点、直线、平面之间的位置关系第二章
2.3直线、平面垂直的判定及其性质第二章2.3.1 直线与平面垂直的判定
高效课堂2课后强化作业4优效预习1当堂检测3
优效预习
1．在初中平面几何中能够转化为垂直关系的有：①等腰三角形底边上的中线__________底边；②菱形对角线互相__________；③正方形对角线互相__________；④圆的直径所对圆角等于__________.2．在上一节，我们已经学习了直线与平面平行的判定定理和平面与平面平行的判定定理及其应用，线面平行、面面平行的判定最终归结为线线平行的判定，并且研究了线面平行和面面平行的三种判定方法：(1)定义法；(2)判定定理；(3)反证法．●知识衔接垂直平分垂直平分垂直平分90°
1．直线与平面垂直●自主预习定义如果直线l与平面α内的__________直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直记法l⊥α有关概念直线l叫做平面α的________，平面α叫做直线l的_______．它们唯一的公共点P叫做________．图示画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直任意一条垂线垂面垂足
[破疑点](1)定义中的“任意一条直线”这一词语与“所有直线”是同义语，与“无数条直线”不是同义语．(2)直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊形式．(3)由直线与平面垂直的定义，得如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线．
2．判定定理文字语言一条直线与一个平面内的两条________直线都垂直，则该直线与此平面垂直图形语言符号语言l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，__________⇒l⊥α作用判断直线与平面__________相交a∩b＝P垂直
[破疑点]直线与平面垂直的判定定理告诉我们：可以通过直线间的垂直来证明直线与平面垂直．通常我们将其记为“线线垂直，则线面垂直”．因此，处理线面垂直转化为处理线线垂直来解决．也就是说，以后证明一条直线和一个平面垂直，只要在这个平面内找到两条相交直线和已知直线垂直即可．
3．直线和平面所成的角(1)定义：一条直线和一个平面________，但不和这个平面________，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的______叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点向平面引______，过________和________的直线叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的________，叫做这条直线和这个平面所成的角．相交垂直交点垂线垂足斜足锐角
90°0°
1．直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能()A．平行B．相交C．异面D．垂直[答案]A[解析]∵直线l⊥平面α，∴l与α相交，又∵m⊂α，∴l与m相交或异面，由直线与平面垂直的定义，可知l⊥m.故l与m不可能平行．●预习自测
2．直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α的关系是()A．l和平面α相互平行B．l和平面α相互垂直C．l在平面α内D．不能确定[答案]D[解析]如下图所示，直线l和平面α相互平行，或直线l和平面α相互垂直或直线l在平面α内都有可能．故选D．
3.如右图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是()A．60°B．45°C．30°D．120°[答案]A[点评]垂线段、斜线段及其射影构成直角三角形．
4．如下图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求证：AC⊥平面BDD1B1.[分析]转化为证明AC⊥BD，AC⊥BB1.
[证明]∵BB1⊥AB，BB1⊥BC，∴BB1⊥平面AC，又AC⊂平面AC，∴BB1⊥AC．又四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC．又BD⊂平面BDD1B1，BB1⊂平面BDD1B1，BB1∩BD＝B，∴AC⊥平面BDD1B1.
高效课堂
如图，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F.求证：(1)BC⊥平面PAB；(2)AE⊥平面PBC；(3)PC⊥平面AEF.线面垂直的判定●互动探究
[探究]本题是证线面垂直问题，要多观察题目中的一些“垂直”关系，看是否可利用．如看到PA⊥平面ABC，可想到PA⊥AB、PA⊥BC、PA⊥AC，这些垂直关系我们需要哪个呢？我们需要的是PA⊥BC，联系已知，问题得证．[证明](1)∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC．∵∠ABC＝90°，∴AB⊥BC．又AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB．
(2)∵BC⊥平面PAB，AE⊂平面PAB，∴BC⊥AE.∵PB⊥AE，BC∩PB＝B，∴AE⊥平面PBC．(3)∵AE⊥平面PBC，PC⊂平面PBC，∴AE⊥PC．∵AF⊥PC，AE∩AF＝A，∴PC⊥平面AEF.
