高中数学人教A版必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.1直线与平面垂直的判定 ppt课件

2.3.1直线与平面垂直的判定定理1 复习引入1.直线和平面的位置关系是什么?（1）直线在平面内（无数个公共点）；（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直线和平面平行（没有公共点）.2.在直线和平面相交的位置关系中，有一种相交是很特殊的，我们把它叫做垂直相交.这节课我们重点来探究这种形式的线面相交.2 实例研探探究：什么叫做直线和平面垂直呢？当直线与平面垂直时，此直线与平面内的所有直线的关系又怎样呢?生活中线面垂直的实例:旗杆与地面垂直路灯与地面垂直3 实例研探探究：什么叫做直线和平面垂直呢？当直线与平面垂直时，此直线与平面内的所有直线的关系又怎样呢?生活中线面垂直的实例:ABαB1C1CB在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子，随着时间的变化，尽管影子的位置在移动，但是旗杆所在的直线始终与影子所在的直线垂直（如图）.事实上，旗杆AB所在直线与地面内任意一条不过点B的直线也是垂直的.4 (1)如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，则称直线与平面互相垂直，记作.直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面.它们惟一的公共点P叫做垂足.画法：通常把直线画成与表示平面的   平行四边形的一边垂直.1.直线与平面垂直的定义注1：①定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是同义词，但与“无数条直线”不同.②该定义作用：“线面垂直线线平行”，这是判断两条直线垂直时经常使用的一种方法，即辨析5 6 1.能不能像判定直线与平面平行那样，利用直线与平面内的一条直线垂直来判定直线与平面垂直呢？BCl有没有比较方便可行的方法来判断直线和平面垂直呢？探究2.一条直线不行，那么又能不能像判断平面与平面平行那样，利用直线l与平面内两条直线m，n都垂直来判定直线与平面垂直呢？nml当平面内m，n平行的时候，这并不能判定l垂直于α.7 有没有比较方便可行的方法来判断直线和平面垂直呢？活动：请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起来做如图所示的试验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触）.问:折痕AD与桌面垂直吗？如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面垂直？探究当且仅当折痕AD是BC边上的高时，AD所在直线与桌面所在平面垂直．8 (1)定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线垂直于这个平面.2.直线与平面垂直的判定定理②该定理作用：“线线垂直线面垂直”注2：①该定理的条件中，“平面内的两条相交直线”是关键性词语.不能用“两条直线”，“无数条直线”替换.即③应用该定理，关键是证明在平面内有两条相交直线与已知直线垂直，至于这两条直线是否与已知直线有公共点则是无关紧要的.Anm9 例如图，已知，求证：根据直线与平面垂直的定义知又因为所以又是两条相交直线，所以证明：在平面内作两条相交直线m，n．因为直线，10 例正方体中，求证：小结论：正方体中，面的对角线垂直于过另一条面的对角线的对角面；正方体中，异面的体对角线和面对角线互相垂直.11 12 13 变式：正方体中，求证：14 练如图为直四棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱），其底面ABCD是一个菱形.求证：P66探究：直四棱柱中，底面四边形满足什么条件时，能使得.AD'BB'CC'DA'探究(课本P66）底面四边形的对角线互相垂直！15 OAP3.直线和平面所成角1)斜线:2)斜足:3)斜线在平面内的射影:和平面相交，但不垂直的直线叫做平面的斜线斜线和平面相交的交点过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线称为斜线在平面内的射影.☆平面的斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做直线和平面所成的角.说明:①若直线垂直平面，则直线和平面所成的角为90°②若直线与平面平行或直线在平面内，则直线和平面所成的角为0°☆直线和平面所成角的取值范围为[0°,90°]16 A1B1C1D1ABCD例如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，求：(1)直线A1B和平面BCC1B1所成的角；(2)直线A1B和平面A1B1CD所成的角.O分析:关键是找出平面BCC1B1和平面A1B1CD内的垂线.17 例3如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)求A1B与平面AA1D1D所成的角；类型三 直线与平面所成的角解∵AB⊥平面AA1D1D，∴∠AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角，在Rt△AA1B中，∠BAA1＝90°，AB＝AA1，∴∠AA1B＝45°，∴A1B与平面AA1D1D所成的角是45°.解答(2)求A1B与平面BB1D1D所成的角. ∴∠A1BO＝30°，∴A1B与平面BB1D1D所成的角是30°.(2)求A1B与平面BB1D1D所成的角.解连接A1C1交B1D1于点O，连接BO.∵A1O⊥B1D1，BB1⊥A1O，BB1∩B1D1＝B1，BB1，B1D1⊂平面BB1D1D，∴A1O⊥平面BB1D1D，∴∠A1BO就是A1B与平面BB1D1D所成的角.又∵∠A1OB＝90°，解答 跟踪训练3如图所示，AB是圆柱的母线，BD是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上一点，且AB＝BC＝2，∠CBD＝45°，（1）求直线AD与平面ABC所成角的大小.（2）求直线BD与平面ACD所成角的大小.解答 解取AC的中点E，连接BE，DE.由题意知AB⊥平面BCD，故AB⊥CD.又BD是底面圆的直径，∴∠BCD＝90°，即CD⊥BC.∵AB∩BC＝B，AB，BC⊂平面ABC，∴CD⊥平面ABC，又∵BE⊂平面ABC，∴CD⊥BE.又AC∩CD＝C，AC，CD⊂平面ACD，∴BE⊥平面ACD，∴∠BDE即为BD与平面ACD所成的角， 一、直线与平面垂直(1)定义：(2)判定定理：(3)线线垂直的常用证明方法：a.平面内的两直线——b.空间内的两直线——(4)两条平行线垂直于同一个平面，垂直于同一一个面的两直线平行.22