直线与平面垂直判定和性质两

线面垂直高一数学备课组 复习已知四面体ABCD所有的棱长相等，求证：AB⊥CDCADB.E线线垂直线面垂直线线垂直 AD1C1CDB1BA1如图，在棱长为a正方体中，1、A到面BCC1B1的距离为2、A到平面BDD1B1的距离为3、AD到平面BCC1B1的距离为4、AA1到平面BDD1B1的距离为aa5、AA1与BC1所成的角为45° 引入PP1QPA⊥α，垂足为APQ呢?PB是平面α的斜线，Q叫斜足。与一个平面相交，但不和这个平面垂直的直线叫这个平面的斜线P1Q呢?AB叫PB在平面α上的射影过平面外一点P向平面α引斜线和垂线，那么过斜足Q和垂足P1的直线就是斜线在平面内的正投影（简称射影） PO点O称为点P到平面α内的射影α线段PO称为点P到平面α的垂线段（一）点的射影新课 αOlP直线OQ称为斜线l在平面α内的射影线段OQ称为斜线段PO在平面α内的射影斜线的射影Q PP1QPA⊥α，垂足为APB呢?PB是平面α的斜线，B叫斜足。与一个平面相交，但不和这个平面垂直的直线叫这个平面的斜线AB呢?AB叫PB在平面α上的射影过平面外一点P向平面α引斜线和垂线，那么过斜足Q和垂足P1的直线就是斜线在平面内的正投影（简称射影）θ表示什么？PQ与平面α所成的角 直线与平面所成的角1．定义：（1）直线和平面平行或直线在平面内——直线与平面所成的角是0°度的角．（2）直线和平面垂直——直线与平面所成的角是直角.（3）平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和平面所成的角．直线和平面成角的范围是0°≤θ≤90°． 例1、在正方体ABCD-A1B1C1D1中,找出A1B与平面A1B1CD所成的角，并证明之.D1C1ABOCDB1A1求AB与平面A1B1CD所成的角求C1B与平面A1B1CD所成的角求B1B与平面A1B1CD所成的角空间角转化为平面角找斜线在平面上的射影例题 1.点P是△ABC所在平面外一点，且P点到△ABC三个顶点距离相等，则P点在△ABC所在平面上的射影是△ABC的心。PCBAO练习外 练习2.判断下列说法是否正确（1）两条平行直线在同一平面内的射影一定是平行直线（）（2）两条相交直线在同一平面内的射影一定是相交直线（）（3）两条异面直线在同一平面内的射影要么是平行直线，要么是相交直线（）（4）若斜线段长相等，则它们在平面内的射影长也相等（）XXXX两个点 练习4.两条平行直线和一个平面所成的角相等吗？3.已知斜线段的长是它在平面β上射影的2倍，求斜线和平面β所成的角。βABO如图，斜线段AB是其射影OB的两倍，求AB与平面β所成的角。如果两条直线与一个平面所成的角相等，它们平行吗？X 5、如果平面外的一条直线上有两点到这个平面的距离相等，则这条直线和平面的位置关系是（）。A.平行B.相交C.平行或相交。6、在空间，下列命题（1）平行于同一直线的两条直线互相平行；（2）垂直于同一直线的两条直线互相平行；（3）平行于同一平面的两条直线互相平行；（4）垂直于同一平面的两条直线互相平行。正确的是（）A.(1)(3)(4)B.(1)(4)C.(1)D.四个命题都正确。CB练习 例2、如图，已知AC、AB分别是平面α的垂线和斜线，C、B分别是垂足和斜足，aα，a⊥BC。求证：a⊥ABAaCBα变、如图，已知AC、AB分别是平面α的垂线和斜线，C、B分别是垂足和斜足，aα，。求证：a⊥ABa⊥BC 例3、如图，已知∠BAC在平面α内，P不在α上，∠PAB=∠PAC，求证：点P在平面α上的射影在∠BAC的平分线上PABαOEDC 小结与作业1、斜线在平面内的射影2、直线与平面所成的角完成课时讲义（11） 2.3.3直线与平面垂直的性质 如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们说直线l与平面互相垂直。