高中数学人教a版必修2第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.1 直线与平面垂直的判定 课件

2.3直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1直线与平面垂直的判定 1.理解并掌握直线与平面垂直的定义,明确定义中“任意”两字的重要性.2.掌握直线与平面垂直的判定定理,并能解决有关线面垂直的问题.3.了解直线和平面所成的角的含义,并知道其求法. 1231.直线与平面垂直 123名师点拨1.定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是同义,与“无数条直线”不是同义.2.直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况.3.由直线与平面垂直的定义,得如果一条直线垂直于一个平面,那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线. 123【做一做1】已知直线l⊥平面α,直线m⊂α,则l与m不可能()A.平行B.相交C.异面D.垂直解析:因为直线l⊥平面α,所以l与α相交,又因为m⊂α,所以l与m相交或异面.由直线与平面垂直的定义,可知l⊥m.故l与m不可能平行.答案:A 1232.判定定理 123【做一做2】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1⊥AC,求证:AC⊥平面BDD1B1.证明:因为四边形ABCD是正方形,所以BD⊥AC.因为BB1⊥AC,BD⊂平面BDD1B1,BB1⊂平面BDD1B1,BB1∩BD=B,所以AC⊥平面BDD1B1. 1233.直线和平面所成的角(1)定义:一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角.(2)规定:一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角是直角;一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它们所成的角是0°的角.因此,直线与平面所成的角α的范围是0°≤α≤90°. 123归纳总结斜线与平面所成的角(空间角)是用斜线和其射影所成的角(平面角)来定义的,因此,其求解策略也是将空间问题转化为平面问题.要注意,斜线与平面所成角的大小不受选择点的位置的限制;作出斜线的射影是求斜线和平面所成角的关键. 123【做一做3】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AB1与平面ABCD所成的角的度数是.解析:因为B1B⊥平面ABCD,所以∠B1AB是AB1与平面ABCD所成的角.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABB1A1是正方形,所以∠B1AB=45°.答案:45° 121.理解直线与平面垂直的判定定理剖析:(1)在判定定理的条件中,“平面内两条相交直线”是关键性词语,此处强调相交.(2)要判断一条已知直线和一个平面是否垂直,只需要在该平面内找出两条相交直线与已知直线垂直即可.至于这两条直线是否与已知直线有交点,这是无关紧要的.(3)判定定理是由线线垂直推导出线面垂直,其最终仍归结为证明线线垂直,即证明线与平面内的两条相交直线垂直.(4)判定线面垂直的方法有:①利用线面垂直的定义:一条直线垂直于平面内的任意一条直线,则该直线垂直于这个平面;②利用线面垂直的判定定理. 12知识拓展过一点有且仅有一条直线与已知平面垂直,过一点有且仅有一个平面与已知直线垂直. 122.一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,这条直线不一定垂直于这个平面剖析:如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,在棱AB上任取一点E,过点E作EF∥AD交CD于点F,则这样的直线能够作无数条.很明显直线AB垂直于平面AC内的无数条直线,而直线AB⊂平面AC;直线A1B1也垂直于平面AC内的无数条直线,而直线A1B1∥平面AC.其原因是,虽然这两条直线都垂直于平面AC内的无数条直线,但是这无数条直线是互相平行的,没有两条相交的直线,所以不满足直线和平面垂直的判定定理的条件“两条相交直线”.因此,一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,这条直线不一定垂直于这个平面. 题型一题型二题型三题型四【例1】如图,已知PA⊥BC,AB是☉O的直径,C是☉O上不同于点A,B的任意一点,过点A作AE⊥PC于点E.求证:AE⊥平面PBC.证明:因为AB是☉O的直径,所以BC⊥AC.