高中数学人教A版必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.1直线与平面垂直的判定 说课稿

2.3.1直线与平面垂直的判定说课稿新洲二中黄丽花课程标准：通过直观感知、操作确认，归纳出线面垂直的判定定理；能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题。教材分析：1.教材中的地位和作用：《直线与平面垂直的判定》是高中新教材人教A版必修2第2章2.3.1的内容，本节课主要学习线面垂直的定义、判定定理及定理的初步运用。其中，线面垂直的定义是线面垂直最基本的判定方法和性质，它是探究线面垂直判定定理的基础；线面垂直的判定定理充分体现了线线垂直与线面垂直之间的转化，它既是后面学习面面垂直的基础，又是连接线线垂直和面面垂直的纽带！（如图）学好这部分内容，对于学生建立空间观念，实现从认识平面图形到认识立体图形的飞跃，是非常重要的。2.教学目标：根据大纲要求，考虑到学生的接受能力和课容量，确定了本次课的教学目标：A、知识与技能：通过直观感知、操作确认，理解线面垂直的定义，归纳线面垂直的判定定理；并能运用定义和定理证明一些空间位置关系的简单命题。B、过程与方法：通过线面垂直定义及定理的探究过程，培养学生感知几何直观能力和抽象概括能力，体会转化思想在解决问题中的运用。C、情感、态度与价值观：经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣，培养学生勤于思考、勤于动手的良好品质。3、教学重点和难点：根据《课程标准》，线面垂直判定定理的严格证明在本节课中不做要求，这样降低了难度。因而，我将本节课的教学重点确立为：重点：操作确认并概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。由于学生的抽象概括能力、空间想象力还有待提高，而线面垂直判定定理的发现具有一定的隐蔽性，学生不易想到，因此我把操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及初步运用作为本节课的难点。学情分析：在初中学生已经掌握了平面内证明线线垂直的方法，学习本课前，学生又通过直观感知、操作确认的方法，学习了直线平与面平行的判定定理，对空间概念建立有一定基础，因而，可以采用类比的方法来学习本课。但是，学生的抽象概括能力、空间想象力还有待提高。线面垂直的定义比较抽象，平面内看不 到直线，要让学生去体会“与平面内所有直线垂直”就有一定困难；同时，线面垂直判定定理的发现具有一定的隐蔽性，学生不易想到。因而，我将本节课的教学难点确立为：操作确认并概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。学法分析：由于高中的学生已经具备一定的自主探究和合作能力。（1）教学中，让学生在回顾线面平行的基础上，安排学生以小组为单位讨论交流，引导学生对线面垂直定义和定理进行抽象概括。（2）指导学生动手操作手中的三角板和笔加深概念的本质理解，操作折纸实验完成定理的探究。从中体现出学生活跃的思维、浓厚的兴趣、强烈的参与意识和自主探究能力。教法分析：学习本课前，学生通过直观感知、操作确认的方法，学习了直线与平面平行的判定定理，对空间概念建立有一定基础，因而，可以采用类比的方法来学习本课。(1)“引导—探究式”教学方法:在线面垂直定义的建构中，先引导学生观察实例和图片直观感知概念，再通过动画演示形成概念，然后引导学生对概念进行抽象概括；而在判定定理的探究过程中，先借助学生熟悉的长方体模型和生活中简单的经验引导学生对定理进行猜想，再引导学生通过动手操作折纸实验和动画演示来确认定理，最后引导学生对定理进行归纳总结。整个教学过程遵循“直观感知—操作确认—归纳总结”的认知规律，注重发展学生的合情推理能力，同时，加强空间观念的培养，注重知识产生的过程性。(2)采用“从特殊到一般”、“从具体到抽象”的方法:在定义和定理的探究过程中，从具体图片和实物模型出发引导学生直观感知，再到定义定理的抽象概括。这有助于学生对知识进行主动建构；有利于突出重点、解决难点；也有利于发挥学生的创造性。教学过程：1.直线与平面垂直定义（1）创设情境——感知概念：①观察实例：引导学生将书打开直立于桌面，观察书脊与桌面的位置关系，由此引出课题。②展示图片：观察图片，引导学生寻找出其中线面垂直的位置关系。