直线、平面垂直的判定及性质

第5讲　直线、平面垂直的判定及性质1．以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理．2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题. 基础自查 联动思考想一想：垂直于同一平面的两个平面平行吗？答案：不一定，可能平行，也可能相交． 联动体验1．下列条件中，能判定直线l⊥平面α的是()A．l与平面α内的两条直线垂直B．l与平面α内无数条直线垂直C．l与平面α内的某一条直线垂直D．l与平面α内任意一条直线垂直解析：由直线与平面垂直的定义，可知D正确．答案：D2．(2010·湖北卷)用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b.其中真命题的序号是()A．①②B．②③C．①④D．③④解析：若a∥b，b∥c，则a∥c，则命题①正确；若a⊥b，b⊥c，则a与c可以平行也可以相交或异面，即命题②不正确；若a∥γ，b∥γ，则a∥b或a与b异面或相交，即命题③不正确；若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b，即命题④正确，综上可得正确的命题为①④，故应选C.答案：C 3．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是()A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④解析：当两个平面相交时，一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面，故①不对；由平面与平面垂直的判定可知②正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线可以相交也可以异面，故③不对；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故④正确．答案：D 4．(2009·山东卷)已知α、β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由面面垂直的判定定理，知m⊥β⇒α⊥β.答案：B5．P为△ABC所在平面外一点，且PA、PB、PC两两垂直，则下列命题：①PA⊥BC;②PB⊥AC;③PC⊥AB;④AB⊥BC.其中正确的个数是________．解析：如图所示．∵PA⊥PC、PA⊥PB，PC∩PB＝P，∴PA⊥平面PBC.又∵BC⊂平面PBC，∴PA⊥BC.同理PB⊥AC、PC⊥AB.但AB不一定垂直于BC.答案：3个 考向一　直线与平面垂直的判定与性质 考向二　平面与平面垂直的判定与性质 考向三　线面、面面垂直中的探究问题 课堂总结　感悟提升1．直线和平面垂直，平面和平面垂直是直线与平面相交、平面与平面相交的特殊情况，对这种特殊关系的认识，既可以从直线和平面垂直、平面和平面的交角为90°的角度讨论，又可以从线线垂直、线面垂直关系出发进行推理和论证．2．在直线和平面垂直、平面和平面垂直的判定中，有些重要的限制条件，如“两条相交直线”“一个平面经过另一个平面的一条垂线”等，这既为证明指明了方向，同时又有很强的制约性． 3．利用线面垂直、面面垂直的判定、性质定理进行线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的相互转化是本章的重要思想方法．如在证明两平面垂直时，一般先从现有直线寻找平面的垂线，若不存在这样的直线，则可以通过作辅助线来解决，而作辅助线应有理论依据；如果已知面面垂直，一般用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．4．空间中的垂直关系是高考重点考查的内容，是本章问题的“心脏”．一般来说，在线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化中，线线垂直最基本，在转化过程中穿针引线；线面垂直是枢纽，将线线垂直和面面垂直联系起来．5．注意平行与垂直的相互转化关系：若a⊥α，b⊥α，则a∥b；若a⊥α，a⊥β，则α∥β. 问题症结高考对立体几何题目的考查，第一问一般是证明线面、面面平行或垂直的位置关系．在证明空间线面位置关系时，不知道选用哪个定理，不知道沿什么方向分析问题，思路混乱；另外在运用线面位置关系的判定定理和性质定理时，推理不够严谨，跳步作答，从而造成失分．案例如图，在直角梯形ABEF中，将DCEF沿CD折起，使∠FDA＝60°，得到一个空间几何体．(1)求证：BE∥平面ADF；(2)求证：AF⊥平面ABCD.错因分析对于线面平行定理的应用往往忽视“a⊄α，a∥b，b⊂α”三个条件中的某一个．本错解漏掉了“BC⊄平面ADF”，另两平面平行的证明还易漏掉相交直线的说明． 学生抽样纠错笔记赏析感悟在本题证明过程中应注意，推理的严谨性，如直线与平面平行时注意点明直线与平面的关系，两平面平行时注意一平面内的两直线应是相交关系，如本错解中漏掉了“∵BC∩CE＝C，BC⊂平面BCE，CE⊂平面BCE”．解决此类问题的方法，是熟记课本上的对应定理，能用符号把各定理正确表示出来. 单击此处进入限时规范训练