2.3.1直线与平面垂直的判定学案一．学习目标：以立体几何的定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面垂直的判定，掌握直线与平面垂直的定义，理解直线与平面垂直的判定定理，并会用定义和判定定理证明直线与平面垂直的关系.掌握线面角的定义及求解.二．重点、难点： 重点： 难点：三．知识要点：1.定义：如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，则直线与平面互相垂直，记作.－平面的垂线，－直线的垂面，它们的唯一公共点叫做垂足.（线线垂直线面垂直）2.判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直.符号语言表示为：若⊥，⊥，∩＝B，Ì，Ì，则⊥3.斜线和平面所成的角，简称“线面角”，它是平面的斜线和它在平面内的射影的夹角.求直线和平面所成的角，几何法一般先定斜足，再作垂线找射影，然后通过解直角三角形求解，可以简述为“作（作出线面角）→证（证所作为所求）→求（解直角三角形）”.通常，通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜足的连线是产生线面角的关键.四．自主探究：（一）例题精讲：【例1】四面体中，分别为的中点，且，，求证：平面.证明：取的中点，连结，∵分别为的中点，∴，.又∴，∴在中，，∴，∴，又，即，，∴平面.【例2】已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，求直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值.解：取CD的中点F，连接EF交平面于O，连AO.由已知正方体，易知平面，所以为所求.在中，，，.所以直线AE与平面所成的角的正弦值为.【例3】三棱锥中，，平面ABC，垂足为O，求证：O为底面△ABC的垂心.证明：连接OA、OB、OC，∵平面ABC，∴.又∵，∴，得,∴O为底面△ABC的垂心.
点评：此例可以变式为“已知，求证”，其思路是接着利用射影是垂心的结论得到后进行证明.三条侧棱两两垂直时，也可按同样的思路证出.【例4】已知，斜边BC//平面，AB，AC分别与平面成30°和45°的角，已知BC=6，求BC到平面的距离.解：作于，于，则由，得，且就是BC到平面的距离，设，连结，则，∴，在中，，∴，∴，即BC到平面的距离为．点评：由直线与平面的平行，直接作平面的垂线段即为线面距离.此题通过两条垂线段把所已知的线面角同时作出，利用解直角三角形的知识和方程思想容易解决问题.五．目标检测：（一）基础达标1．若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于（）.A．平面OABB．平面OACC．平面OBCD．平面ABCG2FEG3G1S2．若直线平面，直线，则（）.A．B．l可能和m平行C．l和m相交D．l和m不相交3．在正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2、G2G3的中点，现沿SE、SF、EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3重合为点G，则有（）.A.SG⊥面EFGB.EG⊥面SEFC.GF⊥面SEFD.SG⊥面SEF4．直线a⊥直线b，b⊥平面，则a与β的关系是（）.A．a⊥B.a∥β．C．D．a或a∥5．（04年湖南卷.理4文5）把正方形ABCD沿对角线AC折起,当以A、B、C、D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为（）.A.90°B.60°C.45°D.30°6．在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，当底面四边形ABCD满足条件时，有A1C⊥B1D1（注：填上你认为正确的一种即可，不必考虑所有可能的情形）.7．设三棱锥的顶点在平面上的射影是，给出以下说法：①若，，则是垂心；②若两两互相垂直，则是垂心；③若，是的中点，则；④若，则是的外心.其中正确说法的序号依次是.（二）能力提高8．如图，在正方体中，E是的中点，F是AC,BD的交点，求证：．
9．如图，是矩形，平面，，是线段上的点，是线段上的点，且．求直线与平面所成角的正弦值.（三）探究创新10．如图，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面是菱形且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°,（1）证明：C1C⊥BD；（2）当的值为多少时，可使A1C⊥面C1BD？
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