（旗杆与地面、桥墩与地面）③师生活动：引导学生举出身边更多类似的例子。（如教室内直立的墙角线和地面的位置关系，桌子的四只脚与地面的位置关系等）从实例到图片再到实际生活，直观感知直线和平面垂直的位置关系，从而建立初步印象，为下一步的数学抽象做准备（2）观察归纳——形成概念：①学生画图：引导学生画出直线l与平面垂直的几何图形。 （师生活动：学生练习本上画图，教师针对学生出现的问题，如不直观、不标字母等加以强调。①思考：从直线与直线垂直、直线与平面平行的定义过程得到启发，能否用一条直线垂直于一个平面内的直线来定义这条直线与这个平面垂直呢？③结合问题(1)和(2)观察动画演示：在阳光下直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC的位置变化。问题(1)：旗杆所在的直线AB与影子所在的直线BC的位置关系是什么？问题(2)：旗杆AB与地面内任意一条不过旗杆底部B的直线B1C1的位置关系又是什么？由此可以得到什么结论？（师生活动：在多媒体演示时，先展示动画1使学生感受到旗杆AB所在直线与过点B的直线都垂直。再展示动画2引导学生根据异面直线所成角的概念得出旗杆AB所在直线与地面内任意一条不过点B的直线B1C1也垂直。）④引导学生归纳直线与平面垂直的定义、介绍相关概念，并引导学生用符号语言表示。定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作：l⊥α.直线l叫平面的垂线，平面叫做直线l的垂面。直线与平面垂直时，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足。.它们唯一的公共点P叫垂足。（3）辨析讨论——深化概念：下列命题是否正确，为什么？（1）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直。（2）如果一条直线垂直一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的任一直线。通过问题辨析与讨论，加深概念的理解，掌握概念的本质属性。由（1）使学生明确定义中的“任意”和“无数”的不同。由（2）使学生明确，线面垂直的定义既是线面垂直的判定又是性质，“直线与直线垂直”和“直线与平面垂直”可以相互转化。2.直线与平面垂直的判定定理（1）分析实例——猜想定理问题①在长方体ABCD－A1B1C1D1模型中，棱BB1与底面ABCD垂直，观察BB1与底面ABCD内直线AB、BC有怎样的位置关系？由此你认为保证BB1⊥底面ABCD的条件是什么？问题②如何一本书直立于桌面？由上述两个实例，你能猜想出判断一条直线与一个平面垂直的方法吗？ 学生提出猜想:如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。借助学生最熟悉的长方体模型和生活中最简单的经验，感知判定直线与平面垂直时只需平面内有限条直线（两条相交直线），从中体验有限与无限之间的辩证关系，从而提出猜想，为进一步的探究做准备(2)动手操作——确认定理A.折纸实验：如图，让学生拿出准备好的一块（任意）三角形的纸片，做一个实验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，再将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触），进行观察并思考：问题③折痕AD与桌面垂直吗？如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？（师生活动：在折纸试验中，学生会出现“垂直”与“不垂直”两种情况，引导这两类学生进行交流，根据直线与平面垂直的定义分析“不垂直”的原因。学生再次折纸，经过讨论交流，发现当且仅当折痕AD是BC边上的高，即AD⊥BC，翻折后折痕AD与桌面垂直。）问题④由折痕AD⊥BC，翻折之后垂直关系发生变化吗？（即AD⊥CD，AD⊥BD发生变化吗？）由此你能得到什么结论？B.多媒体演示翻折过程。C.归纳出线面垂直的判断定理;一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。（3）质疑反思——深化定理下面命题是否正确，为什么？如果一条直线与一个梯形的两条边垂直，那么这条直线垂直于这个梯形所在的平面？