高中数学人教A版必修2第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.1直线与平面垂直的判定 学案

§2.3.1直线与平面垂直的判定学习目标1.理解直线与平面垂直的定义；2.掌握直线与平面垂直的判定定理及其应用；3.理解直线与平面所成的角的概念，会求直线与平面所成的角.学习过程一、课前准备（预习教材P64~P67，找出疑惑之处）复习1：当两条直线的夹角为______，这两条直线互相垂直；它们的位置关系是_______或________.复习2：如图，直线，请你任意作出至少3条和垂直的直线，并感觉作出的直线中有和平面垂直的直线吗？二、新课导学※探索新知探究1：直线和平面垂直的概念问题：如图，将三角板直立起来，并且让它的一条直角边落在桌面上，观察边与桌面的位置关系呈什么状态？绕着边转动三角板，边与始终垂直吗？在转动的过程中，把看作桌面上不同的直线，你能得出什么结论吗？新知1：若直线与平面内的任意一条直线都垂直，就说直线与平面互相垂直，记做.叫做垂线，叫垂面，它们的交点叫垂足.如图所示.反思：⑴如果直线与平面内无数条直线都垂直，那么它和这个平面垂直吗？⑵用定义证明直线和平面垂直好证吗？你感觉难在哪里？探究2：直线与平面垂直的判定定理问题：如图，将一块三角形纸片沿折痕 折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(与桌面接触).观察折痕与桌面的位置关系.如何翻折才能使折痕与桌面垂直呢？结论：当且仅当折痕是边上的高时，所在的直线与桌面所在的平面垂直.如下图所示.反思：⑴折痕与桌面上的一条直线垂直时，能判断垂直于桌面吗?⑵如右图，当折痕时，翻折后,即.由此你能得出什么结论?新知2：直线和平面垂直的判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.探究3：直线与平面所成的角新知3：如图，直线和平面相交但不垂直，叫做平面的斜线，和平面的交点叫斜足；，叫做斜线在平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条直线和平面所成的角.直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是°角.※典型例题例1如图，已知∥，，求证：.例2如图，在正方体中，求直线和平面所成的角. ※动手试试练1.如图，在三棱锥中，，求证：.练2.如图，在Rt中，斜边，其射影，°,求与平面所成角的正弦值.三、总结提升※学习小结1.直线与平面垂直的定义、判定；线线垂直与线面垂直的转化；2.直线与平面所成的角的定义及求法. ※知识拓展求直线与平面所成的角关键是作出斜线上一点到平面的垂线，找到这点的射影—垂足的位置.确定点的射影位置的方法有①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面内的射影上②一个点到一个角的两边距离相等，则这个点的射影在这个角的角平分线上③若两个面垂直，则一个面上的点在另一面上的射影必在两个平面的交线上.※当堂检测1.直线和平面内两条直线都垂直，则与平面的位置关系是（）.A.垂直B.平行C.相交但不垂直D.都有可能2.已知直线和平面,下列错误的是（）.A.B.C.∥或D.∥3.是异面直线,那么经过的所有平面（）.A.只有一个平面与平行B.有无数个平面与平行C.只有一个平面与垂直D.有无数个平面与垂直4.两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线的位置关系是________________.5.若平面∥平面,直线,则与_____.课后作业1.空间四边形的四边相等,那么它的对角线()A.相交且垂直B.不相交也不垂直C.相交不垂直D.不相交但垂直2.如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况,能保证该直线与平面垂直的是()①三角形的两边②梯形的两边③圆的两条直径④正六边形的两条边A.①③B.②C.②④D.①②④3.已知m、n为两条不同的直线、为两个不同的平面,则下列命题中正确的是()A.∥n,n∥∥B.∥∥nC.∥D.n∥4.正三棱柱ABC的侧棱长与底面边长相等,则与侧面所成角的正弦值等于() A.B.C.D.5.在空间四边形ABCD中,若则对角线AC与BD的位置关系为()A.相交但不垂直B.垂直但不相交C.不相交也不垂直D.无法判断6.如图(1),在正方形中,E、F分别是边、的中点,D是EF的中点,现沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个几何体〔如图(2)〕,使、、三点重合于点G,这样,下面结论成立的是()A.平面EFGB.平面EFGC.平面SEFD.平面SEF7.在正方体-ABCD中,E、F分别是棱AB、BB的关系是____________.8.过所在平面外一点，作，垂足为，连接、、，若，，，则点在的什么位置？9.如图在正方体中,是底面的中心，，为垂足，求证：面. 10.如图所示,在斜边为AB的Rt△ABC中,过A作平面于于N,连结MN.(1)求证:面PAC;(2)求证:面AMN. 11.如图,已知△ABC是正三角形平面ABC,且PA=AB=a.(1)求直线PC和平面ABC所成角的大小;(2)在AC上是否存在点E,使?若存在,说明E点的位置,并证明;若不存在,说明理由.12.如图所示,在四棱锥P-ABCD中底面,PA=AB=BC,E是PC的中点.(1)证明;(2)证明平面ABE. 13.设三棱锥P-ABC的顶点P在平面ABC上的射影是H，给出下列命题:①若则H是△ABC的垂心;②若PA、PB、PC两两互相垂直,则H是△ABC的垂心;③若,H是AC的中点,则PA=PB=PC;④若PA=PB=PC,则H是△ABC的外心.判断上述命题是否正确，并证明你的结论。