符号语言将它表示出来．然后提出问题：如果将定义中的“任意一条直线”改成“无数条直线”，结论还成立吗？设计意图：让学生通过思考和操作(用三角板和笔在桌面上比试)，加深对定义的认识．（二）直线与平面垂直判定定理的构建1、类比猜想——提出问题根据线面平行的判定定理进行类比，通过不断的猜想和分析，最终提出问题：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直吗？设计意图：不少老师都在本环节中进行了一些有益的尝试，但考虑到学生的认知水平，仍然决定采用类比猜想的方法，从学生已有的知识出发，进行分析．2、动手试验——分析探究演示试验过程：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，再将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触）．AADCBDCB问题一：同学们看，此时的折痕AD与桌面垂直吗？又问：为什么说此时的折痕AD与桌面不垂直？设计意图：让学生从另一个角度来理解直线与平面垂直的定义——只要直线l与 平面内有一条直线不垂直，那么直线l就与平面不垂直．问题二：如何翻折才能让折痕AD与桌面所在平面垂直呢？﹙学生分组试验﹚设计意图：通过分组讨论增强数学学习氛围，让学生在交流中互相学习，共同进步．问题三：通过试验，你能得到什么结论？在回答此问题时大部分学生都会直接给出结论：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．此时注意引导学生观察，直线AD还经过BD、CD的交点．请他们思考在增加了这个条件后，试验的结论更准确的说应该是什么？AlDmBAnC又问：如果直线l与平面内的两条相交直线m、n都垂直，但不经过它们的点，么直线l还与平面垂直吗？设计意图：提高学生抽象概括的能力，同时也培养他们严谨细致的作风．3、提炼定理——形成概念给出线面垂直的判定定理，请学生用符号语言把这个定理表示出来，并由此向学生指明，判定定理的实质就是通过线线垂直来证明线面垂直，它体l现了降维这种重要的数学思想．mAn判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．符号语言：lm，ln，m，n，mnAl．（三）初步应用——深化认识1、例题剖析：例1已知：a//b，a．求证：b． 设计意图：不仅让学生学会使用判定定理，而且要让他们掌握分析此类问题的方法和步骤．２、随堂练习练习1如图，在三棱锥V-ABC中，VA=VC，AB=BC．V求证：VB⊥AC．设计意图：用展台展示部分学生的答案，督促学生规范A化做题．变式引申如图，在三棱锥V-ABC中，VA=VC，AB=BC，K是AC的中点．若E、F分别是AB、BC的中点，试判断直线EF与平面VKB的位置关系．A设计意图：在定义和判定定理之外，例１又给出了第三种证明直线与平面垂直的方法，构造这道变式引申题的目的就是让学生在用中将其内化．KCBVKCFEB练习2如图，PA垂直圆O所在平面，AC是圆O的直径，PB是圆周上一点，问三棱锥P-ABC中有几个直角三角形?设计意图：通过练习1和练习2培养学生熟练地进行线线垂O直和线面垂直之间的转化，从而使他们能够对定义和判定定AC理进行灵活应用．B四、总结回顾——提升认识线线面垂直的定义线线面垂线面垂直的判定定理垂直直如果两条平行线中的一条直线与一个平面垂直，那么另外一条直线也与此平面垂直．五、布置作业——巩固认识