规律总结：线面垂直的判定定理的应用(1)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤：①在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直；②确定这个平面内的两条直线是相交的直线；③根据判定定理得出结论．
(2)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的技巧：证明线面垂直时要注意分析几何图形，寻找隐含的和题目中推导出的线线垂直关系，进而证明线面垂直．三角形全等、等腰三角形、梯形底边的中线、高；菱形、正方形的对角线、三角形中的勾股定理等都是找线线垂直的方法．
如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC．[探究]题设条件中的三棱锥的三条侧棱相等，AB⊥BC，D是AC的中点，要证(1)需在平面ABC内找两条相交直线与SD垂直，故等腰三角形底边的中线是可以利用的垂直关系，要证(2)，需设法在平面SAC内找两条相交直线与BD垂直，而(1)的结论可利用．
[证明](1)因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC．在Rt△ABC中，AD＝BD，由已知SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD，又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC．(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC，由(1)知SD⊥BD，又因为SD∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC．
规律总结：利用直线与平面垂直的判定定理证明直线与平面垂直的步骤：(1)在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直；(2)确定这个平面内的两条直线是相交的直线；(3)根据判定定理得出结论．
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值；(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角．线面角
[探究]求线面角的关键是找出直线在平面内的射影，为此须找出过直线上一点的平面的垂线．(2)中过A1作平面BDD1B1的垂线，该垂线必与B1D1、BB1垂直，由正方体的特性知，直线A1C1满足要求．
规律总结：求线面角的方法：(1)求直线和平面所成角的步骤：①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连接垂足和斜足间得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．(2)求线面角的技巧：在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，射影一般都是一些特殊的点，比如中心、垂心、重心等．
[答案]D
如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝PD，E，F分别为CD，PB的中点．(1)求证：EF⊥平面PAB；线面垂直的综合应用●探索延拓
[探究](1)要证线面垂直，需证平面内有两条相交直线与已知直线垂直，而根据条件易得EF⊥PB，EF⊥AF，所以本题得证；(2)要求线面角，得先找出或作出这个角．根据条件易得BP⊥平面EFA．故在△BEF中，只需过AC与BE的交点G作BF的平行线GH，则GH⊥平面EFA，∠GAH为所求角．
[解析](1)证明：连结BE，EP.∵ED＝CE，PD＝AD＝BC，∴Rt△PDE≌Rt△BCE，∴PE＝BE.∵F为PB中点，∴EF⊥PB．∵PD⊥底面ABCD，DA⊥AB，∴PA⊥AB．在Rt△PAB中，∵PF＝BF，∴PF＝AF.又∵PE＝BE＝EA，∴△EFP≌△EFA，∴EF⊥FA．∵PB∩AF＝F，∴EF⊥平面PAB．
规律总结：(1)中还可取AB中点Q，连结EQ，FQ，证明AB⊥平面EFQ，则AB⊥EF，加上EF⊥PB，则EF⊥平面PAB．(2)中在求线面角时，首先得找出或作出这个角，再解三角形求角．
如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足．(1)求证：AN⊥平面PBM.(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB．[探究]根据PA⊥平面ABM，证得BM⊥平面PAM，再利用线面垂直的判定定理证明AN⊥平面PBM.而证线线垂直，可先证线面垂直．
[证明](1)∵AB为⊙O的直径，∴AM⊥BM.又PA⊥平面ABM，∴PA⊥BM.又∵PA∩AM＝A，∴BM⊥平面PAM.又AN⊂平面PAM，∴BM⊥AN.又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，又AN⊥平面PBM.
(2)由(1)知AN⊥平面PBM，PB⊂平面PBM，∴AN⊥PB．又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，∴PB⊥平面ANQ.又NQ⊂平面ANQ，∴PB⊥NQ.规律总结：证明线面垂直时，在平面内找两条相交直线是关键，同时注意判定定理的条件．
已知四边形ABCD中，四个角∠ABC，∠BCD，∠CDA，∠DAB都是直角，求证：四边形ABCD是矩形．[错解]∵四边形ABCD中，四个角∠ABC，∠BCD，∠CDA，∠DAB都是直角，∴四边形ABCD是矩形．[错因分析]把ABCD当作平面四边形(未加共面证明)就得出结论．易错点一 在几何题的证明中，只考虑平面情形，而忽略空间情形●误区警示
[思路分析]四边形ABCD有两种存在形式：平面四边形ABCD和空间四边形ABCD，需分类证明．[正解]当四边形ABCD是平面图形时，它显然是矩形．若四边形ABCD是空间四边形时，可设点C在平面ABD之外．如图，过点C作CC1⊥平面ABD，则AB⊥面BCC1，∴∠ABC1＝90°.同理，∠ADC1＝90°.
如图所示，a∥b，点P在a，b所确定的平面外，PA⊥a于点A，AB⊥b于点B．求证PB⊥b.[错解]∵PA⊥a，a∥b，∴PA⊥b，∴PA⊥平面α，∴PB⊥b.[错因分析]上述证法的错误在于没有正确使用线面垂直的判定定理，由PA⊥a，PA⊥b，得PA⊥α，忽略了a与b不相交．
[正解]∵PA⊥a，a∥b，∴PA⊥b.又∵AB⊥b，且PA∩AB＝A，∴b⊥平面PAB．又∵PB⊂平面PAB，∴PB⊥b.
当堂检测
1．若直线a与平面α内的两条直线垂直，则直线a与平面α的位置关系是()A．垂直B．平行C．斜交或在平面内D．以上均有可能[答案]D[解析]∵a与α内的两条直线垂直，而这两条直线的位置关系不确定，∴a与α可能平行、垂直、斜交或a在α内．
2．如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边．则能保证该直线与平面垂直()A．①③B．①②C．②④D．①④[答案]A[解析]三角形的两边，圆的两条直径一定是相交直线，而梯形的两边，正六边形的两条边不一定相交，所以保证直线与平面垂直的是①③.
3．下列命题中正确的个数是()①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；②如果直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直．A．0B．1C．2D．3[答案]B[解析]只有④正确．
4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AB1与平面ABCD所成的角等于________.[答案]45°[解析]如图所示，因为正方体ABCD－A1B1C1D1中，B1B⊥平面ABCD，所以AB即为AB1在平面ABCD中的射影，∠B1AB即为直线AB1与平面ABCD所成的角．由题意知，∠B1AB＝45°，故所求角为45°.规律总结：求直线与平面所成的角的关键是找出平面的垂线，从而找出直线在平面内的射影．
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