3.举例应用：课本66页例题1分析：要证明，根据判定定理，只要证明在平面内有两条相交直线与垂直即可。总结：根据线面垂直的判定定理解决问题。同时本题还可以作为一个结论：如果两条平行线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。课本66页“探究”通过探究可以发现，要证线线垂直，就得转化为证线面垂直，因此就得利用线面垂直的判断定理，构造一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线。所以底面ABCD需要满足的条件是ACBD.4.直线与平面所成的角（1）概念一条直线PA和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫斜足。过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线PO在这个平面上的射影。平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和平面所成的角。线面角的取值范围： 注意：1.教师强调定义并画图说明。2.强调直线除了与平面斜交以外还有两种特殊情况，并解释直线与平面所成角的范围。（2）简单应用课本66页例题21.分析：找到斜线内的射影，要找到斜线的射影，先找到斜线引得垂线。2.明确综合法解决线面角的步骤：“找——证——求”。5.巩固练习：P671.让学生做定时训练，并巡视发现问题。点学生回答结果，并根据学生回答的情况进行点评。6.反思小结：（1）通过本节的学习，你学会了哪些判定线面垂直的方法？（2）证明线面垂直要注意哪些问题？(3)本节课涉及到了哪些数学思想和方法？（4）本节课你还有那些问题？教学评价设计  根据本节课的特点，我从以下三个方面进行教学评价：  1.关注学生在整个探究过程中的表现，包括学生的投入程度、思维水平的发展.具体体现在：  （1）线面垂直定义的建构中，着重观察学生思维发展，通过动态演示能否顺利得到结论，若出现“卡壳”现象，教师可再多举实例，放慢节奏。  （2）在线面垂直的判定定理的探究中，着重关注学生的合情推理，通过与学生的问答交流，发现其思维过程，进行恰当引导。对于个别有困难的学生，教师及时帮助与鼓励，调动学生的积极性。若出现意想不到的表现和独特想法，教师先给予鼓励，再根据学生的认知规律采取恰当的启发方式，使其认知活动顺利进展，激发学生的创新思维。  2.通过练习检测学生对知识的掌握情况  练习中可能出现的问题有：几何作图不够直观、符号语言表述不清、推理论证不够严密等。教师及时纠正，并作为下节课的学习重点。 3.根据学生在课堂小结中的表现和课后作业情况，查缺补漏，以便调控教学。以上是我对本节课的一些说明，不妥之处，敬请各位专家、老师批评指正，谢谢！ 教学环节教学过程设计意图1.直线与平面垂直定义的建构（本环节是教学的第一个重点，是后面探究活动的基础，分三步进行：）（1）创设情境—感知概念观察实例：引导学生将书打开直立于桌面，观察书脊与桌面的位置关系，由此引出课题。②展示图片：观察图片，引导学生寻找出其中线面垂直的位置关系。（旗杆与地面、桥墩与地面）③师生活动：引导学生举出身边更多类似的例子。（如教室内直立的墙角线和地面的位置关系，桌子的四只脚与地面的位置关系等）从实例到图片再到实际生活，直观感知直线和平面垂直的位置关系，从而建立初步印象，为下一步的数学抽象做准备（2）观察归纳—形成概念①生画图：引导学生将地面看成平面，旗杆看做直线画出旗杆与地面位置关系的几何图形。（师生活动：学生练习本上画图，教师针对学生出现的问题，如不直观、不标字母等加以强调。）②思考：从直线与直线垂直、直线与平面平行的定义过程得到启发，能否用一条直线垂直于一个平面内的直线来定义这条直线与这个平面垂直呢？③结合问题(1)和(2)观察动画演示：在阳光下直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC的位置变化。问题(1)：旗杆所在的直线AB与影子所在的直线BC的位置关系是什么？问题(2)：旗杆AB与地面内任意一条不过旗杆底部B的直线B1C1的位置关系又是什么？由此可以得到什么结论？（师生活动：在多媒体演示时，先展示动画1使学生感受到旗杆AB所在直线与过点B的直线都垂直。