2.3.1直线与平面垂直的判定教学目的：1理解直线与平面垂直的定义；2掌握直线与平面垂直的判定定理内容及论证过程；3应用直线与平面垂直的判定定理解决问题教学重点：直线与平面垂直的判定定理内容及论证过程教学难点：直线与平面垂直的判定定理内容及论证过程教学过程：一、复习引入：1直线和平面的位置关系观察空间直线和平面可知它们的位置关系有：（1）直线在平面内（无数个公共点）；（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为，，2线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行推理模式：3线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行推理模式：二、讲解新课：1定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面交点叫做垂足直线与平面垂直简称线面垂直，记作：a⊥α画法：画直线和平面垂直时，通常要把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直
说明：①“任何”表示所有（提问：若直线与平面内的无数条直线垂直，则直线垂直与平面吗？如不是，直线与平面的位置关系如何？）②直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况，在垂直时，直线与平面的交点叫做垂足③a⊥等价于对任意的直线Ì，都有a⊥利用定义，我们得到了判定线面垂直的最基本方法，同时也得到了线面垂直的最基本的性质2直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面即若⊥，⊥，∩＝B，Ì，Ì，则⊥已知：、是平面内的两条相交直线，直线与的交点为B，且⊥，⊥求证：⊥分析：在内平移，，使它们都通过点B，这时，仍保持和垂直过点B作任一条不与，重合的直线g，如果我们能根据⊥且⊥推出⊥g，那么就证明了直线和过点B的所有直线都垂直，即垂直为此，我们在上自点B起于平面的两侧分别截取BA=BA′，于是，都是线段AA′的垂直平分线，它们上面的点到A、A′的距离相等如果我们能证明g上的点到A、A′的距离也相等，那么g也是AA′的垂直平分线，于是g就垂直于在g上任取一点E，过点E在内作不通过点B的直线，分别与，相交于点C、D，容易证明△ACD≌A′CD，进而又可证明△ACE≌△A′CE于是EA=EA′，g⊥一般地：证明：如果一条直线和平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面已知：是平面内的两条相交直线，直线与的交点为，且，求证：证明：过点作∵∴，过任作直线，在上于平面两侧分别截取，∴都是的垂直平分线，∴，在上任取点，过在平面内作不通过的直线分别与相交于点，∴，∴，又，∴，∴
∴，∴．三、讲解范例：例1求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面已知：a∥b,a⊥求证：b⊥α证明：设是内的任意一条直线本题的作用：要证b⊥，没有办法？而已知a∥b，只需证a⊥即可，在证题时起转移作用，但具体要证a⊥还需其他方法例2过一点和已知平面垂直的直线只有一条已知：平面和一点P求证：过点P与垂直的直线只有一条证明：不论在平面内或外，设直线，垂足为（或）若另一直线，设确定的平面为，且∴又∵在平面内，与平面几何中的定理矛盾所以过点与垂直的直线只有一条例3有一根旗杆高，它的顶端挂一条长的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点（和旗杆脚不在同一直线上），如果这两点都和旗杆脚的距离是，那么旗杆就和地面垂直，为什么？解：在和中，∵∴
∴即又∵不共线∴平面，即旗杆和地面垂直；例4已知直线⊥平面α，垂足为A，直线AP⊥求证：AP在α内证明：设AP与确定的平面为β如果AP不在α内，则可设α与β相交于直线AM∵⊥α，∴AM又AP⊥，于是在平面β内过点A有两条直线垂直于，这是不可能的所以AP一定在α内例5求证:经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行已知:∉α求证:过点有且只有一个平面β∥α证明:过平面α外一点作直线α,再过点作平面β,使β,则α∥β.因为过点且与α平行的平面必与α的垂线也垂直,而过点与垂直的平面是唯一的,所以过点且与α平行的平面只有一个.指出:由例2可得α∥β,α∥γ⇒β∥γ.例6已知：空间四边形，，，求证：证明：取中点，连结，∵，∴，∴平面，又∵平面，∴．四、课堂练习：1．选择题（1）“直线垂直于平面a内的无数条直线”是“⊥a”的（）
（A）充分条件（B）必要条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（2）如果一条直线与平面a的一条垂线垂直，那么直线与平面a的位置关系是（）（A）Ìa（B）⊥a（C）∥a（D）Ìa或∥a答案：（1）B(2)D2．填空题（1）过直线外一点作直线的垂线有条；垂面有个；平行线有条；平行平面有个.（2）过平面外一点作该平面的垂线有条；垂面有个；平行线有条；平行平面有个.答案：（1）无数，一，一，无数；（2）一，无数，无数，一3．能否作一条直线同时垂直于两条相交直线？能否作一条直线同时垂直于两个相交平面？为什么？答案：（能，而且有无数条）（不能）4拿一张矩形的纸对折后略为展开，竖立在桌面上，说明折痕为什么和桌面垂直答案：因为折痕垂直于桌面内的两条相交直线.5一条直线垂直于一个平面内的两条平行直线，这条直线垂直于这个平面吗？为什么？答案：不一定.因为这条直线可能与这个平面斜交或在其内.6过一点和一条直线垂直的平面是否只有一个？为什么？答案：是.假若有两个平面过点A都于垂直，过这条公共垂线作一个不经过两平面的交线的平面，与分别相交于直线且，，从而有，此与矛盾.7如果三条直线共点，且两两垂直，问其中一条直线是否垂直于另两条直线所确定的平面答案：是8求证：一条线段的垂直平分面内任一点到这条线段两端点的距离相等通过一条线段中点并且与这条线段垂直的平面，叫做这条线段的垂直平分面五、小结：今天这节课，我们学习了直线和平面垂直的定义，这个定义最初用在判定定理的证明上，但用得较多的则是，如果直线垂直于平面a，那么就垂直于a内的任何一条直线；对于判定定理，判定线、面垂直，实质是转化成线、线垂直，从中不难发现立体几何问题解决的一般思路
微信/支付宝扫码支付