因为PA⊥BC,PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC.因为AE⊂平面PAC,所以BC⊥AE.因为PC⊥AE,且PC∩BC=C,所以AE⊥平面PBC. 题型一题型二题型三题型四反思利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤:(1)在这个平面内找出两条直线,使它和已知直线垂直;(2)确定这个平面内的这两条直线是相交直线;(3)根据判定定理得出结论. 题型一题型二题型三题型四【变式训练1】如图,在三棱锥S-ABC中,∠ABC=90°,D是AC的中点,且SA=SB=SC.(1)求证:SD⊥平面ABC;(2)若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC.证明:(1)因为SA=SC,D是AC的中点,所以SD⊥AC.在Rt△ABC中,AD=BD,由已知SA=SB,所以△ADS≌△BDS.所以SD⊥BD.又AC∩BD=D,所以SD⊥平面ABC.(2)因为AB=BC,D为AC的中点,所以BD⊥AC,由(1)知SD⊥BD.又因为SD∩AC=D,所以BD⊥平面SAC. 题型一题型二题型三题型四【例2】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,且PA⊥平面ABCD,PA=5,AB=4,AD=3.求直线PC与平面ABCD所成的角的大小. 题型一题型二题型三题型四 题型一题型二题型三题型四反思求斜线与平面所成的角的步骤:(1)作图:作(或找)出斜线在平面上的射影,将空间角(斜线与平面所成的角)转化为平面角(两条相交直线所成的锐角),作射影要过斜线上一点作平面的垂线,再过垂足和斜足(有时可以是两垂足)作直线,注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中的已知量有关,才能便于计算.(2)证明:证明找出的平面角是斜线与平面所成的角.(3)计算:通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算. 题型一题型二题型三题型四【变式训练2】如图,PA⊥平面ABCD,ABCD为正方形,且PA=AD,E,F分别是线段PA,CD的中点.求EF和平面ABCD所成的角的正切值. 题型一题型二题型三题型四 题型一题型二题型三题型四如图,已知矩形ABCD,过点A作SA⊥平面AC,连接SB,SC,SD,再过点A作AE⊥SB交SB于点E,过点E作EF⊥SC交SC于点F,连接AF.求证:AF⊥SC. 题型一题型二题型三题型四证明:因为SA⊥平面AC,BC⊂平面AC,所以SA⊥BC.因为四边形ABCD为矩形,所以AB⊥BC.又SA∩AB=A,所以BC⊥平面SAB.因为AE⊂平面SAB,所以BC⊥AE.因为SB⊥AE,且SB∩BC=B,所以AE⊥平面SBC.因为SC⊂平面SBC,所以AE⊥SC.因为EF⊥SC,且AE∩EF=E,所以SC⊥平面AEF.因为AF⊂平面AEF,所以AF⊥SC. 题型一题型二题型三题型四反思证明两条直线垂直,常转化为证明直线与平面垂直,即把其中一条直线放在一个平面内,证明另一条直线垂直于该平面. 题型一题型二题型三题型四【变式训练3】如图,四边形ABCD为矩形,AD⊥平面ABE,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE.求证:AE⊥BE.证明:因为AD⊥平面ABE,AD∥BC,所以BC⊥平面ABE.又AE⊂平面ABE,所以AE⊥BC.因为BF⊥平面ACE,AE⊂平面ACE,所以AE⊥BF.因为BF⊂平面BCE,BC⊂平面BCE,BF∩BC=B,所以AE⊥平面BCE.又BE⊂平面BCE,所以AE⊥BE. 题型一题型二题型三题型四易错点:证明线面垂直不严密而致错【例4】如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AC=BC,D是AB的中点,连接CD.求证:CD⊥平面ABB1A1.错解:证明:因为AA1⊥平面ABC,CD⊂平面ABC,所以CD⊥AA1.又BB1∥AA1,所以CD⊥BB1.又AA1⊂平面ABB1A1,BB1⊂平面ABB1A1,所以CD⊥平面ABB1A1.错因分析:错解中AA1和BB1是平面ABB1A1内的两条平行直线,不是相交直线,故不满足直线与平面垂直的判定定理的条件. 题型一题型二题型三题型四正解:证明:因为AA1⊥平面ABC,CD⊂平面ABC,所以CD⊥AA1.因为AC=BC,D是AB的中点,所以CD⊥AB.因为AB⊂平面ABB1A1,AA1⊂平面ABB1A1,AB∩AA1=A,所以CD⊥平面ABB1A1.反思证明线面垂直时,所满足的条件必须是明显的或已经证明成立的,且与直线与平面垂直的判定定理的条件严格一致,否则会导致证明不完整.