高中数学人教A版必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.1直线与平面垂直的判定 教学设计

直线与平面垂直的判定和性质核心素养目标1.理解线面垂直的定义，总结线面垂直的判定方法和性质，形成系统的知识结构；2.树立数学定理即数学模型的意识，能从实际问题情境中找到符合定理模型的基本元素，从而解决问题，提高数学建模和直观想象素养；3.通过应用定理解决实际问题，进一步强调等价转换和“降维”思想，体会数学定理作为一种基本模型的应用价值，提高逻辑推理素养；教学重点与难点：1.从具体几何问题中分离出定理模型并找到符合定理模型的基本元素，解决问题；2.在解决问题时，渗透“立体问题平面化”的“降维”处理，培养学生的等价转换思想。教学内容与过程：一、构建知识框架1.线面垂直的定义什么样的直线和平面是垂直关系呢？直线I与平面a内的任一条直线都垂直，则直线I与平面a垂直，此时直线I叫做平面a的垂线，平面a叫做直线I的垂面。2.判定直线和平面垂直的方法（文字语言、符号语言、图形语言三种形式表达）判定方法文字语言图形语言付号语言①如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直.1baIaIblabO,b②如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面•a±3ad3=a?1±a1±aI?3£i③如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.aA/ra//bab④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，那么也垂直于另一个・7nI//I3.直线和平面垂直的性质性嗔文字语言图形语言付号语言①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线.ZIIImm ②如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂「直.l±a?a±31?3垂直于向一个平面的两条直线平a±a/?a//b行.rrb±a④垂直于向一直线的两平囱平行.ZI//I其实，能够判定线面垂直的方法远不止这么多，线面垂直的性质也不只这几个，那么我们为什么选定了这些作为定理呢？其实他们都是立体几何问题中的基本模型，我们在遇到复杂的几何问题时，都可以分离出这些基本的定理模型。我们通过这节课的学习，就是要能够从而得到我们需要在具体问题中，确定需要的定理模型，并找到符合定理模型的基本元素，的结论。4.牛刀小试我们掌握了那么多线面垂直的判定方法，现在就试着在图形中找找互相垂直的直线和平面有哪些吧。如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PD_L底面ABCD,且PD=CD,点E是PC的中点.你还能发现哪些线面垂直关系？对于这样简单的几何体，我们很快就可以从中看出定理模型，找到模型中所需的元素，得到想要的结论，那么我们在这个图上继续构造，让图形复杂起来，继续探究其中的垂直关系。二、例题分析例•如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，根IJ棱PD_L底面ABCD，且PD=CD,E是PC的中ABA点，EF_LPB,垂足为F，连接DE,DF,BD,BE.（1）求证：PB_L平面DEF；（2）试判断：四面体BDEF中有几个面是直角三角形，并指出其中的直角；（3）设M、N分别为AD、PB的中点，连接MN,MC,NC,求证：平面CMN_L平面PBC.引导分析：C）要证明PB_L平面DEF，你选择哪个模型？（“线面垂直判定定理”模型）模型中已经有哪个条件具备了？（已经有"EF±PB”）还缺的条件应该从哪里找？（"DF_LPB”（共面垂直：从边长关系，中线长度等平面几何办法入手））或者"DE±PB”（异面垂直：从平移成共面或线面垂直入手））。证明：•/PD，面ABCD，且BC?面ABCD，八PD_LBC,又TBC_£CD,CDAPD=D,CD,PD?面PCD,ABC±®PCD.•/DE?面PCD,ABC_LDE.又TDE±PC,BCAPC=C,BC,PC?面PBC,ADEPBC.TPB?面PBC,ADE±PB.XTEF±PB,DEAEF=E,DE,EF?面DEF,APB L面DEF.（2）找直角就是找线线垂直，线线垂直可以由“线面垂直性质定理模型”，先找线面垂直关 系。(PB_L平面DEF可以得到PB_LDF,PB±EF，还有没有其他的线面垂直关系？DE_L^jPBC，所以DE±EF,DE±EB,四个面都是直角三角形。)(3)要得到面面垂直，要利用线面垂直的性质定理模型，先找线面垂直关系。对于平面CMN和平面PBC来说，第一问已经找到面PBC的垂线DE了，可以考虑线面垂直的性质模型，在平面CMN中能找到DE的平行线即可。三、课堂小结处理空间中线面垂直相关问题的一般方法：1•通过逻辑分析和空间想象，分离出具体问题中包含的定理模型；p2•寻找定理模型所需的基本元素，完成逻辑推理的过程；3•对照定理模型，严谨地表述证明的过程。解决具体问题的过程中，注意“转化”和“降维”思想。