直线与平面的垂直判定2

AB AB AB AB AB AB AB AB CC1B1ABα内过点B的直线AB所在直线内不过点B的直线ααAB所在直线内任意一条直线αAB所在直线⊥⊥⊥直线AB平面α⊥ 一、直线和平面垂直的定义P平面的垂线直线的垂面垂足如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直.记作：直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面.交点P叫做垂足. 深入理解“线面垂直定义”判断下列语句是否正确：（若不正确请举反例）1.如果一条直线与一个平面垂直，那么它与平面内所有的直线都垂直.（）2.如果一条直线与平面内无数条直线都垂直，那么它与平面垂直.（）bαa P直线和平面垂直的画法:通常把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直。垂线上任意一点到垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段。垂线段的长度叫做这个点到平面的距离 利用定义，我们得到了判定线面垂直的最基本方法，同时也得到了线面垂直的最基本的性质.探索新知：但是，直接考察直线与平面内所有直线都垂直是不可能的，这就有必要去寻找比定义法更简捷、更可行的直线与平面垂直的方法! 探索新知：做一做想一想ABCD1.折痕AD与桌面垂直吗？2.如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？请同学们拿出一块三角形纸片，我们一起做一个试验：过三角形的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触） 当且仅当折痕AD是BC边上的高时，AD所在直线与桌面所在平面垂直．2.如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？探索新知： 探索新知：由刚才分析可以知道，直线与平面垂直的判定需要哪几个条件？你能根据刚才的分析归纳出直线与平面垂直判定定理吗(1)平面有两条直线(2)这两条直线要相交(3)平面外的直线要与这两条直线都垂直 二、直线与平面垂直的判定定理：线线垂直线面垂直mnP一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。一相交两垂直 例1、mn推论：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面 探究如图，直四棱柱A'B'C'D'-ABCD（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形ABCD满足什么条件时，A'C⊥B'D'?C'AA'B'D'BCD判定定理的应用 PAO三、直线和平面所成的角：如图所示，一条直线PA和平面相交，但不垂直，这条直线叫这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足。过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影。斜线和射影所成的锐角叫做这条直线和平面所成的角。斜线斜足射影一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角;一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0的角.直线和平面所成角的范围是[0，90] 例2、在正方体ABCD-A'B'C'D'中，求直线A'B和平面A'B'CD所成的角.A'B'C'D'CBDAO 例3、如图，已知AC、AB分别是平面α的垂线和斜线，C、B分别是垂足和斜足，a，a⊥BC。求证：a⊥ABAaCB三垂线定理:在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它就和这条斜线垂直.变：若a⊥AB时有a⊥BC吗？三垂线定理的逆定理:如果平面内的一条直线与这个平面的一条斜线垂直,那么这条直线就和这条斜线在这个平面内的射影垂直.四、三垂线定理 ABCP过点P向平面引垂线,垂足为O,点P到垂足O间的线段OP叫做这点到这个平面的垂线段，其长度为点到平面的距离。O从点P向平面引斜线，点P到斜足A之间的线段PA叫做斜线段，则垂足O与斜足A之间的线段OA叫做斜线段PA在平面上的射影．过同一个点的斜线段，当其长度相等时，它们在平面上的射影的长度也是相等的斜线段长的其射影也相应长 (1)若PA=PB=PC，则O是△ABC的.PABCO外心设O为三棱锥P—ABC的顶点P在底面上的射影.练习： (2)若PA=PB=PC,∠C=900,则O是AB的_____点.中PABCO 垂心EFPABCO(3)若三条側棱两两互相垂直,则O是△ABC的. 判断下列命题是否正确？(1)过一点有且只有一条直线和一个平面垂直()(2)过一点有且只有一个平面和一条直线垂直()√√PP