高中数学人教A版必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.1直线与平面垂直的判定 导学案

§2.3.1直线与平面垂直的判定一、学习目标1.理解直线与平面垂直的定义；2.掌握直线与平面垂直的判定定理及其应用；二、自主学习探究一：探究1：直线和平面垂直的概念问题：如图10-2，将三角板直立起来，并且让它的一条直角边BC落在桌面上，观察AB边与桌面的位置关系呈什么状态？绕着AB边转动三角板，边AB与BC始终垂直吗？在转动的过程中，把BC看作桌面上不同的直线，你能得出什么结论吗？ACB新知1：如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面互相垂直，记做l.l叫做垂线，叫垂面，它们的交点P叫垂足.如图10-3所示.图10-3反思：⑴如果直线与平面内无数条直线都垂直，那么它和这个平面垂直吗？⑵用定义证明直线和平面垂直好证吗？你感觉难在哪里？探究2：直线与平面垂直的判定定理问题：如图10-4，将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BDDC,与桌面接触).观察折痕AD与桌面的位置关系.如何翻折才能使折痕AD与桌面垂直呢？图10-4精品学习资料可选择pdf第1页，共8页----------------------- 结论：图10-5反思：⑴折痕AD与桌面上的一条直线垂直时，能判断AD垂直于桌面吗?⑵如图10-5，当折痕ADBC时，翻折后AD,即ADCDAD,BD.由此你能得出什么结论?新知2：直线和平面垂直的判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.探究3：直线与平面所成的角新知3：如图10-6，直线PA和平面相交但不垂直，PA叫做平面的斜线，PA和平面的交点A叫斜足；PO，AO叫做斜线PA在平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条直线和平面所成的角.PAO图10-6直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°角.典型例题例1如图10-7，已知a∥b，a，求证：ba.图10-7DC例2如图10-8，在正方体中，求直线AB和平面ABDC精品学习资料可选择pdf第2页，共8页--------------A---------B ABCD所成的角.图10-8例3如图，AB为平面α的一条斜线，B为斜足，AO⊥平面α，垂足为O，直线BC在平面α内，已知∠ABC=60°，∠OBC=45°，求斜线AB和平面α所成的角.AABBOODDCCαα动手试试练1.如图10-9，在三棱锥中，VAVCAB,BC，求证：VBAC.练2.如图10-10，在RtBMC中，斜边BM5，其射影AB4，MBC60°,求MC与平面CAB所成角的正弦值.当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.直线l和平面内两条直线都垂直，则l与平面的位置关系是（）.精品学习资料可选择pdf第3页，共8页----------------------- A.垂直B.平行C.相交但不垂直D.都有可能2.已知直线,ab和平面，下列错误的是（）.aa//bA.abB.bbaaba//C.a∥或aD.a∥bbb3.,ab是异面直线,那么经过b的所有平面（）.A.只有一个平面与平行B.有无数个平面与平行C.只有一个平面与垂直D.有无数个平面与垂直4.两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线的位置关系是________________.5.若平面∥平面,直线a,则a与_____.6.如图10-11，在正方体中，O是底面的中心，BHDO，H为垂足，求证：BH面ADC.DCABHDCAOB§2.3.2平面与平面垂直的判定学习目标1.理解二面角的有关概念，会作二面角的平面角，能求简单二面角平面角的大小；2.理解面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理，初步学会用定理证明垂直关精品学习资料可选择pdf第4页，共8页----------------------- 系；3.熟悉线线垂直、线面垂直的转化.一、自主学习：（预习教材P67~P69，找出疑惑之处）复习1：⑴若直线垂直于平面，则这条直线________平面内的任何直线；⑵直线与平面垂直的判定定理为____________________________________________________________________________.复习2：⑴什么是直线与平面所成的角?⑵直线与平面所成的角的范围为_______________.二、新课导学探究1：二面角的有关概念图11-1问题：上图中，水坝面与水平面、卫星轨道平面与地球赤道平面都有一定的角度.这两个角度的共同特征是什么?新知1：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面.图11-2中的二面角可记作：二面角AB或l或PABQ.l问题：二面角的大小怎么确定呢？新知2：如图11-3，在二面角l的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平精品学习资料可选择pdf第5页，共8页----------------------- 面和内分别作垂直于棱l的射线OAOB,，则射线OA和OB构成的AOB叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫直二面角.反思：⑴两个平面相交，构成几个二面角?它们的平面角的大小有什么关系？⑵你觉的二面角的大小范围是多少？⑶二面角平面角的大小和O点的选择有关吗？除了以上的作法，二面角的平面角还能怎么作？探究2：平面与平面垂直的判定问题：教室的墙给人以垂直于地面的形象，想一想教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角？它们的大小是多少？新知3：两个平面所成二面角是直二面角，则这两个平面互相垂直.如图11-4，垂直，记作.问题：除了定义，你还能想出什么方法判定两个平面垂直呢？新知4：两个平面垂直的判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.反思：定理的实质是什么?典型例题例1如图11-5，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于,AB的任意一点，求证：平面PAC平面PBC.精品学习资料可选择pdf第6页，共8页----------------------- 图11-5例2如图11-6，在正方体中，求面ADCB与面ABCD所成二面角的大小（取锐角）.DCABDCAB小结：求二面角的关键是作出二面角的平面角.S动手试试练.如图11-7，在空间四边形SABC中，ASC=90°，ASBBSC60°，SASBSC，AC⑴求证：平面ASC平面ABC.⑵求二面角SABC的平面角的正弦值.B三、总结提升学习小结1.二面角的有关概念，二面角的求法；2.两个平面垂直的判定定理及应用.当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.以下四个命题，正确的是（）.A.两个平面所成的二面角只有一个B.两个相交平面组成的图形叫做二面角C.二面角的平面角是这两个面中直线所成的角中最小的一个D.二面角的大小和其平面角的顶点在棱上的位置无关2.对于直线,mn,平面,,能得出的一个条件是（）.精品学习资料可选择pdf第7页，共8页----------------------- A.mnm,//,n//B.mn,mn,C.m//,nn,mD.m//,nm,n3.在正方体ABCD1ABCD111中，过ACD,,的平面与过DBB,1,的平面的位置关系是（）.A.相交不垂直B.相交成60°角C.互相垂直D.互相平行4.二面角的大小范围是________________.5.若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它和这条斜线的位置关系为_______.课后作业1.如图11-8，在正方体中，,EF是棱AB与DC的中点，求面EFCB与面ABCD所成二面角的正切值.（取锐角）图11-8精品学习资料可选择pdf第8页，共8页-----------------------