高中数学人教A版必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.1直线与平面垂直的判定 学案
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资料简介
2.3.1直线与平面垂直的判定学案一.学习目标:以立体几何的定义、公理和定理为出发点,通过直观感知、操作确认、思辨论证,认识和理解空间中线面垂直的判定,掌握直线与平面垂直的定义,理解直线与平面垂直的判定定理,并会用定义和判定定理证明直线与平面垂直的关系.掌握线面角的定义及求解.二.重点、难点: 重点: 难点:三.知识要点:1.定义:如果直线与平面内的任意一条直线都垂直,则直线与平面互相垂直,记作.-平面的垂线,-直线的垂面,它们的唯一公共点叫做垂足.(线线垂直线面垂直)2.判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则这条直线与该平面垂直.符号语言表示为:若⊥,⊥,∩=B,Ì,Ì,则⊥3.斜线和平面所成的角,简称“线面角”,它是平面的斜线和它在平面内的射影的夹角.求直线和平面所成的角,几何法一般先定斜足,再作垂线找射影,然后通过解直角三角形求解,可以简述为“作(作出线面角)→证(证所作为所求)→求(解直角三角形)”.通常,通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段,垂足和斜足的连线是产生线面角的关键.四.自主探究:(一)例题精讲:【例1】四面体中,分别为的中点,且,,求证:平面.证明:取的中点,连结,∵分别为的中点,∴,.又∴,∴在中,,∴,∴,又,即,,∴平面.【例2】已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是A1B1的中点,求直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值.解:取CD的中点F,连接EF交平面于O,连AO.由已知正方体,易知平面,所以为所求.在中,,,.所以直线AE与平面所成的角的正弦值为.【例3】三棱锥中,,平面ABC,垂足为O,求证:O为底面△ABC的垂心.证明:连接OA、OB、OC,∵平面ABC,∴.又∵,∴,得,∴O为底面△ABC的垂心. 点评:此例可以变式为“已知,求证”,其思路是接着利用射影是垂心的结论得到后进行证明.三条侧棱两两垂直时,也可按同样的思路证出.【例4】已知,斜边BC//平面,AB,AC分别与平面成30°和45°的角,已知BC=6,求BC到平面的距离.解:作于,于,则由,得,且就是BC到平面的距离,设,连结,则,∴,在中,,∴,∴,即BC到平面的距离为.点评:由直线与平面的平行,直接作平面的垂线段即为线面距离.此题通过两条垂线段把所已知的线面角同时作出,利用解直角三角形的知识和方程思想容易解决问题.五.目标检测:(一)基础达标1.若三条直线OA,OB,OC两两垂直,则直线OA垂直于().A.平面OABB.平面OACC.平面OBCD.平面ABCG2FEG3G1S2.若直线平面,直线,则().A.B.l可能和m平行C.l和m相交D.l和m不相交3.在正方形SG1G2G3中,E、F分别是G1G2、G2G3的中点,现沿SE、SF、EF把这个正方形折成一个四面体,使G1、G2、G3重合为点G,则有().A.SG⊥面EFGB.EG⊥面SEFC.GF⊥面SEFD.SG⊥面SEF4.直线a⊥直线b,b⊥平面,则a与β的关系是().A.a⊥B.a∥β.C.D.a或a∥5.(04年湖南卷.理4文5)把正方形ABCD沿对角线AC折起,当以A、B、C、D四点为顶点的三棱锥体积最大时,直线BD和平面ABC所成的角的大小为().A.90°B.60°C.45°D.30°6.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,当底面四边形ABCD满足条件时,有A1C⊥B1D1(注:填上你认为正确的一种即可,不必考虑所有可能的情形).7.设三棱锥的顶点在平面上的射影是,给出以下说法:①若,,则是垂心;②若两两互相垂直,则是垂心;③若,是的中点,则;④若,则是的外心.其中正确说法的序号依次是.(二)能力提高8.如图,在正方体中,E是的中点,F是AC,BD的交点,求证:. 9.如图,是矩形,平面,,是线段上的点,是线段上的点,且.求直线与平面所成角的正弦值.(三)探究创新10.如图,已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面是菱形且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°,(1)证明:C1C⊥BD;(2)当的值为多少时,可使A1C⊥面C1BD?

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