2．3．1 直线与平面垂直的判定课时分层训练1．直线l与平面α内的两条直线都垂直，则直线l与平面α的位置关系是( )A．平行 B．垂直C．在平面α内D．无法确定解析：选D 当平面α内的两条直线相交时，直线l⊥平面α，即l与α相交，当面α内的两直线平行时，l⊂α或l∥α或l与α斜交．2．下列说法中正确的个数是( )①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；②若直线l与平面α内的两条相交直线垂直，则l⊥α；③若直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α.A．3B．2C．1D．0解析：选B 对于①不能断定该直线与平面垂直，该直线与平面可能平行，也可能斜交，也可能在平面内，所以是错误的，②③是正确的．3．如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是( )A．平行B．垂直相交C．垂直但不相交D．相交但不垂直解析：选C 连接AC，因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC.因为AC∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC.又MA⊂平面AMC，所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交．4．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则P到BC的距离是( )A.B．2C．3D．4解析：选D 取BC中点为D，连接AD.∵AB＝AC＝5，BC＝6.∴AD⊥BC，AD＝4，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.AD∩BC＝D，∴BC⊥平面PAD，∴BC⊥PD，∴PD的长即为P到BC的距离，PA＝8，AD＝4，∴PD＝＝4.
5．正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成的角的余弦值为( )A.B.C.D.解析：选D 如图，设正方体的棱长为1，上、下底面的中心分别为O1，O，则OO1∥BB1，O1O与平面ACD1所成的角就是BB1与平面ACD1所成的角，即∠O1OD1，cos∠O1OD1＝＝＝.6．在三棱锥V－ABC中，当三条侧棱VA，VB，VC之间满足条件________时，有VC⊥AB.(注：填上你认为正确的一种条件即可)解析：只要VC⊥平面VAB，即有VC⊥AB；故只要VC⊥VA，VC⊥VB即可．答案：VC⊥VA，VC⊥VB(答案不唯一，只要能保证VC⊥AB即可)7．如图，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中：(1)与PC垂直的直线有______________________；(2)与AP垂直的直线有______________________．解析：(1)∵PC⊥平面ABC，AB，AC，BC⊂平面ABC.∴PC⊥AB，PC⊥AC，PC⊥BC.(2)∠BCA＝90°即BC⊥AC，又BC⊥PC，AC∩PC＝C，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AP.答案：(1)AB，AC，BC (2)BC8.正方体ABCD－A1B1C1D1中，面对角线A1B与对角面BB1D1D所成的角为________．解析：连接A1C1，交B1D1于E，则A1C1⊥B1D1，即A1E⊥B1D1.又DD1⊥A1C1，即DD1⊥A1E，
∴A1E⊥平面BB1D1D.连接BE，则∠A1BE是A1B与对角面BB1D1D所成的角．在Rt△A1BE中，∵A1E＝A1B，∴∠A1BE＝30°，即A1B与对角面BB1D1D所成的角为30°.答案：30°9．如图所示，在直角△BMC中，∠BCM＝90°，∠MBC＝60°，BM＝5，MA＝3且MA⊥AC，AB＝4，求MC与平面ABC所成角的正弦值．解：因为BM＝5，MA＝3，AB＝4，所以AB2＋AM2＝BM2，所以MA⊥AB.又因为MA⊥AC，AB，AC⊂平面ABC，且AB∩AC＝A，所以MA⊥平面ABC，所以∠MCA即为MC与平面ABC所成的角．又因为∠MBC＝60°，所以MC＝，所以sin∠MCA＝＝＝.10．如图所示，在锥体P－ABCD中，ABCD是菱形，且∠DAB＝60°，PA＝PD，E，F分别是BC，PC的中点．证明：AD⊥平面DEF.证明：取AD的中点G，连接PG，BG.∵PA＝PD，∴AD⊥PG.设菱形ABCD边长为1.在△ABG中，∵∠GAB＝60°，AG＝，AB＝1，∴∠AGB＝90°，即AD⊥GB.
