高中数学人教A版必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.1直线与平面垂直的判定 学案
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资料简介
青海师范大学附属第二中学高中数学2.3.1直线与平面垂直的判定学案新人教A版必修2[学习要求]理解直线与平面垂直的定义;掌握直线与平面垂直的判定定理的内容及其应用;应用直线与平面垂直的判定定理解决问题.[学法指导]借助对实例、图片的观察,提炼直线与平面垂直的定义;通过直观感知,操作确认,归纳直线与平面垂直的判定定理;通过运用判定定理感悟和体验线面垂直转化为线线垂直的思想方法.1.直线与平面垂直(1)定义:如果直线l与平面α内的直线都,就说直线l与平面α互相垂直,记作.直线l叫做平面α的,平面α叫做直线l的.(2)判定定理:一条直线与一个平面内的都垂直,则该直线与此平面垂直.2.直线与平面所成的角(1)定义:平面的一条斜线和它在平面上的所成的,叫做这条直线和这个平面所成的角.(2)当直线与平面垂直时,它们所成的角的度数是90°;当直线与平面平行或在平面内时,它们所成的角的度数是;直线与平面所成的角θ的范围:.[问题情境]生活中处处都有直线和平面垂直的例子,如旗杆和地面、路灯与地面等等.在判断线面平行时有判定定理,那么判断线面垂直有什么好办法呢?本节就来研究这一问题.探究点一 直线与平面垂直的定义问题1 如图,阳光下直立于地面的旗杆AB与它在地面上的影子BC的位置关系是什么?随着太阳的移动,旗杆AB与影子BC所成的角度会发生改变吗?问题2 旗杆AB与地面上任意一条不过旗杆底部B的直线B′C′的位置关系又是什么?依据是什么?由此得到什么结论?问题3 观察圆锥的轴与底面内哪些直线垂直?为什么?问题4 若直线与平面内的无数条直线垂直,则直线垂直于平面吗?如不是,直线与平面的位置关系如何?探究点二 直线与平面垂直的判定定理问题1 请同学们准备一块三角形的纸片,我们一起来做如图所示的试验:过△ABC的顶点A翻折纸片,得到折痕AD,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD、DC与桌面接触),问:折痕AD与桌面垂直吗?如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面α垂直? 问题2 由折痕AD⊥BC,翻折之后垂直关系不变,即AD⊥CD,AD⊥BD.由此你能得到什么结论?问题3 如图,把AD、BD、CD抽象为直线l、m、n,把桌面抽象为平面α,l与α垂直的条件是什么?问题4 如何用符号语言表示直线与平面垂直的判定定理?例1 如图,已知a∥b,a⊥α.求证:b⊥α.问题5 如图直四棱柱A′B′C′D′—ABCD(侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱)中,底面四边形满足什么条件时,A′C⊥B′D′?为什么?探究点三 直线与平面所成的角问题1 平面的斜线、斜足是怎样定义的?斜线在平面上的射影是如何定义的?问题2 直线与平面所成的角θ的取值范围是什么?例2 如图,正方体ABCD—A1B1C1D1中,求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.[达标检测]1.空间中直线l和三角形的两边AC,BC同时垂直,则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是(  )A.平行B.垂直C.相交D.不确定2.下列命题中正确的个数是(  )①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直,则l⊥α;②如果直线l与平面α内的一条直线垂直,则l⊥α;③如果直线l不垂直于α,则α内没有与l垂直的直线;④如果直线l不垂直于α,则α内也可以有无数条直线与l垂直.A.0B.1C.2D.33.直线l⊥平面α,直线m⊂α,则l与m不可能(  )A.平行B.相交C.异面D.垂直[小结]1.直线和平面垂直的判定方法(1)利用线面垂直的定义.(2)利用线面垂直的判定定理.(3)利用下面两个结论:①若a∥b,a⊥α,则b⊥α;②若α∥β,a⊥α,则a⊥β.2.线线垂直的判定方法(1)异面直线所成的角是90°.(2)线面垂直,则线线垂直.2.3.1 直线与平面垂直的判定 一、基础过关1.已知直线a∥b,平面α∥β,a⊥α,则b与β的位置关系是(  )A.b⊥βB.b∥βC.b⊂βD.b⊂β或b∥β2.直线a⊥直线b,b⊥平面β,则a与β的关系是(  )A.a⊥βB.a∥βC.a⊂βD.a⊂β或a∥β3.空间四边形ABCD的四边相等,则它的两对角线AC、BD的关系是(  )A.垂直且相交B.相交但不一定垂直C.垂直但不相交D.不垂直也不相交4.如图所示,定点A和B都在平面α内,定点P∉α,PB⊥α,C是平面α内异于A和B的动点,且PC⊥AC,则△ABC为(  )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,(1)直线A1B与平面ABCD所成的角是________;(2)直线A1B与平面ABC1D1所成的角是________;(3)直线A1B与平面AB1C1D所成的角是______.6.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别是棱AA1和AB上的点,若∠B1MN是直角,则∠C1MN=______.7.如图所示,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F分别是棱B1C1、B1B的中点.求证:CF⊥平面EAB.8.如图所示,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是矩形,侧棱PA垂直于底面,E、F分别是AB、PC的中点,PA=AD.求证:(1)CD⊥PD;(2)EF⊥平面PCD.二、能力提升 9.如图所示,PA⊥平面ABC,△ABC中BC⊥AC,则图中直角三角形的个数为( )A.4B.3C.2D.110.已知矩形ABCD,AB=1,BC=,将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折过程中(  )A.存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直B.存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直C.存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直D.对任意位置,三对直线“AC与BD”,“AB与CD”,“AD与BC”均不垂直11.在直三棱柱ABC—A1B1C1中,BC=CC1,当底面A1B1C1满足条件________时,有AB1⊥BC1(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情况).12.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为DD1的中点,O为ABCD的中心,求证:B1O⊥平面PAC.三、探究与拓展13.已知平面α外两点A、B到平面α的距离分别为1和2,A、B两点在α内的射影之间距离为,求直线AB和平面α所成的角.跟踪训练1 一旗杆高8m,在它的顶点处系两条长10m的绳子,拉紧绳子并把它们的下端固定在地面上的两点(与旗杆脚不在同一条直线上).如果这两点与旗杆脚距6m,那么旗杆就与地面垂直,为什么?跟踪训练2 将例2中所求的角改为求直线A1B和平面BCC1B1所成的角.

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