直线与平面垂直定义：线面垂直则线线垂直。一条直线与一个平面内的两条相交线都垂直，则该直线与此平面垂直．直线与平面垂直判定定理：线线垂直则线面垂直。温故知新 异面直线的夹角 求直线BA1和CC1所成角的度数。（1）找（2）求∠A1BB1即为异面直线A1B和CC1的夹角 OPAα关键：过斜线上一点作平面的垂线线面所成角斜线斜足线面所成角（锐角∠PAO）射影 已知：SB=SC=6,AB=AC=3,SA=（1）求证SA⊥平面ABC（2）求SB和平面ABC的夹角（1）找（2）求∠SBA即为直线SA和平面ABC的夹角AB为SB在平面ABC内的射影 二面角∠AOB即为二面角α-AB-β的平面角的平面角 （1）找（2）求∠VDC即为二面角V—AB—C的平面角 求直线BA1和CC1所成角的度数。（1）找（2）求∠A1BB1即为异面直线A1B和CC1的夹角 已知：SB=SC=6,AB=AC=3,SA=（1）求证SA⊥平面ABC（2）求SB和平面ABC的夹角（1）找（2）求∠SBA即为直线SA和平面ABC的夹角AB为SB在平面ABC内的射影 （1）找（2）求∠VDC即为二面角V—AB—C的平面角 Omn（一）提出问题，创设情境问题①：如果有两条、三条或更多直线垂直于一个平面，则这些直线之间会有什么位置关系呢？五、过程设计aa1a2a3an 问题1：广场上垂直于地面的几根旗杆，它们之间具有什么位置关系？问题2：把地面抽象为平面，旗杆抽象为直线，实际问题能够转化为一个什么样的数学问题？ (二)线面垂直性质定理的探究1、直观感知—猜想定理五、过程设计 问题②：长方体ABCD-A1B1C1D1中，棱AA1,BB1,CC1,DD1与底面ABCD有什么位置关系？各侧棱之间又具有什么位置关系？(二)线面垂直性质定理的探究五、过程设计2、分析实例—探究定理A1BACDB1C1D1 3、启发引导—证明定理A（1）若a与b相交，证明：假定b不平行于a,则b与a相交或异面。过点A有两条直线与平面垂直这与“过一点有且只有一条直线垂直于已知平面”矛盾。o五、过程设计(二)线面垂直性质定理的探究(2)若a与b异面， 4、自主探究—深化定理问题③：如果两条直线与平面所成的角相等，则两直线平行吗？五、过程设计(二)线面垂直性质定理的探究结论：平行、相交、异面ab12o1o2abA1A212o1o2a12bo1o2ab 线面垂直的性质 线面垂直性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行 平行于同一条直线的两条直线平行平面中空间中√√ 垂直于同一条直线的两条直线平行平面中空间中√╳ 两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。平面中空间中√√ √×１、判断下列命题的正误。（2）垂直于同一直线的两条直线互相平行（）（3）平行于同一平面的两条直线互相平行（）（4）垂直于同一平面的两条直线互相平行（）×（1）平行于同一直线的两条直线互相平行（）√五、过程设计(三)线面垂直性质定理的应用小牛试刀 三、两条直线平行的判定方法：1、定义法：两直线共面且没有公共点。2、平行线的传递性3、线面平行的性质定理4、面面平行的性质定理5、线面垂直的性质定理一、直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行二、反证法的证明思路：反设→归谬→结论五、过程设计(四)总结反思——提高认识 2、会利用“转化思想”解决垂直问题线面关系线线关系面面关系线面平行线线平行线面垂直线线垂直面面垂直面面平行课堂小结1、证题原则：从已知想性质，从求证想判定空间问题平面化注意辅助线的作用