又PG∩GB＝G，∴AD⊥平面PGB，从而AD⊥PB.∵E，F分别是BC，PC的中点，∴EF∥PB，从而AD⊥EF.又DE∥GB，AD⊥GB，∴AD⊥DE，∵DE∩EF＝E，∴AD⊥平面DEF.1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是( )A．平面DD1C1CB．平面A1DB1C．平面A1B1C1D1D．平面A1DB答案：B2．下面四个命题：①过一点和一条直线垂直的直线有且只有一条；②过一点和一个平面垂直的直线有且只有一条；③过一点和一条直线垂直的平面有且只有一个；④过一点和一个平面垂直的平面有且只有一个．其中正确的是( )A．①④B．②③C．①②D．③④解析：选B 过一点和一条直线垂直的直线有无数条，故①不正确；过一点和一个平面垂直的平面有无数个，故④不正确；易知②③均正确．故选B.3．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( )A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥mD．若l∥α，m∥α，则l∥m解析：选B 根据两条平行线中的一条直线垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面，知选项B正确．4．如图，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是( )A．AC⊥SB
B．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角解析：选D 选项A正确，∵SD⊥底面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥SD，又由ABCD为正方形，∴AC⊥BD，又BD∩SD＝D，∴AC⊥平面SBD⇒AC⊥SB；选项B正确，∵AB∥CD，CD⊂平面SCD，AB⊄SCD，∴AB∥平面SCD；选项C正确，设AC∩BD＝O，连接SO，则SA与平面SBD所成的角就是∠ASO，SC与平面SBD所成的角就是∠CSO，易知这两个角相等；选项D错误，AB与SC所成的角等于∠SCD，面DC与SA所成的角是∠SAB，这两个角不相等．5．如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AD的中点，F是BB1的中点，则直线EF与平面ABCD所成角的正切值为________．解析：连接EB，由BB1⊥平面ABCD，知∠FEB即直线EF与平面ABCD所成的角．在Rt△FBE中，BF＝1，BE＝，则tan∠FEB＝.答案：6．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝________.解析：∵B1C1⊥平面ABB1A1，MN⊂平面ABB1A1，∴B1C1⊥MN.又∵MN⊥B1M，B1M∩B1C1＝B1，
∴MN⊥平面C1B1M，∴MN⊥C1M，即∠C1MN＝90°.答案：90°7．如图所示，将平面四边形ABCD沿对角线AC折成空间四边形，当平面四边形ABCD满足________时，空间四边形中的两条对角线互相垂直．(填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能情况)解析：在平面四边形中，设AC与BD交于E，假设AC⊥BD，则AC⊥DE，AC⊥BE.折叠后，AC与DE，AC与BE依然垂直，所以AC⊥平面BDE，所以AC⊥BD.若四边形ABCD为菱形或正方形，因为它们的对角线互相垂直，同上可证AC⊥BD.答案：AC⊥BD(或四边形ABCD为菱形、正方形等)8．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1.(1)求证：AB1⊥平面A1BC1；(2)若D为B1C1的中点，求AD与平面A1B1C1所成角的正弦值．解：(1)证明：由题意知四边形AA1B1B是正方形，∴AB1⊥BA1.由AA1⊥平面A1B1C1得AA1⊥A1C1.又∵A1C1⊥A1B1，AA1∩A1B1＝A1，∴A1C1⊥平面AA1B1B，又∵AB1⊂平面AA1B1B，∴A1C1⊥AB1.又∵BA1∩A1C1＝A1，∴AB1⊥平面A1BC1.(2)连接A1D.设AB＝AC＝AA1＝1，
∵AA1⊥平面A1B1C1，∴∠A1DA是AD与平面A1B1C1所成的角．在等腰直角三角形A1B1C1中，D为斜边的中点，∴A1D＝×B1C1＝.在Rt△A1DA中，AD＝＝.∴sin∠A1DA＝＝，即AD与平面A1B1C1所成角的正弦值为.
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