高中数学人教A版必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.1直线与平面垂直的判定 典型例题

直线与平面垂直的判定典型例题目标导航1．知识与技能：理解并掌握直线与平面垂直的定义及垂线、垂面、垂足的含义，会用空间图形及数学符号分别表示直线与平面垂直；理解并掌握直线与平面垂直的判定定理，并能运用定义及判定定理判断直线是否与平面垂直。2．过程与方法：利用等价转化的思想证明立体几何问题；提高学生逻辑思维能力；培养学生由图形想象出位置关系的能力。3．情感态度与价值观：利用所学知识解释生活现象，激发学生学习数学的积极性，能辩证的看待问题；学会分析事物间的关系，进而选择解决问题的途径。要点聚焦1．直线与平面垂直的定义：直线与平面内的任意一条直线都垂直，称直线与平面互相垂直，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面。直线与平面垂直时，它们的唯一公共点叫做垂足。2．直线与平面垂直是直线与平面相交的特例。直线与平面相交但不垂直时，直线叫做平面的斜线，直线与平面的交点叫做斜足。3．直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则称该直线与此平面垂直。4．直线与平面垂直的定义中的“任何一条直线”这个词语与“所有直线”是同义语，但与“无数条直线”不同，定义的实质就是直线与平面的所有直线都垂直。5．直线与平面垂直的判定定理可以用符号表示：6．“aα，bα，a∩b=P，l⊥a，l⊥b，l⊥α”7．直线与平面垂直的方法：(1)若一条直线垂直于平面内的任何直线，则这条直线垂直于平面；（定义）(2)若一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，则这条直线垂直于平面；（判定定理）(3)两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面；(4)一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则它必垂直于另一个平面。经典题例例1判断题：正确的在括号内打“√”号，不正确的打“×”号1．一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线平行（  ）2．如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直（  ）3．垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边（  ）4．过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内（  ）5．如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面（  ）分析:本题是利用直线和平面垂直的定义及判定定理等知识来解答的问题。解答:1．直线与平面平行，则直线与平面内的直线的位置关系不外乎有两种①平行，②异面，因此应打×2．该命题的关键是这无数条直线具有怎样的位置关系，若为平行，则该命题应打“√”号；若为相交，则该命题应打“×”号，正是因为这两种可能同时具备，因此，不说明面内这无数条线的位置关系，则该命题应打“×”号3．2 垂直于三角形两边的直线必垂直于三角形所在的平面，由线面垂直定义的逆用，则该直线必垂直于三角形的第三边，∴该命题应打“√”4．前面介绍了两个命题，①过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，②过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，根据第一个命题知：过点A垂直于直线a的平面惟一，因此，过点A且与直线a垂直的直线都在过点A且与直线a垂直的平面内，∴该命题应打“√”5．三条共点直线两两垂直，设为a，b，c且a，b，c共点于O，∵a⊥b，a⊥c，b∩c＝0，且c确定一平面，设为α，则a⊥α，同理可知b垂直于由a，c确定的平面，c垂直于由a，b确定的平面∴该命题应打“√”点评:此类问题必须做到：概念清楚、问题理解透彻、相关知道能灵活运用。例2如图2－35：在空间四边形ABCD中，已知BC＝AC，AD＝BD，引BE⊥CD，E为垂足，作AH⊥BE于H，求证：AH⊥平面BCD。分析:要证AH⊥平面BCD，只须利用直线和平面垂直的判定定理，证AH垂直于平面BCD中两条相交直线即可。证明:取AB中点F，连结CF、DF，∵AC＝BC，∴CF⊥AB，又∵AD＝BD，∴DF⊥AB，∴AB⊥平面CDF，又CD平面CDF，∴CD⊥AB又CD⊥BE，∴CD⊥平面ABE，CD⊥AH又AH⊥BE，∴AH⊥平面BCD。图2－35点评:证明线面垂直，需转化为线线垂直，而线线垂直，又可通过证线面垂直来实现。在这里，定义可以双向使用，即直线a垂直于平面α内的任何直线，则a⊥α，反之，若a⊥α，则a垂直于平面α内的任何直线。2