再展示动画2引导学生根据异面直线所成角的概念得出旗杆AB所在直线与地面内任意一条不过点B的直线B1C1也垂直。）①从具体到抽象，引导学生完成抽象与具体之间的相互转换 ④引导学生归纳直线与平面垂直的定义、介绍相关概念，并引导学生用符号语言表示。定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作：直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足。l⊥α..用符号语言表示为：（师生活动：学生以小组为单位讨论交流，互相补充，并派代表作答，教师补充完善，指出定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是同意词，同时给出直线与平面垂直的记法，并引导学生用符号语言表示。）②引导学生用“平面化”与“降维”的思想来思考问题，直线和平面垂直的问题同样可以转化为考察直线和平面内直线的关系③通过观察思考，感知直线与平面垂直的本质内涵。④充分发挥学生的主观能动性，提高抽象概括能力，让学生体验成功的喜悦通过问题辨析与讨论，加深概念的理解，掌握概念的本质属性。由（1）使学生明确定义中的“任意”和“无数”的不同。由（2）使学生明确，线面垂直的定义既是线面垂直的判定又是性质，“直线与直线垂直”和“直线与平面垂直”可以相互转化。（3）辨析讨论—深化概念辨析1：下列命题是否正确，为什么？（1）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直。（2）如果一条直线垂直一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的任一直线。（师生活动：命题（1）判断中引导学生利用手中的笔和三角板，笔表示直线，三角板两直角边表示两垂直直线，桌面表平面，将三角板的一条直角边AC放在桌面上，这时另一条直角边BC就和桌面内的一条直线（即三角板与桌面的交线AC）垂直，在此基础上在桌面内放一只和AC平行的笔EF并平行移动，那么BC始终和EF垂直，但BC不一定和桌面垂直，最后教师给出反例的直观图1。）图1由（2）给出下列常用命题：指出它是判断直线与直线垂直的常用方法，它将直线与直线垂直的问题转化为判定一条直线垂直于另一条直线所在的平面。 2.直线与平面垂直的判定定理的探究（这个探究活动是本节课的关键所在，分三步进行：）（1）分析实例—猜想定理问题①在长方体ABCD－A1B1C1D1模型中，棱BB1与底面ABCD垂直，观察BB1与底面ABCD内直线AB、BC有怎样的位置关系？由此你认为保证BB1⊥底面ABCD的条件是什么？问题②如何将一张长方形贺卡直立于桌面？（师生活动：引导学生观察思考，师生共同分析长方体侧棱垂直底面、贺卡能直立于桌面的原因：侧棱或书脊固定在两相交直线上且与两直线垂直。）由上述两个实例，你能猜想出判断一条直线与一个平面垂直的方法吗？学生提出猜想:如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。借助学生最熟悉的长方体模型和生活中最简单的经验，感知判定直线与平面垂直时只需平面内有限条直线（两条相交直线），从中体验有限与无限之间的辩证关系，从而提出猜想，为进一步的探究做准备（2）动手操作—确认定理A.折纸实验：如图，让学生拿出准备好的一块（任意）三角形的纸片，做一个实验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，再将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触），进行观察并思考：问题③折痕AD与桌面垂直吗？如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？（师生活动：在折纸试验中，学生会出现“垂直”与“不垂直”两种情况，引导这两类学生进行交流，根据直线与平面垂直的定义分析“不垂直”的原因。学生再次折纸，经过讨论交流，发现当且仅当折痕AD是BC边上的高，即AD⊥BC，翻折后折痕AD与桌面垂直。）问题④由折痕AD⊥BC，翻折之后垂直关系发生变化吗？（即AD⊥CD，AD⊥BD发生变化吗？）由此你能得到什么结论？（师生活动：在归纳直线与平面垂直的判定定理时，先让学生以小组为单位交流讨论，派代表叙述结论，不完善的地方教师引导、补充完整，归纳出线面垂直的判定定理。然后要求学生试用图形语言与符号语言来表示定理，指出定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。）通过实验操作，引导学生发现折痕AD与桌面垂直的条件：AD垂直桌面内两条相交直线。问题④吸引学生注意力，为推出重点做准备。B．增设动态演示模拟实验，让学生更加清楚看到“平面化”的过程，在已有数学知识的基础上加以确认定理 C．让学生在自己的实践中感受数学探索的乐趣，增强学习数学的兴趣，在讨论交流中激发学生的积极性和创造性（3）质疑反思—深化定理辨析2：下列命题是否正确，为什么？如果一条直线与平面内的两条平行直线都垂直，那么该直线垂直于这个平面。(师生活动：教师给出反例的直观图2，消除学生心中的疑惑，进一步明确线面垂直的判定定理中的“两条”、“相交”缺一不可！指出定理充分体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”相互转化的数学思想。)baα图2通过辨析，强化定理中“两条相交直线”的条件。3.直线与平面垂直判定定理的初步应用尝试练习，巩固定理例(1)如图(1)有一根旗杆AB高8m，它的顶端A挂有两条长10m的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点(和旗杆脚不在同一条直线上)C、D。如果这两点都和旗杆脚B的距离是6m，那么旗杆就和地面垂直，为什么？（师生活动：师生共同分析，教师用多媒体给出规范的证明过程优化解题步骤）例(2)求证：与三角形的两条边同时垂直的直线必与第三条边垂直。（师生活动：引导学生根据题意画图（如图2），将其转化为几何命题：△ABC在平面α内，直线a与平面α相交，且a⊥AC,a⊥BC，求证：a⊥AB。请两位同学板演，其余同学在练习本上完成，师生共同评析，明确运用线面垂直判定定理时的具体步骤，防止缺少条件，特别是“相交”的条件，同时指出：这为证明“线线垂直”提供了一种方法。)(师生活动：此题是课本中的例1，有一定难度，教师引导学生分析思路，可用判定定理证，也可利用定义证，提示辅助线的添法，学生练习本上完成，对照课本例1,完善自己的解题步骤，让学生用文字语言叙述：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。指出：命题体现了平行关系与垂直关系的联系，其结果可以作为直线和平面垂直的又一个判定方法。)例（3）如图（3），已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α。(课本中的例1)（1）（2）（3）例1通过计算可直接应用线面垂直定理，充分说明用数学问题研究实际问题价值所在，培养学生逻辑思维能力和运用数学语言的能力。 例2感受如何运用直线与平面垂直的判定定理与定义解决问题，明确运用定理的条件和具体步骤，培养学生严谨的逻辑推理例3使学生对线面垂直认识由感性上升到理性；同时，展示了平行与垂直之间的转化与联系，给出判断线面垂直的一种间接方法，为今后多角度研究问题提供思路。4.总结反思—提高认识（1）通过本节课的学习，你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法？（2）在证明直线与平面垂直时应注意哪些问题？（3）本节课涉及到哪些数学思想和方法？（4）本节课你还有哪些问题？（师生活动：学生发言，互相补充，教师点评完善，以知识结构图归纳出判断直线与平面垂直的方法（如图）即可用定义，判定定理或例3的结论，说明本课蕴含着转化、类比、归纳、猜想等数学思想方法，强调“平面化”是解决立体几何问题的一般思路。）通过小结使本节课的知识系统化，使学生深刻理解数学思想方法在解题中的地位和应用，培养学生认真总结的学习习惯。5.布置作业—自主探究必做题：课本P67练习1：如图，在三棱锥V-ABC中，VA=VC,AB=BC,求证：VB⊥AC。V选做题：如图：SA平面ABC,ABBC,过A作SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足为F.求证:AFSC.（1）（2）通过训练，巩固本课所学知识，感悟其中蕴涵的转化数学思想，增强学生的应用意识。必做题是线面垂直判定定理的应用。选做题有助于培养学生的发散思维，为学有余力的学生安排的，这样，使不同程度的学生都有所获，同时还为下节课灵活运用线面垂直判定定理埋下伏笔。